【正文】 整數(shù)盡可能小，那么加的整數(shù)是多少？1996≡16(mod 99)；9916=83定理4若a≡b (mod m),則an≡bn(modm),其中n是自然數(shù)。③ 在所有除數(shù)的最小公倍數(shù)內(nèi)一定能找到最小的滿足數(shù)；④ 多個符合數(shù)必然是一個以所有除數(shù)的最小公倍數(shù)為等差的等差數(shù)列：余數(shù)問題的通解：特殊情況① 余數(shù)相同的——最小符合數(shù)就是余數(shù)，其他的為除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)+余數(shù)（即最小符合數(shù)+除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)）；【例】5余4,7余4,9余4，最小的為4；【例】某除除除6皆余1，某=4/5/6的公倍數(shù)+1；② 差相同的——余數(shù)都不相同但除數(shù)與余數(shù)的差相同的，最小符合數(shù)為除數(shù)的最小公倍數(shù)差；其他符合數(shù)為除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)差（也即最小符合數(shù)+除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)）；【例】5余3,7余5,9余7：都補上兩個的就都整齊了，所以為最小公倍數(shù)2；為313；【例】5千多根火柴棍，10根一盒的分余9，9根一盒的分余8，8根一盒的分余7，7根一盒的分余6，6根一盒的分余5，5根一盒的分余4，問到底多少根火柴棍？10余9，9余8，8余7，7余6，6余5：【5,6,7,8,9】1=【1,2,3,4,5,6,7,8,9，10】1=25201=25192519+2520=5039【例】有不足100個蘋果，如果是10個一堆，那么剩余9個；9個一堆剩余8個；6個一堆剩余5個；5個1堆剩余4個；3個一堆剩2個；求開始有多少個蘋果？【10,9,6,5,3】1=89③ 和相同——余數(shù)都不相同的，但除數(shù)與余數(shù)的和相同的，可以轉(zhuǎn)化為同余的，最小符合數(shù)就為最小的除數(shù)+余數(shù)；其他的符合數(shù)為除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)+和（也即最小符合數(shù)+除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)）；【例】5余4,7余2,6余3：最小符合數(shù)為5+4=9；【注意】多個除數(shù)的時候一定先看有無特殊情況；先利用部分特殊規(guī)律的，再找一般的；【例】3余2,5余4,7余1，【例】3余1,5余2,7余2,11余3；先找同余，2+35,37+已滿足的3個的最小公倍數(shù)；：可以用來解決除以12和6的余數(shù)的算法：互質(zhì)分解求A=123456……319被12/14/15/45/99除的余數(shù)；將12互質(zhì)分解=43,求同時滿足除以4和除以3的；A ≡3（mod4）。圖2:3n+2(n+1)=a=5n+2。特殊情況：① 【例】32014除以8的余數(shù)：32014≡91007≡1（mod8）9除8的余數(shù)為1，所以無論指數(shù)多少，余數(shù)皆為1。同余關(guān)系具有自身性、對稱性與傳遞性，即1）自身性：a≡a (mod m)。b=c…..d（0﹤d﹤b）；此時，a=bc+d。（用以判別能否被7/11/13整除）從右往左三位一截并編號，編號為奇數(shù)的為奇數(shù)段，編號為偶數(shù)的為偶數(shù)段，看奇數(shù)段的數(shù)字的和與偶數(shù)段的數(shù)字的和的兩者之差是否能被113整除； 如，86372548，奇數(shù)段的和為（548+86），偶數(shù)段的和為372，求兩者差看能否被7整除，同樣，不夠減前面加1個或多個7，直到夠減，余數(shù)位的判斷法與整數(shù)位的判斷法一致。1. 數(shù)論——數(shù)的整除和余數(shù) 整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。① 一般求空格數(shù)如果中間有空格，則利用加減性加或減除數(shù)7的倍數(shù)，分別從右邊和左邊抵消縮減位數(shù)，到最后看7的哪個倍數(shù)與縮減后的末位數(shù)相同，并看7的哪個倍數(shù)與縮減后的首位數(shù)相同，則前一個倍數(shù)的十位數(shù)和后一個倍數(shù)的個位數(shù)的和即為空格中應(yīng)填的數(shù)。b=