【正文】 擇題： 1 2 3 4 5 6 7 8C A C A D C B D題 號答 案 二、填空題： 9. 4 ； 10． 2219 16xy?? 11． 516 ； 12． __ 2___． 歷屆高考中的“拋物線”試題精選 （自我測試 ）。 1 / 41 橢圓標準方程典型例題 例 1 已知橢圓 063 22 ??? mymx 的一個焦點為（ 0， 2）求 m 的值 ． 分析： 把橢圓的方程化為標準方程，由 2?c ，根據(jù)關(guān)系 222 cba ?? 可求出 m 的值． 解： 方程變形為 126 22 ?? myx ．因為焦點在 y 軸上，所以 62 ?m ，解得 3?m ． 又 2?c ，所以 2262 ??m ， 5?m 適合．故 5?m ． 例 2 已知橢圓的中心在原點，且經(jīng)過點 ? ?03，P ， ba 3? ，求橢圓的標準方程． 分析： 因橢圓的中心在原點，故其標準方程有兩種情況．根據(jù)題設(shè)條件，運用待定系數(shù)法， 求出參數(shù) a 和 b （或 2a 和 2b ）的值，即可求得橢圓的標準方程． 解： 當焦點在 x 軸上時，設(shè)其方程為 ? ?012222 ???? babyax ． 由橢圓過點 ? ?03，P ，知 10922 ??ba．又 ba 3? ，代入得 12?b ， 92?a ，故橢圓的方程為 19 22 ??yx ． 當焦點在 y 軸上時，設(shè) 其方程為 ? ?012222 ???? babxay ． 由橢圓過點 ? ?03，P ，知 10922 ??ba．又 ba 3? ，聯(lián)立解得 812?a ， 92?b ，故橢圓的方程為 1981 22 ??xy ． 例 3 ABC? 的底邊 16?BC ， AC 和 AB 兩邊上中線長之和為 30，求此三角形重心 G 的軌跡和頂點 A 的軌跡． 分析： （ 1）由已知可得 20?? GBGC ，再利用橢圓定義求解． （ 2）由 G 的軌跡方程 G 、 A 坐標的關(guān)系，利用代入法求 A 的軌跡方程． 解： （ 1）以 BC 所在的直線為 x 軸， BC 中點為原點建立直角坐標系．設(shè) G 點坐標為 ? ?yx， ，由 20?? GBGC ，知 G 點的軌跡是以 B 、 C 為焦點的橢圓，且除去軸上兩點．因 10?a ， 2 / 41 8?c ，有 6?b ， 故其方程為 ? ?0136100 22 ??? yyx． （ 2）設(shè) ? ?yxA ， ， ? ?yxG ??， ，則 ? ?0136100 22 ?????? yyx ． ① 由題意有???????????33yyxx ，代入①，得 A 的軌跡方程為 ? ?01324900 22 ??? yyx ，其軌跡是橢圓（除去 x 軸上兩點）． 例 4 已知 P 點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點 P 到兩焦點的距離分別為 354 和 352 ，過 P 點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程． 解： 設(shè) 兩 焦 點 為 1F 、 2F ，且 3541?PF， 3522 ?PF． 從 橢 圓 定 義 知522 21 ??? PFPFa ．即 5?a ． 從 21 PFPF ? 知 2PF 垂 直 焦 點 所 在 的 對 稱 軸 ， 所 以 在 12FPFRt? 中，21s i n 1221 ??? PFPFFPF， 可求出 621 ??? FPF，3526c os2 1 ??? ?PFc，從而 310222 ??? cab ． ∴所求橢圓方程為 11035 22 ?? yx 或 15103 22 ?? yx ． 例 5 已知橢圓方程 ? ?012222 ???? babyax ，長軸端點為 1A ， 2A ，焦點為 1F ， 2F ， P 是橢圓上一點， ??? 21PAA ， ??? 21PFF ．求： 21PFF? 的面積（用 a 、 b 、 ? 表示）． 分析： 求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角 ? 的兩鄰邊，從而利用 CabS sin21??求面積． 解： 如圖，設(shè) ? ?yxP ， ，由橢圓的對稱性，不妨設(shè) ? ?yxP ， ，由橢圓的對稱性，不妨設(shè) P 在第一象限．由余弦定理知： 221FF 2221 PFPF ?? 12PF? 11. 45。 