【正文】 (2)Sn=20, S2n=38, 求 S3n。 。 (3)證明 : 點 M1(1, ), M2(2, ), M3(3, ), … , Mn(n, ) 都在同一直線上 . 1 S1 2 S2 3 S3 n Sn (1)an=(2n1)p+q (n?N*)。 (2)求數(shù)列 {an} 的通項公式 . an1 4 an2 1 (1)證 : 由已知 an+12=2 = . 4 an 2(an2) an an+12 1 ∴ = = + . 2(an2) an an2 1 1 2 ∴ = . an+12 1 an2 1 1 2 即 bn+1bn= . 1 2 故數(shù)列 {bn} 是等差數(shù)列 . (2)解 : ∵ { } 是等差數(shù)列 , an2 1 ∴ = +(n1)? = . a12 1 an2 1 n 2 1 2 ∴ 數(shù)列 {an} 的通項公式為 an=2+ . 2 n ∴ an=2+ . 2 n {an} 的前 n 項和為 Sn=npan(n?N*), 且 a1?a2, (1)求常數(shù) p 的值 。 (2)當 n 為何值時 , Sn 有最大值 , 并求它的最大值 . (1)Sn= (n225n)。 (3)f(t)≥ mt2+(4m+1)t+3m?f(t)t≥ m(t2+4t+3)?m≤ t1. 所求數(shù)列為 : 3, 1, 1 或 1, 1, 3。 (2) (1)的逆命題也成立 . 1+2+… +n a1+2a2+… +nan 證 : (1)由已知得 a1+2a2+… +nan= n(n+1)bn. ① 1 2 ∴ a1+2a2+… +nan+(n+1)an+1= (n+1)(n+2)bn+1. ② 1 2 將 ② 式減 ① 式化簡得 : an+1= (n+2)bn+1 nbn. 1 2 1 2 ∴ an= (n+1)bn (n1)bn1= (n+1)bn (n1)(2bnbn+1). 1 2 1 2 1 2 1 2 ∵ {bn} 為等差數(shù)列 , ∴ bn1=2bnbn+1, bn+1bn 為常數(shù) . ∴ an+1an= (n+2)bn+1 nbn (n+1)bn+ (n1)(2bnbn+1) 1 2 1 2 1 2 1 2 = (bn+1bn) 為常數(shù) . 3 2 故數(shù)列 {an} 也是等差數(shù)列 . 證 : (2) (1)的逆命題為 : 兩個數(shù)列 {an} 和 {bn} 滿足 : 1+2+… +n a1+2a2+… +nan bn= , 若 {an} 為等差數(shù)列 , 則數(shù)列 {bn} 也是等差數(shù)列 . 證明如下 : ∵ {an} 是等差數(shù)列 , ∴ 可設(shè) an=an+b(a, b 為常數(shù) ). ∴ nan=an2+bn. ∴ a1+2a2+… +nan=a(12+22+… +n2)+b(1+2+… +n). 1+2+… +n a1+2a2+… +nan ∵ bn= = an(n+1)(2n+1)+ bn(n+1) n(n+1) 1 2 1 2 1 6 1 3 = a(2n+1)+b. ∴ bn+1bn= a, 為常數(shù) . 2 3