【正文】 36)4(4)8( 22 ???? yx ② 從而 A ， B 在方程①－②的圖形 082 ??? yx 上， 而過 A 、 B 的直線只有一條，∴直線方程為 082 ??? yx ． 說明： 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點考查的解析幾何問題，“設(shè)而不求”的方法是處理此類問題的有效方法． 若已知焦點是 )0,33( 、 )0,33(? 的橢圓截直線 082 ??? yx 所得弦中點的橫坐標是 4，則如何求橢圓方程？ 典型例題一 例 1 橢圓的一個頂點為 ? ?02，A ，其長軸長是短軸長的 2 倍，求橢圓的標準方程． 分析： 題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置． 解： （ 1）當 ? ?02，A 為長軸端點時， 2?a ， 1?b ， 橢圓的標準方程為： 114 22 ??yx ； （ 2）當 ? ?02，A 為短軸端點時， 2?b ， 4?a ， 橢圓的標準方程為： 1164 22 ??yx ； 說明： 橢圓的標準方程有兩個，給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況． 典型例題二 例 2 一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率． 13 / 41 解：3122 2 ??? cac? ∴ 223 ac ? ， ∴3331 ??e． 說明： 求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求 a ，求 c ，再求比．二是列含 a 和 c 的齊次方程，再化含 e 的方程，解方程即可． 典型例題三 例 3 已知中心在原點，焦點在 x 軸上的橢圓與直線 01???yx 交于 A 、 B 兩點， M為 AB 中點， OM 的斜率為 ，橢圓的短軸長為 2，求橢圓的方程． 解： 由題意，設(shè)橢圓方程為 1222 ??yax ， 由??????????101222 yaxyx ，得 ? ? 021222 ??? xaxa ， ∴221axxM??，21 11 axy MM ????， 4112 ??? axyk MMOM?，∴ 42?a ， ∴ 14 22 ??yx 為所求． 說明： （ 1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（ 2）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題． 典型例題四 例 4 橢圓 1925 22 ??yx 上不同三點 ? ?11 yxA ， ， ?????? 594，B， ? ?22 yxC ， 與焦點 ? ?04，F(xiàn) 的距離成等差數(shù)列． （ 1）求證 821 ??xx ； （ 2）若線段 AC 的垂直平分線與 x 軸的交點為 T ，求直線 BT 的斜率 k ． 14 / 41 證明： （ 1）由橢圓方程知 5?a ， 3?b ， 4?c ． 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：acxcaAF ?? 12， ∴ 11 545 xexaAF ????． 同理 2545 xCF ??． ∵ BFCFAF 2?? ，且59?BF， ∴ 518545545 21 ??????? ???????? ? xx， 即 821 ??xx ． （ 2）因為線段 AC 的中點為 ?????? ?24 21 yy，所以它的垂直平分線方程為 ? ?42 21 2121 ?????? xyy xxyyy． 又∵點 T 在 x 軸上，設(shè)其坐標為 ? ?00，x ，代入上式，得 ? ?2122210 24 xx yyx ???? 又∵點 ? ?11 yxA ， ， ? ?22 yxB ， 都在橢圓上， ∴ ? ?2121 25259 xy ?? ? ?2222 25259 xy ?? ∴ ? ?? ?21212221 259 xxxxyy ?????． 將此式代入①，并利用 821 ??xx 的結(jié)論得 253640 ???x ∴ 4540590???? xkBT ． 15 / 41 典型例題五 例 5 已知橢圓 134 22 ??yx ， 1F 、 2F 為兩焦點，問能否在橢圓上找一點 M ，使 M 到左準線 l 的距離 MN 是 1MF 與 2MF 的等比中項？若存在，則求出點 M 的坐標；若不存在，請說明理由． 解： 假設(shè) M 存在，設(shè) ? ?11 yxM ， ，由已知條件得 2?a ， 3?b ，∴ 1?c ， 21?e ． ∵左準線 l 的方程是 4??x ， ∴ 14 xMN ?? ． 又由焦半徑公式知： 111 212 xexaMF ????， 112 212 xexaMF ????． ∵ 212 MFMFMN ?? ， ∴ ? ? ?????? ??????? ??? 1121 2122124 xxx． 整理得 048325 121 ??? xx ． 解之得 41 ??x 或 5121 ??x． ① 另一方面 22 1 ??? x ． ② 則①與②矛盾，所以滿足條件的點 M 不存在． 說明： （ 1）利用焦半徑公式解?？珊喕忸}過程． （ 2）本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù) 已知條件進行推理和運算．進而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷． （ 3）本例也可設(shè) ? ??? sin3cos2 ，M 存在，推出矛盾結(jié)論（讀者自己完成）． 典型例題六 16 / 41 例 6 已知橢圓 12 22 ??yx，求過點 ?????? 2121，P且被 P 平分的弦所在的直線方程． 分析一： 已知一點求直線，關(guān)鍵是求 斜率，故設(shè)斜率為 k ，利用條件求 k ． 解法一： 設(shè)所求直線的斜率為 k ，則直線方程為 ?????? ??? 2121 xky．代入橢圓方程，并整理得 ? ? ? ? 023212221 2222 ??????? kkxkkxk ． 由韋達定理得2221 21 22 k kkxx ? ???． ∵ P 是弦中點，∴ 121 ??xx ．故得 21??k ． 所以所求直線方程為 0342 ??? yx ． 