又 M 點在直線 l 上，∴ mxy ?? 00 4 ②。由①，②得 M 點的 坐標為 )3,( mm ?? ．以下同解法 2. 說明： 涉及橢圓上兩點 A ， B 關(guān)于直線 l 恒對稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式： (1)利用直線 AB 與橢圓恒有 兩個交點，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式 0?? ，建立參數(shù)方程． (2)利用弦 AB 的中點 ),( 00 yxM 在橢圓內(nèi)部，滿足 12020 ?? byax ，將 0x ， 0y 利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式． 例 17 在面積為 1的 PMN? 中， 21tan ?M ， 2tan ??N ，建立適當?shù)淖鴺讼?，求出?M 、N 為焦點且過 P 點的橢圓方程． 11 / 41 解： 以 MN 的中點為原點， MN 所在直線為 x 軸建立直角坐標系，設(shè) ),( yxP ． 則???????????????.1,21,2cycxycxy∴??????????233435ccycx且即 )32,325(P∴???????????,43,13412252222baba 得???????.3,41522ba ∴所求橢圓方程為 13154 22 ?? yx 例 18 已知 )2,4(P 是直線 l 被橢圓 1936 22 ??yx 所截得的線段的中點，求直線 l 的方程． 分析： 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題．通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去 y (或 x )，得到關(guān) 于 x (或 y )的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出 21 xx? ， 21xx (或21 yy? ， 21yy )的值代 入計算即得． 并不需要求出直線與橢圓的交點坐標，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的． 解： 方法一： 設(shè)所求直線方程為 )4(2 ??? xky ．代入橢圓方程，整理得 036)24(4)24(8)14( 222 ??????? kxkkxk ① 設(shè)直線與橢圓 的交點為 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，則 1x 、 2x 是 ①的兩根， ∴14 )24(8 221 ???? k kkxx ∵ )2,4(P 為 AB 中點，∴ 14 )24(424221 ????? k kkxx， 21??k ．∴所求直線方程為082 ??? yx ． 方法二： 設(shè)直線與橢圓交點 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ．∵ )2,4(P 為 AB 中點，∴ 821 ??xx ，421 ??yy ． 又∵ A ， B 在 橢 圓 上 ， ∴ 364 2121 ?? yx ， 364 2222 ?? yx 兩 式 相 減 得0)(4)( 22212221 ???? yyxx ， 12 / 41 即 0))((4))(( 21212121 ?????? yyyyxxxx ．∴21)(4 )( 21 2121 21 ???????? yy xxxx yy．∴直線方程為 082 ??? yx ． 方法三： 設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為 ),( yxA ，另一個交點 )4,8( yxB ?? ． ∵ A 、 B 在橢圓上，∴ 364 22 ?? yx ①。則 n ＝ 10． （ 2020上海文） 已知 雙曲線 中心在原點，一個 頂點的坐標 為 (3,0) ,且 焦距與虛 軸長 之比為 5:4 ，則 雙曲線 的標準方程是 ____________________. 11． （ 2020廣東、 全國文、理 ） 雙曲線 1169 22 ?? yx 的兩個焦點為 Ｆ １ 、 Ｆ ２ ，點 P在雙曲線上，若 ＰＦ １ ⊥ ＰＦ ２ ，則點 P到 ｘ 軸的距離為 ___________ 奎屯王新敞 新疆 12． （ 2020 浙江文、理） 過雙曲線 ? ?22 1 0 , 0xy abab? ? ? ?