【正文】 對稱，則已知條件等價于： (1)直線 lAB? ； (2)弦 AB 的中點(diǎn) M 在 l 上． 利用上述條件建立 m 的不等式即可求得 m 的取值范圍． 解： (法 1)設(shè)橢圓上 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB 兩點(diǎn)關(guān)于直線 l 對稱，直線 AB 與 l 交于 ),( 00 yxM點(diǎn)． ∵ l 的斜率 4?lk ，∴設(shè)直線 AB 的方程為 nxy ??? 41 ．由方程組????????????,134,4122 yxnxy 消去 y 得 04816813 22 ???? nnxx ①。由①，②得 M 點(diǎn)的 坐標(biāo)為 )3,( mm ?? ．以下同解法 2. 說明： 涉及橢圓上兩點(diǎn) A ， B 關(guān)于直線 l 恒對稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式： (1)利用直線 AB 與橢圓恒有 兩個交點(diǎn)，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式 0?? ，建立參數(shù)方程． (2)利用弦 AB 的中點(diǎn) ),( 00 yxM 在橢圓內(nèi)部，滿足 12020 ?? byax ，將 0x ， 0y 利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式． 例 17 在面積為 1的 PMN? 中， 21tan ?M ， 2tan ??N ，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以 M 、N 為焦點(diǎn)且過 P 點(diǎn)的橢圓方程． 11 / 41 解： 以 MN 的中點(diǎn)為原點(diǎn)， MN 所在直線為 x 軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè) ),( yxP ． 則???????????????.1,21,2cycxycxy∴??????????233435ccycx且即 )32,325(P∴???????????,43,13412252222baba 得???????.3,41522ba ∴所求橢圓方程為 13154 22 ?? yx 例 18 已知 )2,4(P 是直線 l 被橢圓 1936 22 ??yx 所截得的線段的中點(diǎn)，求直線 l 的方程． 分析： 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題．通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去 y (或 x )，得到關(guān) 于 x (或 y )的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出 21 xx? ， 21xx (或21 yy? ， 21yy )的值代 入計算即得． 并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的． 解： 方法一： 設(shè)所求直線方程為 )4(2 ??? xky ．代入橢圓方程，整理得 036)24(4)24(8)14( 222 ??????? kxkkxk ① 設(shè)直線與橢圓 的交點(diǎn)為 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，則 1x 、 2x 是 ①的兩根， ∴14 )24(8 221 ???? k kkxx ∵ )2,4(P 為 AB 中點(diǎn)，∴ 14 )24(424221 ????? k kkxx， 21??k ．∴所求直線方程為082 ??? yx ． 方法二： 設(shè)直線與橢圓交點(diǎn) ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ．∵ )2,4(P 為 AB 中點(diǎn)，∴ 821 ??xx ，421 ??yy ． 又∵ A ， B 在 橢 圓 上 ， ∴ 364 2121 ?? yx ， 364 2222 ?? yx 兩 式 相 減 得0)(4)( 22212221 ???? yyxx ， 12 / 41 即 0))((4))(( 21212121 ?????? yyyyxxxx ．∴21)(4 )( 21 2121 21 ???????? yy xxxx yy．∴直線方程為 082 ??? yx ． 方法三： 設(shè)所求直線與橢圓的一個交點(diǎn)為 ),( yxA ，另一個交點(diǎn) )4,8( yxB ?? ． ∵ A 、 B 在橢圓上，∴ 364 22 ?? yx ①。 11. 45。 12．2516 歷屆高考中的“雙曲線”試題精選（自我測試） 參 考 答 案 一、選擇題： 1 2 3 4 5 6 7 8C A C A D C B D題 號答 案 二、填空題： 9. 4 ； 10． 2219 16xy?? 11． 516 ； 12． __ 2___． 歷屆高考中的“拋物線”試題精選 （自我測試 ）。 36)4(4)8( 22 ???? yx ② 從而 A ， B 在方程①－②的圖形 082 ??? yx 上， 而過 A 、 B 的直線只有一條，∴直線方程為 082 ??? yx ． 說明： 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點(diǎn)考查的解析幾何問題，“設(shè)而不求”的方法是處理此類問題的有效方法． 若已知焦點(diǎn)是 )0,33( 、 )0,33(? 的橢圓截直線 082 ??? yx 所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 4，則如何求橢圓方程？ 典型例題一 例 1 橢圓的一個頂點(diǎn)為 ? ?02，A ，其長軸長是短軸長的 2 倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 分析： 題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置． 解： （ 1）當(dāng) ? ?02，A 為長軸端點(diǎn)時， 2?a ， 1?b ， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 114 22 ??yx ； （ 2）當(dāng) ? ?02，A 為短軸端點(diǎn)時， 2?b ， 4?a ， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 1164 22 ??yx ； 說明： 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個，給出一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況． 典型例題二 例 2 一個橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率． 13 / 41 解：3122 2 ??? cac? ∴ 223 ac ? ， ∴3331 ??e． 