【正文】 故數(shù)列 {bn} 也是等差數(shù)列 . {an} 是等差數(shù)列 , 其前 n 項(xiàng)和為 Sn, a3=7, S4=24. (1)求數(shù)列 {an} 的通項(xiàng)公式 。 1 2 (2)Tn=( 2 +1)(12 ). n 2 f(t) 對(duì)任意實(shí)數(shù) x, y 都有 : f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x +y+2)+3, f(1)=1. (1)若 t 為正整數(shù) , 試求 f(t) 的表達(dá)式 。 (2)滿 足 f(t)=t 的所有整數(shù) t 能否構(gòu)成等差數(shù)列 ? 若能構(gòu)成等差數(shù)列 , 求出此數(shù)列 。 (2)設(shè) p, q 是正整數(shù) , 且 p?q, 證明 : a1+2d=7 且 4a1+6d=24. 解得 : a1=3, d=2. ∴ an=a1+(n1)d=3+2(n1)=2n+1. Sp+q (S2p+S2q). 1 2 故數(shù)列 {an} 的通項(xiàng)公式為 an=2n+1. (2)證 : 由 (1) 知 an=2n+1, ∴ Sn=n2+2n. (1)解 : 設(shè) 等差數(shù)列 {an} 的公差為 d, 依題意得 : ∵ 2Sp+q(S2p+S2q)=2[(p+q)2+2(p+q)](4p2+4p)(4q2+4q) =2(pq)2. 又 p?q, ∴ 2Sp+q(S2p+S2q)0. Sp+q (S2p+S2q). 1 2 故 。 (3)若 t 為自然數(shù) , 且 t ≥ 4, f(t)≥ mt2+(4m+1)t+3m 恒成立 , 求 m 的最大值 . (1)f(t)=t3+3t23 (t?N*)。 5 6 (2)當(dāng)且 僅當(dāng) n=12 或 13 時(shí) , Sn 有最大值 , 最大值為 130. {an} 的前 n 項(xiàng)和為 Sn, 且 a2=1, S11=33. (1)求數(shù)列 {an} 的通項(xiàng)公式 。 (2)證明數(shù)列 {an} 是等差數(shù)列 . (1)解 : 當(dāng) n=1 時(shí) , a1=pa1, 若 p=1, 則 當(dāng) n=2 時(shí)有 a1+a2=2pa2=2a2. ∴ a1=a2 與 a1?a2 矛盾 . ∴ p?1. ∴ a1=0. ∴ 由 a1+a2=2pa2 知 : (2p1)a2=a1=0. ∵ a2?a1, ∴ a2?0, ∴ p= . 1 2 (2)證 : 由已知 Sn= nan, a1=0. 1 2 當(dāng) n≥ 2 時(shí) , an=SnSn1= nan (n1)an1, 1 2 1 2 ∴ = . an1 an n1 n2 則 = , … , = . an2 an1 n2 n3 a2 a3 2 1 ∴ =n1. a2 an ∴ an=(n1)a2. ∴ anan1=a2. 故 數(shù)列 {an} 是以 a1 為首項(xiàng) , a2 為公差的等差數(shù)列 . 數(shù)列 {an}, an?N*, Sn= (an+2)2, (1)求證 : {an} 是等差數(shù)列 。 (2)證明 : an+1an1。 . 四、 Sn的最值問(wèn)題 二次函數(shù) 注 : 三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 , 可設(shè)為 ad, a, a+d(或 a, a+d, a+2d) 四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 , 可設(shè)為 a3d, ad, a+d, a+3d. {an} 的前 2n1 項(xiàng)和為 S2n1, 等差數(shù)列 {bn} 的前 2n1 項(xiàng)和為 T2n1, 則 = . S2n1 T2n1 an bn a10, d0 時(shí) , 滿足 an≥ 0, an+1≤ 0. a10, d0 時(shí) , 滿足 an≤ 0, an+1≥ 0. 典型例題 解 : 不妨設(shè) QP, 則 SQSP=aP+1+… +aQ?