【正文】 ． 說明： 當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易解決問題時(shí)，可建立曲線的參數(shù)方程． 典型例題十 例 10 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在 x 軸上，離心率 23?e ，已知點(diǎn) ?????? 230，P到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是 7 ，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上的點(diǎn) P 的距離等于 7的點(diǎn)的坐標(biāo)． 分析： 本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求 d 的最大值時(shí)，要注意討論 b 的取值范圍．此題可以用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善 于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題，從而加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力． 解法一： 設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是 12222 ??byax ，其中 0??ba 待定． 由22222222 1 aba baace ????? 可得 214311 2 ????? eab，即 ba 2? ． 設(shè)橢圓上的點(diǎn) ? ?yx， 到點(diǎn) P 的距離是 d ，則 493123 2222222 ??????????? ???????? ??? yybyayxd 3421349334 2222 ???????? ??????? byyyb 其中 byb ??? ． 如果 21?b ，則當(dāng) by ?? 時(shí)， 2d （從而 d ）有最大值． 由題設(shè)得 ? ? 22237 ?????? ?? b，由此得 21237 ???b ，與 21?b 矛盾． 20 / 41 因此必有21?b成立，于是當(dāng)21??y時(shí)， 2d （從而 d ）有最大值． 由題設(shè)得 ? ? 347 22 ?? b ，可得 1?b ， 2?a ． ∴所求橢圓方程是 114 22 ??yx ． 由21??y及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn) ?????? ?? 213，點(diǎn) ?????? ?213，到點(diǎn)?????? 230，P 的距離是 7 ． 解法二： 根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是??? ?? ??sincosby ax，其中 0??ba ，待定，?? 20 ?? ， ? 為參 數(shù)． 由 2222222 1 ??????????? aba baace可得 214311 2 ????? eab，即 ba 2? ． 設(shè)橢圓上的點(diǎn) ? ?yx， 到點(diǎn) ?????? 230，P的距離為 d ，則 22222223s i nc os23 ?????? ????????? ??? ?? bayxd 49s in3s in34 222 ???? ?? bbb 3421s in3 222 ???????? ??? bbb ? 如果 121?b ，即 21?b ，則當(dāng) 1sin ??? 時(shí)， 2d （從而 d ）有最大值． 由題設(shè)得 ? ? 22237 ?????? ?? b，由此得 21237 ???b ，與 21?b 矛盾，因此必有 121?b成立． 于是當(dāng) b21sin ??? 時(shí) 2d （從而 d ）有最大值． 由題設(shè)知 ? ? 347 22 ?? b ，∴ 1?b ， 2?a ． 21 / 41 ∴所求橢圓的參數(shù)方程是??? ?? ??sincos2yx． 由21sin ???， 23cos ??? ，可得橢圓上的是 ?????? ?? 213， ?????? ?213，． 典型例題十一 例 11 設(shè) x ， R?y ， xyx 632 22 ?? ，求 xyx 222 ?? 的最大值和最小值． 分析： 本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程 xyx 632 22 ?? 與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致．設(shè) mxyx ??? 222 ，顯然它表示一個(gè)圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關(guān)系求得最值． 解： 由 xyx 632 22 ?? ，得 123492322?????????????? ?yx 可見它表示一個(gè)橢圓，其中心在 ?????? 