【正文】 11 yxP （ 01?y ）． 思路一：根據(jù)題設容易想到兩條直線的夾角公式，即 3160t a n 12 12 ?? ??? PFPF PFPF KK KK，設),( 11 yxP ， )0,(1 cF ? ， )0,(2 cF ，化簡可得 03233 212121 ???? ccyyx ．又1221221 ??byax ，兩方程聯(lián)立消去 21x 得 0323 412212 ??? bcybyc ，由 ],0(1 by ? ，可以確定離心率的取值范圍；解出 1y 可以求出 21FPF? 的面積，但這一過程很繁． 思路二：利用焦半徑公式 11 exaPF ?? ， 12 exaPF ?? ，在 21FPF? 中運用余弦定理，求 1x ，再利用 ],[1 aax ?? ，可以確定離心率 e 的取值范圍，將 1x 代入橢圓方程中求 1y ，便可求出 21FPF? 的面積． 思路三：利用正弦定理、余弦定理，結合 aPFPF 221 ?? 求解． 29 / 41 解： (法 1)設橢圓方程為 12222 ??byax （ 0??ba ）， ),( 11 yxP ， )0,(1 cF ? ， )0,(2 cF ，0?c ， 則 11 exaPF ?? ， 12 exaPF ?? ． 在 21FPF? 中，由余弦定理得 ))((2 4)()(2160c os 1122121exaexa cexaexa ?? ???????， 解得22221 34 e acx ??． (1)∵ ],0( 221 ax ? ， ∴ 2222340 ae ac ??? ，即 04 22 ??ac ． ∴ 21??ace ． 故橢圓離心率的取范圍是 )1,21[?e ． (2)將22221 34 e acx ??代入 12222 ??byax 得 2421 3cby ?，即cby 321 ?． ∴ 2221 3332212121 bcbcyFFS FPF ???????． 即 21FPF? 的面積只與橢圓的短軸長有關． (法 2)設 mPF?1 ， nPF?2 ， ??? 12FPF ， ??? 21FPF ， 則 ??? 120?? ． (1)在 21FPF? 中，由正弦定理得 ??? 60s in2s ins in m ??． 30 / 41 ∴???? 60sin2sinsin m ?? ∵ anm 2?? ， ∴??? 60sin2sinsin 2 ca ??， ∴2c o s2s i n260s i ns i ns i n60s i n ?????? ????????ace 212cos21 ??? ?? ． 當且僅當 ??? 時等號成立． 故橢圓離心率的取值范圍是 )1,21[?e ． (2)在 21FPF? 中，由余弦定理得： ???? 60c o s2)2( 222 mnnmc mnnm ??? 22 mnnm 3)( 2 ??? ∵ anm 2?? ， ∴ mnac 344 22 ?? ，即 222 34)(34 bcamn ??? ． ∴ 23360s in2121 bmnS FPF ????． 即 21FPF? 的面積與橢圓短軸長有關． 說明： 橢圓上的一點 P 與兩個焦點 1F ， 2F 構成的三角形為橢圓的焦點三角形，涉及有關焦點三角形問題，通常運用三角形的邊角關系定理．解題中通過變形，使之出現(xiàn)21 PFPF ? 的結構，這樣 就可以應用橢圓的定義，從而可得到有關 a ， c 的關系式，使問題找到解決思路． 典型例題二十 例 20 橢圓 12222 ??byax )0( ??ba 與 x 軸正向交于點 A ，若這個橢圓上總存在點 P ， 31 / 41 使 APOP? (O 為坐標原點 )，求其離心率 e 的取值范圍． 分析： ∵ O 、 A 為定點， P 為動點，可以 P 點坐標作為參數(shù)，把 APOP? ，轉化為 P點坐標的一個等量關系，再利用坐標的范圍建立關于 a 、 b 、 c 的一個不等式，轉化為關于e 的不等式．為減少參數(shù)，易考慮運用橢圓參數(shù)方程． 解： 設橢圓的參數(shù)方程是??? ?? ??sincosby ax )0( ??ba， 則橢圓上的點 )sin,cos( ?? baP ， )0,(aA ， ∵ APOP? ，∴ 1c oss inc oss in ???? aa bab ? ???