的左焦點且垂直于 x軸的直線 34 / 41 與雙曲線相交于 M、 N兩點，以 MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于 _____ ___． 歷屆高考中的“拋物線”試題精選（自我測試 ） 一、選擇題： 1 2 3 4 5 6 7 8題 號答 案 1． （ 2020 浙江文） 拋物線 2 8yx? 的準線方程是（ ） (A) 2x?? (B) 4x?? (C) 2y?? (D) 4y?? 2.（ 2020江蘇） 拋物線 24xy? 上的一點 M 到焦點的距離為 1，則點 M 的縱坐標是（ ） A．1617 B．1615 C．87 D． 0 3.(2020 春招北京文 )在拋物線 y px2 2? 上橫坐標為 4 的點到焦點的距離為 5，則 p 的值為（ ） A. 12 B. 1 C. 2 D. 4 4． （ 2020 湖北理） 與直線 2xy+4=0 平行的拋物線 y=x2的切線方程是（ ） (A) 2xy+3=0 (B) 2xy3=0 (C) 2xy+1=0 (D) 2xy1=0 5． （ 2020 江西、山西、天津文、理） 設(shè)坐標原點為 O，拋物線 xy 22 ? 與過焦點的直線交于 A、 B 兩點，則 ??OBOA （ ） （ A） 43 （ B） － 43 （ C） 3 （ D）－ 3 6． (2020海南、寧夏理 )已知點 P 在拋物線 y2 = 4x上，那么點 P 到點 Q（ 2，－ 1）的距離與點 P 到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點 P 的坐標為（ ） A. （ 41 ，－ 1） B. （ 41 ， 1） C. （ 1， 2） D. （ 1，－ 2） 7．（ 2020 全國Ⅰ文、理） 拋物線 y2=4x的焦點為 F，準線為 l,經(jīng)過 F 且斜率為 3 的直線與拋物線在 x軸上方的部分相交于點 A， AK⊥ l,垂足為 K，則△ AKF 的面積是 （ ） （ A） 4 （ B） 3 3 (C) 4 3 (D)8 8． （ 2020 江蘇） 已知兩點 M（－ 2， 0）、 N（ 2， 0），點 P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足| | | |M N M P M N NP? ? ? ＝ 0，則動點 P（ x， y）的軌跡方程為（ ） （ A） xy 82? （ B） xy 82 ?? （ C） xy 42? （ D） xy 42 ?? 二 .填空題 : 9． ( 2020廣東文 )在平面直角坐標系 xOy中，已知拋物線關(guān)于 x軸對稱，頂點在原點 O，且過點P(2,4)，則該拋 物線的方程是 ． 10． (2020 上海文 )若直線 10ax y? ? ? 經(jīng)過拋物線 2 4yx? 的焦點，則實數(shù) a? ． 11．（ 2020春招上海） 過拋物線 xy 42? 的焦點 F 作垂直于 x 軸的直線，交拋物線于 A 、 B 兩點，則以 F 為圓心、 AB 為直徑的圓方程是 ________________. 12． （ 2020 山東文、理） 已知拋物線 xy 42 ? ，過點 P(4,0)的直線與拋物線相交于A( ),(), 2211 yxByx 、 兩點，則 y 2221 y? 的最小值是 歷屆高考中的“橢圓”試題精選（自我測試） 35 / 41 參 考 答 案 一、選擇題： 1 2 3 4 5 6 7 8A D B C D A B C題 號答 案 二、填空題： 9． 12 ． 10． 1416 22 ?? yx 。 22 4cos cPF ?? ．① 3 / 41 由橢圓定義知： aPFPF 221 ?? ②，則 －①② 2 得 ?c os1 2 221 ??? bPFPF． 故 ?s in21 2121 PFPFS PFF ??? ?? sincos1 221 2?? b 2tan2 ?b?． 例 6 已知動圓 P 過定點 ? ?03，?A ，且在定圓 ? ? 643 22 ??? yxB： 的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心 P 的軌跡方程． 分析： 關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點 P 滿足的關(guān)