【正文】 系式． 解： 如圖所示，設(shè)動圓 P 和定圓 B 內(nèi)切于點(diǎn) M ．動點(diǎn) P 到兩定點(diǎn)， 即定點(diǎn) ? ?03，?A 和 定圓圓心 ? ?03，B 距離之和恰好等于定圓半徑， 即 8????? BMPBPMPBPA ．∴點(diǎn) P 的軌跡是以 A ， B 為兩焦點(diǎn)， 半長軸為 4，半短軸長為 734 22 ???b 的橢圓的方程： 1716 22 ??yx ． 說明： 本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程．這是求軌跡方程的一種重要思想方法． 例 7 已知橢圓 12 22 ??yx ，（ 1）求過點(diǎn) ?????? 2121，P且被 P 平分的弦所在直線的方程； （ 2）求斜率為 2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程； （ 3）過 ? ?12，A 引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程； （ 4）橢圓上有兩點(diǎn) P 、 Q ， O 為原點(diǎn)，且有直線 OP 、 OQ 斜率滿足 21???OQOP kk， 求線段 PQ 中點(diǎn) M 的軌跡方程． 分析： 此題中四問都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法． 解： 設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為 ? ?11 yxM ， ， ? ?22 yxN ， ，線段 MN 的中點(diǎn) ? ?yxR ， ，則 ???????????????④，③，②，①，yyyxxxyxyx222222212122222121 ①－②得 ? ?? ? ? ?? ? 02 21212121 ?????? yyyyxxxx ． 由題意知 21 xx? ，則上式兩端同除以 21 xx? ，有 ? ? ? ? 0221212121 ????? xx yyyyxx ， 將③④代入得 022121 ???? xx yyyx ．⑤ 4 / 41 （ 1）將21?x，21?y代入⑤，得2121 21 ????xx yy，故所求直線方程為： 0342 ??? yx ． ⑥ 將⑥代入橢圓方程 22 22 ?? yx 得 04166 2 ??? yy， 0416436 ??????符合題意，0342 ??? yx 為所求． （ 2）將 22121 ???xx yy 代入⑤得所求軌跡方程為： 04 ?? yx ．（橢圓內(nèi)部分） （ 3）將2121 21 ????? xyxx yy代入⑤得所求軌跡方程為： 0222 22 ???? yxyx ．（橢圓內(nèi)部分） （ 4）由①＋②得 ： ? ? 22 22212221 ???? yyxx ， ⑦， 將③④平方并整理得 2122221 24 xxxxx ??? ， ⑧， 2122221 24 yyyyy ??? ， ⑨ 將⑧⑨代入⑦得： ? ? 224424212212 ???? yyyxxx ， ⑩ 再將2121 21 xxyy ??代入⑩式得： 221242 212212 ??????? ???? xxyxxx， 即 12122 ??yx ． 此即為所求軌跡方程．當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決． 例 8 已知橢圓 14 22 ??yx 及直線 mxy ?? ． （ 1）當(dāng) m 為何值時，直線與橢圓有公共點(diǎn)？ （ 2）若直線被橢圓截得的弦長為 5102 ，求直線的方程． 解： （ 1）把直線方程 mxy ?? 代入橢圓方程 14 22 ??yx 得 ? ? 14 22 ??? mxx ， 即 0125 22 ???? mmxx ． ? ? ? ? 020201542 222 ?????????? mmm ， 解 得2525 ??? m ． 5 / 41 （ 2）設(shè)直線與橢圓的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1x ， 2x ，由（ 1）得5221 mxx ???，5 1221 ?? mxx． 根據(jù)弦長公式得 ：51025 145211222 ?????????? ??? mm． 解得 0?m ．方程為xy? ． 說明： 處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別． 這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問題，一般考慮判別式 ? ；解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式． 用弦長公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡化運(yùn)算過程． 例 9 以橢圓 1312 22 ??yx 的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線 09 ??? yxl： 上一點(diǎn) M 作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點(diǎn) M 應(yīng)在何處？并求出此時的橢圓方程． 分析： 橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩已知點(diǎn)（即兩焦點(diǎn)）的距離 之和最小，只須利用對稱就可解決． 解： 如圖所示，橢圓 1312 22 ??yx 的焦點(diǎn)為 ? ?031 ，?F ， ? ?032 ，F(xiàn) ． 點(diǎn) 1F 關(guān)于直線 09 ??? yxl： 的對稱點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（－ 9， 6），直線 2FF 的方程為032 ??? yx ． 解方程組??? ??? ??? 09 032yx yx得交點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（－ 5， 4）．此時 21 MFMF ? 最?。? 所求橢圓的長軸： 562 221 ???? FFMFMFa ，∴ 53?a ，又 3?c ， ∴ ? ? 36353 22222 ????? cab ．因此，所求橢圓的方程為 13645 22 ??yx ． 6 / 41 例 10 已知方程 135 22 ????? kykx表示橢圓，求 k 的取值范圍 ． 解： 由????????????,35,03,05kkkk 得53 ??k ，且 4?k ． ∴滿足條件的 k 的取值范圍是 53 ??k ，且 4?k ． 說明： 本題易出現(xiàn)如下錯解：由??? ?? ?? ,03 ,05kk得 53 ??k ，故 k 的取值范圍是 53 ??k ． 出錯的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中 0??ba 這個條件，當(dāng) ba? 時，并不表示橢圓． 例 11 已知 1co ssin 22 ?? ?? yx )0( ???? 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，求 ? 的取值范圍． 分析： 依據(jù)已知條件確定 ? 的三角函數(shù)的大小關(guān)系．再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出 ? 的取值范圍． 解： 方程可化為 1cos1sin122 ????yx ．因?yàn)榻裹c(diǎn)在 y 軸上，所以 0sin1cos1 ??? ?? ． 因此 0sin ?? 且 1tan ??? 