【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ,求的最大值點(diǎn)． （2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶(hù)手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用． （i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求。 （ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？ 21．（12分） 已知函數(shù)． （1）討論的單調(diào)性； （2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：． （二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第223題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。
22．[選修4–4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系中，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為. （1）求的直角坐標(biāo)方程； （2）若與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求的方程. 23．[選修4–5：不等式選講]（10分） 已知. （1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （2）若時(shí)不等式成立，求的取值范圍. 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)參考答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A B D A B D C A B A 14. 16. 17.（12分） 解：（1）在中，由正弦定理得. 由題設(shè)知，所以. 由題設(shè)知，所以. （2）由題設(shè)及（1）知，. 在中，由余弦定理得 . 所以. 18.（12分） 解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF. 又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD. （2）作PH⊥EF，（1）得，PH⊥平面ABFD. 以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H?xyz. 由（1）可得，DE⊥=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF. 可得. 則為平面ABFD的法向量. 設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則. 所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為. 19.（12分） 解：（1）由已知得，l的方程為x=1. 由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或. 所以AM的方程為或. （2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，. 當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以. 當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為， 則，直線MA，MB的斜率之和為. 由得 . 將代入得 . 所以，. 則. 從而，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，所以. 綜上，. 20.（12分） 解：（1） . 令，；當(dāng)時(shí)，. 所以的最大值點(diǎn)為. （2）由（1）知，. （i）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，即. 所以. （ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元. 由于，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn). 21.（12分） 解:（1）的定義域?yàn)椋? （i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減. （ii）若，令得，或. 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. （2）由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng). 由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿(mǎn)足，所以，不妨設(shè)， ， 所以等價(jià)于. 設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)，. 所以，即. 22．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 【解析】（1）由，得的直角坐標(biāo)方程為． （2）由（1）知是圓心為，半徑為的圓． 由題設(shè)知，是過(guò)點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩條射線．記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)，或與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或． 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，與有兩個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或． 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)． 綜上，所求的方程為． 23．[選修45：不等式選講]（10分） 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，即 故不等式的解集為． （2）當(dāng)時(shí)成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)成立． 若，則當(dāng)時(shí)； 若，的解集為，所以，故． 綜上，的取值范圍為． 絕密★啟用前 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2．作答時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷及草稿紙上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1． A． B． C． D． 2．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函數(shù)的圖像大致為 4．已知向量，滿(mǎn)足，則 A．4 B．3 C．2 D．0 5．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為 A． B． C． D． 6．在中，，則 A． B． C． D． 7．為計(jì)算，設(shè)計(jì)了右側(cè)的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入 A． B． C． D． 8．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是 A． B． C． D． 9．在長(zhǎng)方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為 A． B． C． D． 10．若在是減函數(shù)，則的最大值是 A． B． C． D． 11．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿(mǎn)足．若，則 A． B．0 C．2 D．50 12．已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率 為的直線上，為等腰三角形，則的離心率為 A． B． C． D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________． 14．若滿(mǎn)足約束條件 則的最大值為_(kāi)_________． 15．已知，則__________． 16．已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45176。，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_________． 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第223為選考題，考生根據(jù)要求作答。
（一）必考題：共60分。
17．（12分） 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，． （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求，并求的最小值． 18．（12分） 下圖是某地區(qū)2000年至2020年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖． 為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2020年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2020年至2020年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型②：． （1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值； （2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由． 19．（12分） 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，． （1）求的方程； （2）求過(guò)點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 20．（12分） 如圖，在三棱錐中，，為的中點(diǎn)． （1）證明：平面； （2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值． 21．（12分） 已知函數(shù)． （1）若，證明：當(dāng)時(shí)，； （2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求． （二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第223題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。
22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）． （1）求和的直角坐標(biāo)方程； （2）若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率． 23．[選修4－5：不等式選講]（10分） 設(shè)函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （2）若，求的取值范圍． 參考答案: 一、選擇題 二、填空題 13. 15. 16. 三、解答題 17. (12分) 解：（1）設(shè)的公差為d，由題意得. 由得d=2. 所以的通項(xiàng)公式為. （2）由（1）得. 所以當(dāng)n=4時(shí),取得最小值,最小值為?16. 18.(12分) 解：（1）利用模型①,該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為 (億元). 利用模型②,該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為 (億元). （2）利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. 理由如下： （ⅰ）從折線圖可以看出,①，2020年至2020年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說(shuō)明從2020年開(kāi)始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì),利用2020年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2020年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì),因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. （ⅱ）從計(jì)算結(jié)果看,相對(duì)于2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①,而利用模型②②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. 以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分. 19.(12分) 解：（1）由題意得，l的方程為. 設(shè)， 由得. ，故. 所以. 由題設(shè)知，解得（舍去），. 因此l的方程為. （2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以AB的垂直平分線方程為，即. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則 解得或 因此所求圓的方程為或. 20.(12分) 解：（1）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，且. ，所以為等腰直角三角形， 且，. 由知. 由知平面. （2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系. 由已知得取平面的法向量. 設(shè)，則. 設(shè)平面的法向量為. 由得，可取， . （舍去），. ，所以. 所以與平面所成角的正弦值為. 21．（12分） 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于． 設(shè)函數(shù)，則． 當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減． 而，故當(dāng)時(shí)，即． （2）設(shè)函數(shù)． 在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)． （i）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)； （ii）當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 故是在的最小值． ①若，即，在沒(méi)有零點(diǎn)； ②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)； ③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)， 由（1）知，當(dāng)時(shí)，所以． 故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)． 綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，． 22．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 【解析】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為． 當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為， 當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為． （2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于的方程 ．① 因?yàn)榍€截直線所得線段的中點(diǎn)在內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為，則． 又由①得，故，于是直線的斜率． 23．[選修45：不等式選講]（10分） 【解析】（1）當(dāng)時(shí)， 可得的解集為． （2）等價(jià)于． 而，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故等價(jià)于． 由可得或，所以的取值范圍是． 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答案卡一并交回。
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，則 A． B． C． D． 2． A． B． C． D． 3．中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫棒頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是棒頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是 4．若，則 A． B． C． D． 5．的展開(kāi)式中的系數(shù)為 A．10 B．20 C．40 D．80 6．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是 A． B． C． D． 7．函數(shù)的圖像大致為 8．某群體中的每位成品使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，則 A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3 9．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，若的面積為，則 A． B． C． D． 10．設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為 A． B． C． D． 11．設(shè)是雙曲線（）的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為 A． B．2 C． D． 12．設(shè)，則 A． B． C． D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知向量，．若，則________． 14．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則________． 15．函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 16．已知點(diǎn)和拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．若，則________． 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第223為選考題。考生根據(jù)要求作答。
（一）必考題：共60分。
17．（12分） 等比數(shù)列中，． （1）求的通項(xiàng)公式； （2）記為的前項(xiàng)和．若，求． 18．（12分） 某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖： （1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由； （2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)和不超過(guò)的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過(guò) 不超過(guò) 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 （3）根據(jù)（2）中的列表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：，． 19．（12分） 如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)． （1）證明：平面平面； （2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值． 20．（12分） 已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．線段的中點(diǎn)為． （1）證明：； （2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．證明：，成等