023，點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，且過（ 0， 0）點(diǎn)和（ 3， 0）點(diǎn)． 設(shè) mxyx ??? 222 ，則 ? ? 11 22 ???? myx 它表示一個(gè)圓，其圓心為（－ 1， 0）半徑為 ? ?11 ??? mm ． 在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如圖所示．觀察圖形可知，當(dāng)圓過（ 0， 0）點(diǎn)時(shí)，半徑最小，即 11??m ，此時(shí) 0?m ；當(dāng)圓過（ 3， 0）點(diǎn)時(shí)，半徑最大，即 41??m ，∴ 15?m ． ∴ xyx 222 ?? 的最小值為 0，最大值為 15． 22 / 41 典型例題十二 例 12 已知橢圓 ? ?012222 ???? babyaxC ： ， A 、 B 是其長軸的兩個(gè)端點(diǎn)． （ 1）過一個(gè)焦點(diǎn) F 作垂直于長軸的弦 P? ，求證：不論 a 、 b 如何變化， ?120??APB ． （ 2）如果橢圓上存在一個(gè)點(diǎn) Q ，使 ?120??AQB ，求 C 的離心率 e 的取值范圍． 分析： 本題從已知條件出發(fā)，兩問都應(yīng)從 APB? 和 AQB? 的正切值出發(fā)做出估計(jì)，因此要從點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率入手．本題的第（ 2）問中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率 e 滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)： ax? ， by? ，根據(jù) ?120??AQB 得到32 222 ???? ayx ay ，將 22 222 ybaax ?? 代入，消去 x ，用 a 、 b 、 c 表示 y ，以便利用 by?列出不等式．這里要求思路清楚，計(jì)算準(zhǔn)確，一氣呵成． 解： （ 1）設(shè) ? ?0，cF ， ? ?0，aA? ， ? ?0，aB ． ???????????? ??? abcPbayaxb cx 2222222 ， 于是 ? ?aca bkAP ??2 ， ? ?aca bkBP ??2 ． ∵ APB? 是 AP 到 BP 的角． ∴ ? ? ? ?? ?2222242221t a n caacabacabacabA P B ????????? 23 / 41 ∵ 22 ca? ∴ 2tan ???APB 故 3tan ???APB ∴ ?120??APB ． （ 2）設(shè) ? ?yxQ ， ，則axykQA ??，axykQB ??． 由于對稱性，不妨設(shè) 0?y ，于是 AQB? 是 QA 到 QB 的角． ∴22222221tan ayx ayaxyaxyaxyA Q B ?????????? ∵ ?120??AQB ， ∴ 32222 ???? ayx ay 整理得 ? ? 023 222 ???? ayayx ∵ 22222 ybaax ?? ∴ 0213 222 ?????????? ? ayyba ∵ 0?y ， ∴2232 caby? ∵ by? ， ∴ bcab ?2232 232 cab? ， ? ? 2222 34 ccaa ?? ∴ 0444 4224 ??? acac ， 0443 24 ??? ee ∴ 232?e 或 22 ??e （舍），∴ 136 ??e ． 典型例題十三 例 13 已知橢圓 198 22 ??? ykx 的離心率 21?e ，求 k 的值． 分析： 分兩種情況進(jìn)行討論． 24 / 41 解： 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)， 82 ??ka ， 92?b ，得 12 ?? kc ．由21?e，得 4?k ． 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)， 92?a ， 82 ??kb ，得 kc ??12 ． 由21?e，得4191 ??k，即45??k． ∴滿足條件的 4?k 或45??k． 說明： 本題易出現(xiàn)漏解．排除錯(cuò)誤的辦法是：因?yàn)?8?k 與 9 的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點(diǎn)可能在 x 軸上，也可能在 y 軸上．故必須進(jìn)行討論． 典型例題十四 例 14 已知橢圓 142222 ?? bybx 上一點(diǎn) P 到右焦點(diǎn) 2F 的距離為 b )1( ?b ，求 P 到左準(zhǔn)線的距離． 分析： 利用橢圓的兩個(gè)定義，或利用第二定義和橢圓兩準(zhǔn)線的距離求解． 解法一： 由 142222 ?? bybx ，得 ba 2? ， bc 3? ， 23?e ． 由橢圓定義， baPFPF 4221 ??? ，得 bbbPFbPF 344 21 ????? ． 