從而 )43,2( ???? ． 說明： (1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知 0sin1 ?? ， 0cos1 ?? ? ，這是容易忽視的地方． (2)由焦點(diǎn)在 y 軸上，知 ?cos12 ??a ， ?sin12 ?b ． (3)求 ? 的取值范圍時，應(yīng)注意題目中的條件 ????0 ． 例 12 求中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過 )2,3( ?A 和 )1,32(?B 兩點(diǎn)的橢圓方程． 分析： 由題設(shè)條件焦點(diǎn) 在哪個軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡便起見， 可設(shè)其方程為 122 ??nymx ( 0?m ， 0?n )，且不必去考慮焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上，直接可求出方程． 解： 設(shè)所求橢圓方程為 122 ??nymx ( 0?m ， 0?n )．由 )2,3( ?A 和 )1,32(?B 兩點(diǎn) 7 / 41 在橢圓上可得 ???????????????,11)32(,1)2()3(2222nmnm 即??? ?? ?? ,112 ,43 nm nm所以151?m，51?n．故所求的橢圓方程為1515 22 ??yx ． 例 13 知圓 122 ??yx ，從這個圓上任意一點(diǎn) P向 y 軸作垂線段，求線段中點(diǎn) M 的軌跡 ． 分析： 本題是已知一些軌跡，求動點(diǎn)軌跡問題．這種題目一般利用中間變量 (相關(guān)點(diǎn) )求軌跡方程或軌跡． 解： 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ),( yx ，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ),(00 yx，則20xx?，0yy?． 因?yàn)?),(00 yxP在圓 122 ??yx 上，所以 12020 ??yx． 將 xx 20?， yy ?0代入方程 12020 ??yx得 14 22 ??yx ．所以點(diǎn) M 的軌跡是一個橢圓 14 22 ??yx ． 說明： 此題是利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為 ),( yx ， 設(shè)已知軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ),(00 yx，然后根據(jù)題目要求，使 x ， y 與0x，0y建立等式關(guān)系， 從而由這些等式關(guān)系求出0x和0y代入已知的軌跡方程，就可以求出關(guān)于 x ， y 的方程， 化簡后即我們所求的方程．這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必須掌握． 例 14 已知長軸為 12，短軸長為 6，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，過它對的左焦點(diǎn) 1F 作傾斜解為 3?的直線交橢圓于 A ， B 兩點(diǎn)，求弦 AB 的長． 分析： 可以利用弦長公式 ]4))[(1(1 212212212 xxxxkxxkAB ??????? 求得， 也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來求． 解 ： (法 1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解． 8 / 41 2121 xxkAB ??? ]4))[(1( 212212 xxxxk ???? ．因?yàn)?6?a ， 3?b ，所以 33?c ．因?yàn)榻裹c(diǎn)在 x 軸上， 所以橢圓方程為 1936 22 ??yx，左焦點(diǎn) )0,33(?F ，從而直線方程為 93 ?? xy ． 由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得： 083637213 2 ???? xx ．設(shè) 1x ， 2x 為方程兩根，所以13 37221 ???xx ， 1383621 ??xx ， 3?k ， 從而1348]4))[(1(1 212212212 ???????? xxxxkxxkAB ． (法 2)利用橢圓的定義及余弦定理求解 ． 由題意可知橢圓方程為 1936 22 ??yx ，設(shè) mAF?1 ， nBF?1 ，則 mAF ??122 ，nBF ??122 ． 在 21FAF? 中， 3c os22112212122 ?FFAFFFAFAF ???，即21362336)12( 22 ???????? mmm ； 所以34 6??m．同理在 21FBF? 中，用余弦定理得34 6??n，所以 1348??? nmAB ． (法 3)利用焦半徑求解． 先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程 083637213 2 ???? xx 求出方程的兩根 1x ， 2x ，它們分別是 A ， B 的橫坐標(biāo)． 再根據(jù)焦半徑 11 exaAF ?? ， 21 exaBF ?? ，從而求出 11 BFAFAB ?? ． 例 15 橢圓 1925 22 ??yx 上的點(diǎn) M 到焦點(diǎn) 1F 的距離為 2， N 為 1MF 的中點(diǎn)，則 ON （ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為 A． 4 B． 2 C． 8 D． 23 9 / 41 解： 如圖所示，設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為 2F ，由橢圓第一定義得10221 ??? aMFMF ，所以 821010 12 ????? MFMF ， 又因?yàn)?ON 為 21FMF? 的中位線，所以 421 2 ?? MFON，故答案為 A． 說明： (1)橢圓定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于 21FF ）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓． (2)橢圓上的點(diǎn)必定適合橢圓的這一定義，即 aMFMF 221 ?? ，利用這個等式可以解決橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的有關(guān)距離． 例 16 已知橢圓 134 22 ?? yxC： ，試確定 m 的取值范圍，使得對于直線 mxyl ?? 4： ，橢圓 C 上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱． 分析： 若設(shè)橢圓上 A ， B 兩點(diǎn)關(guān)于直線 l 對稱，則已知條件等價(jià)于： (1)直線 lAB? ； (2)弦 AB 的中點(diǎn) M 在 l 上． 利用上述條件建立 m 的不等式即可求得 m 的取值范圍． 解： (法 1)設(shè)橢圓上 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB 兩點(diǎn)關(guān)于直線 l 對稱，直線 AB 與 l 交于 ),( 00 yxM點(diǎn)． ∵ l 的斜率 4?lk ，∴設(shè)直線 AB 的方程為 nxy ??? 41 ．由方程組????????????,134,4122 yxnxy 消去 y 得 04816813 22 ???? nnxx