分析二： 設(shè)弦兩端坐標為 ? ?11 yx， 、 ? ?22 yx， ，列關(guān)于 1x 、 2x 、 1y 、 2y 的方程組，從而求斜率：2121 xx yy?? ． 解法二： 設(shè)過 ?????? 2121，P的直線與橢圓交于 ? ?11 yxA ， 、 ? ?22 yxB ， ，則由題意得 ?????????????????④1.③1②12①12212122222121yyxxyxyx，， ①－②得 02 22212221 ???? yyxx ． ⑤ 將③、④代入⑤得2121 21 ????xx yy，即直線的 斜率為 21? ． 所求直線方程為 0342 ??? yx ． 說明： （ 1）有關(guān)弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點軌跡；過定點的弦中點軌跡． 17 / 41 （ 2）解法二是“點差法”，解決有關(guān)弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率． （ 3）有關(guān)弦及弦中點問題常用的方法是：“韋達定理應(yīng)用”及“點差法”．有關(guān)二次曲線問題也適用． 典型例題七 例 7 求適合條件的橢圓的標準方程． （ 1）長軸長是短軸長的 2 倍，且過點 ? ?62?， ； （ 2）在 x 軸上的一個焦點與短軸兩端點的聯(lián)機互相垂直，且焦距為 6． 分析： 當方程有兩種形式時，應(yīng)分別求解，如（ 1）題中由 12222 ??byax 求出 1482?a ，372?b ，在得方程 137148 22 ?? yx 后，不能依此寫出另一方程 137148 22 ??xy ． 解： （ 1）設(shè)橢圓的標準方程為 12222 ??byax 或 12222 ??bxay ． 由已知 ba 2? ． ① 又過點 ? ?62?， ，因此有 ? ? 162 2 222 ??? ba 或 ? ? 126 222 2 ??? ba ． ② 由①、②，得 1482?a ， 372?b 或 522?a ， 132?b ．故所求的方程為 137148 22 ?? yx 或 11352 22 ??xy ． （ 2）設(shè)方程為 12222 ??byax ．由已知， 3?c ， 3??cb ，所以 182?a ．故所求方程為 1918 22 ??yx ． 說明： 根據(jù)條件求橢圓的標準方程的思路是“選標準，定參數(shù)”．關(guān)鍵在于焦點的位置是否確定，若不能確定，應(yīng)設(shè)方程 12222 ??byax 或 12222 ??bxay ． 18 / 41 典型例題八 例 8 橢圓 11216 22 ??yx 的右焦點為 F ，過點 ? ?31，A ，點 M 在橢圓上，當 MFAM 2?為最小值時，求點 M 的坐標． 分析： 本題的關(guān)鍵是求出離心率21?e，把 MF2 轉(zhuǎn)化為 M 到右準線的距離，從而得最小值．一般地，求 MFeAM 1?均可用此法． 解： 由已知： 4?a ， 2?c ．所以 21?e ，右準線8?xl： ． 過 A 作 lAQ? ，垂足為 Q ，交橢圓于 M ，故MFMQ 2? ．顯然 MFAM 2? 的最小值為 AQ ，即 M為所求點，因此 3?My ，且 M 在橢圓上．故 32?Mx ．所以 ? ?332 ，M ． 說明： 本題關(guān)鍵在于未知式 MFAM 2? 中的“ 2”的處理．事實上，如圖， 21?e ，即 MF 是 M 到右準線的距離的一半，即圖中的 MQ ，問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點 M ，使 M到 A 的距離與到右準線距離之和取最小值． 典型例題九 例 9 求橢圓 13 22 ??yx 上的點到直線 06???yx 的距離的最小值． 分析： 先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值． 解： 橢圓的參數(shù)方程為????? .sincos3? ?yx ，設(shè)橢圓上的點的坐標為 ? ??? sincos3 ， ，則點到直線的距離為 263s i n226s i nc o s3 ??????? ????? ????d ． 19 / 41 當 13sin ???????? ???時， 22?最小值d ． 說明： 當直接設(shè)點的坐標不易解決問題時，可建立曲線的參數(shù)方程． 典型例題十 例 10 設(shè)橢圓的中心是坐標原點，長軸在 x 軸上，離心率 23?e ，已知點 ?????? 230，P到這個橢圓上的點的最遠距離是 7 ，求這個橢圓的方程，并求橢圓上的點 P 的距離等于 7的點的坐標． 分析： 本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求 d 的最大值時，要注意討論 b 的取值范圍．此題可以用橢圓的標準方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善 于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題，從而加強等價轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力． 解法一： 設(shè)所求橢圓的直角坐標方程是 12222 ??byax ，其中 0??ba 待定． 由22222222 1 aba baace ????? 可得 214311 2 ????? eab，即 ba 2? ． 設(shè)橢圓上的點 ? ?yx， 到點 P 的距離是 d ，則 493123 2222222 ??????????? ???????? ??? yybyayxd 3421349334 2222 ???????? ??????? byyyb 其中 byb ??? ． 如果 21?b ，則當 by ?? 時， 2d （從而 d ）有最大值． 由題設(shè)得 ? ? 22237 ?????? ?? b，由此得 21237 ???b ，與 21?b 矛盾． 20 / 41 因此必有21?b成立，于是當21??y時， 2d （從而 d ）有最大值． 由題設(shè)得 ? ? 347 22 ?? b ，可得 1?b ， 2?a ． ∴所求橢圓方程是 114 22 ??yx ． 由21??y及求得的橢圓方程可得，橢圓上的