， 即 0c o sc o s)( 22222 ???? baba ?? ，解得 1cos ?? 或222cos ba ??? ， ∵ 1cos1 ??? ? ∴ 1cos ?? （舍去）， 11222 ???? ba b ，又 222 cab ?? ∴ 2022 ??ca ， ∴ 22?e ，又 10 ??e ，∴ 122 ??e ． 說明： 若已知橢圓離心率范圍 )1,22( ，求證在橢圓上總存在點 P 使 APOP? ．如何證明？ 歷屆高考中的“橢圓”試題精選（自我測試） 一、選擇題： 1 2 3 4 5 6 7 8題 號答 案 1.(2020 安徽文 )橢圓 14 22 ?? yx 的離心率為（ ） （ A） 23 （ B） 43 （ C） 22 （ D） 32 2.(2020 上海文 )設 p 是橢圓 22125 16xy??上的點．若 12FF， 是橢圓的兩個焦點，則12PF PF? 等于（ ） A． 4 B． 5 C． 8 D． 10 3． （ 2020 廣東） 若焦點在 x 軸上的橢圓 12 22 ?? myx 的離心率為 21 ，則 m=（ ） 32 / 41 A． 3 B．23 C．38 D．32 4． （ 2020全國 Ⅱ 卷文、理） 已知△ ABC的頂點 B、 C在橢圓 x23 ＋ y2＝ 1上，頂點 A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在 BC邊上，則△ ABC的周長是（ ） （ A） 2 3 （ B） 6 （ C） 4 3 （ D） 12 5． （ 2020 北京文） 如圖，直線 022: ??? yxl 過橢圓的左焦點 F1和 一個頂點 B，該橢圓 的離心率為（ ） A．51 B．52 C． 55 D． 552 6． （ 2020 春招北京文、理） 已知橢圓的焦點是 F F P 是橢圓上的一個動點．如果延長F1P 到 Q，使得 |PQ|=|PF2|，那么動點 Q 的軌跡是（ ） （ A） 圓 （ B）橢圓 （ C）雙曲線的一支 （ D）拋物線 7． （ 2020福建文、理） 已知 F F2是橢圓的兩個焦點，過 F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于 A、 B 兩點，若△ ABF2是正三角形，則這個橢圓的離心率是（ ） （ A） 32 （ B） 33 （ C） 22 （ D） 23 8.（ 2020重慶文） 已知以 F1（ 2,0）， F2（ 2,0）為焦點的橢圓與直線 043 ??? yx 有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為（ ） （ A） 23 （ B） 62 （ C） 72 （ D） 24 二、填空題： 9． (2020 全國 Ⅰ 卷文 )在 ABC△ 中， 90A?? ， 3tan 4B? ．若以 AB， 為焦點的橢圓經過點 C ，則該橢圓的離心率 e? ． 10． （ 2020上海理） 已知橢圓中心在原點，一個焦點為 F（－ 2 3 ， 0），且長軸長是短軸長的 2倍，則該橢圓的標準方程是 ． 11.（ 2020江蘇） 在平面直角坐標系 xOy 中，已知 ABC? 頂點 ( 4,0)A? 和 (4,0)C ，頂點 B在橢圓 1925 22 ?? yx 上，則 sin sinsinACB? ? . 12． （ 2020 春招北京、內蒙、安徽文、理） 橢圓 44 22 ?? yx 長軸上一個頂點為 A，以 A為直角頂點作一個內接于橢 圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是 _______________． 歷屆高考中的“雙曲線”試題精選（自我測試） 一、選擇題： 1 2 3 4 5 6 7 8題 號答 案 1． （ 2020 全國卷 Ⅱ 文， 2020春招北京文、理） 雙曲線 22149xy??的漸近線方程是（ ） （ A） 23yx?? （ B） 49yx?? （ C） 32yx?? （ D） 94yx?? 2.