由橢圓第二定義， edPF?11， 1d 為 P 到左準(zhǔn)線的距離， ∴ bePFd 3211 ??， 即 P 到左準(zhǔn)線的距離為 b32 ． 解法二： ∵ edPF?22， 2d 為 P 到右準(zhǔn)線的距離， 23??ace ， ∴ bePFd 3 3222 ??． 又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為 bca 3382 2 ?? ． 25 / 41 ∴ P 到左準(zhǔn)線的距離為 bbb 323 323 38 ?? ． 說明： 運(yùn)用橢圓的 第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性．否則就會(huì)產(chǎn)生誤解． 橢圓有兩個(gè)定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時(shí)要靈活選擇，運(yùn)用自如．一般地，如遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義． 典型例題十五 例 15 設(shè)橢圓?????.sin32,cos4??yx (? 為參數(shù) )上一點(diǎn) P 與 x 軸正向所成角 3???POx ，求P 點(diǎn)坐標(biāo)． 分析： 利用參數(shù) ? 與 POx? 之間的關(guān)系求解． 解： 設(shè) )sin32,co s4( ??P ，由 P 與 x 軸正向所成角為 3? ， ∴ ??? cos4 sin323tan ? ，即 2tan ?? ． 而 0sin ?? ， 0cos ?? ，由此得到 55cos ?? ， 552sin ?? ， ∴ P 點(diǎn)坐標(biāo)為 )5154,554( ． 典型例題十六 例 16 設(shè) ),( 00 yxP 是離心率為 e 的橢圓 12222 ??byax )0( ??ba 上的一點(diǎn)， P 到左焦點(diǎn) 1F 和右焦點(diǎn) 2F 的距離分別為 1r 和 2r ，求證： 01 exar ?? ， 02 exar ?? ． 分析： 本題考查橢圓的兩個(gè)定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離． 26 / 41 解： P 點(diǎn)到橢圓的左準(zhǔn)線caxl 2??：的距離，caxPQ 20 ??， 由橢圓第二定義， ePQPF?1， ∴ 01 exaPQer ??? ，由橢圓第一定義， 012 2 exarar ???? ． 說明： 本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑（或焦點(diǎn)弦）的有關(guān)問題時(shí)，有著廣泛的應(yīng)用．請寫出橢圓焦點(diǎn)在 y 軸上的焦半徑公式． 典型例題十七 例 17 已知橢圓 159 22 ??yx 內(nèi)有一點(diǎn) )1,1(A ， 1F 、 2F 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P 是橢圓上一點(diǎn)． (1) 求 1PFPA? 的最大值、最小值及對應(yīng)的點(diǎn) P 坐標(biāo)； (2) 求223 PFPA?的最小值及對應(yīng)的點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 分析： 本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法．二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法．本題若按先建立目 標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡捷求解． 解： (1) 如 上圖， 62?a ， )0,2(2F ， 22 ?AF ，設(shè) P 是橢 圓上任一點(diǎn) ，由6221 ??? aPFPF ， 22 AFPFPA ?? ，∴262 22211 ???????? AFaAFPFPFPFPA ，等號僅當(dāng) 22 AFPA ?? 時(shí)成立，此時(shí) P 、 A 、 2F 共線． 由 22 AFPFPA ?? ，∴ 262 22211 ???????? AFaAFPFPFPFPA ，等 27 / 41 號僅當(dāng) 22 AFPFPA ?? 時(shí)成立，此時(shí) P 、 A 、 2F 共線． 建立 A 、 2F 的直線方程 02???yx ，解方程組??? ?? ??? 4595 ,0222 yxyx 得兩交點(diǎn) )2141575,2141579(1 ??P 、 )2141575,2141579(2 ??P ． 綜上所述， P 點(diǎn) 與 1P 重合時(shí)， 1PFPA? 取最小值 26? ， P 點(diǎn)與 2P 重合時(shí)，2PFPA? 取最大值 26? ． (2)如下圖，設(shè) P 是橢圓上任一點(diǎn)，作 PQ 垂直橢圓右準(zhǔn)線， Q 為垂足，由 3?a