說明： 求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求 a ，求 c ，再求比．二是列含 a 和 c 的齊次方程，再化含 e 的方程，解方程即可． 典型例題三 例 3 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓與直線 01???yx 交于 A 、 B 兩點(diǎn)， M為 AB 中點(diǎn)， OM 的斜率為 ，橢圓的短軸長為 2，求橢圓的方程． 解： 由題意，設(shè)橢圓方程為 1222 ??yax ， 由??????????101222 yaxyx ，得 ? ? 021222 ??? xaxa ， ∴221axxM??，21 11 axy MM ????， 4112 ??? axyk MMOM?，∴ 42?a ， ∴ 14 22 ??yx 為所求． 說明： （ 1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（ 2）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點(diǎn)、弦斜率問題． 典型例題四 例 4 橢圓 1925 22 ??yx 上不同三點(diǎn) ? ?11 yxA ， ， ?????? 594，B， ? ?22 yxC ， 與焦點(diǎn) ? ?04，F(xiàn) 的距離成等差數(shù)列． （ 1）求證 821 ??xx ； （ 2）若線段 AC 的垂直平分線與 x 軸的交點(diǎn)為 T ，求直線 BT 的斜率 k ． 14 / 41 證明： （ 1）由橢圓方程知 5?a ， 3?b ， 4?c ． 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：acxcaAF ?? 12， ∴ 11 545 xexaAF ????． 同理 2545 xCF ??． ∵ BFCFAF 2?? ，且59?BF， ∴ 518545545 21 ??????? ???????? ? xx， 即 821 ??xx ． （ 2）因?yàn)榫€段 AC 的中點(diǎn)為 ?????? ?24 21 yy，所以它的垂直平分線方程為 ? ?42 21 2121 ?????? xyy xxyyy． 又∵點(diǎn) T 在 x 軸上，設(shè)其坐標(biāo)為 ? ?00，x ，代入上式，得 ? ?2122210 24 xx yyx ???? 又∵點(diǎn) ? ?11 yxA ， ， ? ?22 yxB ， 都在橢圓上， ∴ ? ?2121 25259 xy ?? ? ?2222 25259 xy ?? ∴ ? ?? ?21212221 259 xxxxyy ?????． 將此式代入①，并利用 821 ??xx 的結(jié)論得 253640 ???x ∴ 4540590???? xkBT ． 15 / 41 典型例題五 例 5 已知橢圓 134 22 ??yx ， 1F 、 2F 為兩焦點(diǎn)，問能否在橢圓上找一點(diǎn) M ，使 M 到左準(zhǔn)線 l 的距離 MN 是 1MF 與 2MF 的等比中項(xiàng)？若存在，則求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解： 假設(shè) M 存在，設(shè) ? ?11 yxM ， ，由已知條件得 2?a ， 3?b ，∴ 1?c ， 21?e ． ∵左準(zhǔn)線 l 的方程是 4??x ， ∴ 14 xMN ?? ． 又由焦半徑公式知： 111 212 xexaMF ????， 112 212 xexaMF ????． ∵ 212 MFMFMN ?? ， ∴ ? ? ?????? ??????? ??? 1121 2122124 xxx． 整理得 048325 121 ??? xx ． 解之得 41 ??x 或 5121 ??x． ① 另一方面 22 1 ??? x ． ② 則①與②矛盾，所以滿足條件的點(diǎn) M 不存在． 說明： （ 1）利用焦半徑公式解?？珊喕忸}過程． （ 2）本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù) 已知條件進(jìn)行推理和運(yùn)算．進(jìn)而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷． （ 3）本例也可設(shè) ? ??? sin3cos2 ，M 存在，推出矛盾結(jié)論（讀者自己完成）． 典型例題六 16 / 41 例 6 已知橢圓 12 22 ??yx，求過點(diǎn) ?????? 2121，P且被 P 平分的弦所在的直線方程． 分析一： 已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求 斜率，故設(shè)斜率為 k ，利用條件求 k ． 解法一： 設(shè)所求直線的斜率為 k ，則直線方程為 ?????? ??? 2121 xky．代入橢圓方程，并整理得 ? ? ? ? 023212221 2222 ??????? kkxkkxk ． 由韋達(dá)定理得2221 21 22 k kkxx ? ???． ∵ P 是弦中點(diǎn)，∴ 121 ??xx ．故得 21??k ． 所以所求直線方程為 0342 ??? yx ． 分析二： 設(shè)弦兩端坐標(biāo)為 ? ?11 yx， 、 ? ?22 yx， ，列關(guān)于 1x 、 2x 、 1y 、 2y 的方程組，從而求斜率：2121 xx yy?? ． 解法二： 設(shè)過 ?????? 2121，P的直線與橢圓交于 ? ?11 yxA ， 、 ? ?22 yxB ， ，則由題意得 ?????????????????④1.③1②12①12212122222121yyxxyxyx，， ①－②得 02 22212221 ???? yyxx ． ⑤ 將③、④代入⑤得2121 21 ????xx yy，即直線的 斜率為 21? ． 所求直線方程為 0342 ??? yx ． 說明： （ 1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡． 17 / 41 （ 2）解法二是“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率． （ 3）有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法”．有關(guān)二次曲線問題也適用． 典型例題七 例 7 求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． （ 1）長軸長是短軸長的 2 倍，且過點(diǎn) ? ?62?， ； （ 2）在 x 軸上的一個焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的聯(lián)機(jī)互相垂直，且焦距為 6． 分析： 當(dāng)方程有兩種形式時，應(yīng)分別求解，如（ 1）題中由 12222 ??byax 求出 1482?a ，372?b ，在得方程 137148 22 ?? yx 后，不能依此寫出另一方程 137148 22 ??xy ． 解： （ 1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1222