（ 2020全國Ⅰ卷文、理） 雙曲線 221mx y??的虛軸長是實軸長的 2倍，則 m? （ ） 33 / 41 A． 14? B． 4? C． 4 D． 14 3．（ 2020 春招北京、安徽文、理） 雙曲線 12222 ??aybx 的兩條漸近線互相垂直，那么該 雙曲線的離心率是（ ） A． 2 B． 3 C． 2 D．23 4.（ 2020全國Ⅰ文、理） 已知雙曲線的離心率為 2，焦點是（ 4， 0），（ 4， 0），則雙曲線方程為 （ ） （ A） 1124 22 ??yx （ B） 1412 22 ??yx （ C） 1610 22 ??yx （ C） 1106 22 ??yx 5.(2020 遼寧文 ) 已知雙曲線 2 2 29 1( 0)y m x m? ? ?的一個頂點到它的一條漸近線的距離為15 ， 則 m? ( ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 6． （ 2020全國卷 III文、理） 已知雙曲線 1222 ?? yx 的焦點為 F F2，點 M 在雙曲線上且120,MF MF??則點 M 到 x軸的距離為（ ） A． 43 B． 53 C． 233 D． 3 7． (2020 福建文、理 )雙曲線 221xyab??（ a＞ 0,b＞ 0）的兩個焦點為 12,FF，若 P 為其上的一點，且 12| | 2 | |PF PF? ，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ） Ａ． (1,3) Ｂ． (1,3] Ｃ． (3, )?? Ｄ． [3, )?? 8.(2020安徽理 )如圖， 1F 和 2F 分別是雙曲線 )0,0(12222 ?? babrax ?? 的兩個焦點， A 和 B是以 O 為圓心，以 1FO 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點， 且△ ABF2 是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ） （ A） 3 （ B） 5 （ C） 25 （ D） 31? 二、填空題： 9.（ 2020 安徽文） 已知雙曲線 22112xynn??? 的離心率是 3 ?！?13821 nxx ?? ．于是 1342 210 nxxx ??? ，131241 00 nnxy ???? ， 即點 M 的坐標為 )1312,134( nn ．∵點 M 在直線 mxy ??4 上，∴ mnn ??? 1344 ．解得mn 413?? ． ② 將式②代入式①得 0481692613 22 ???? mmxx ③ ∵ A ， B 是 橢 圓 上 的 兩 點 ， ∴ 0)481 6 9(134)26( 22 ?????? mm ．解得1313213132 ??? m ． 10 / 41 (法 2)同解法 1 得出 mn413??，∴ mmx ???? )413(1340， mmmmxy 3413)(4141341 00 ?????????? ，即 M 點坐標為 )3,( mm ?? ． ∵ A ， B 為橢圓上的兩點，∴ M 點在橢圓的內部，∴ 13 )3(4 )( 22 ???? mm ．解得1313213132 ??? m ． (法 3)設 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB 是橢圓上關于 l 對稱的兩點，直線 AB 與 l 的交點 M 的坐標為 ),( 00 yx ． ∵ A ， B 在 橢 圓 上 ， ∴ 134 2121 ?? yx ， 134 2222 ?? yx ． 兩 式 相 減 得0))((4))((3 21212121 ?????? yyyyxxxx ， 即 0)(24)(23 210210 ?????? yyyxxx ．∴ )(43 210021 21 xxyxxxy ?????． 又∵直線 lAB? ，∴ 1??? lAB kk ，∴ 1443 00 ???? yx，即 00 3xy ? ①。 12．2516 歷屆高考中的“雙曲線”試題精選（自我測試） 參 考 答 案 一、選