小奧數(shù)論1-整除和余數(shù)知識點總結(jié)及經(jīng)典例題-wenkub.com
2025-06-17 06:06 本頁面
【正文】 圖2:3n+2(n+1)=a=5n+2。7余0， 3余0，5余4，7余51954答案為5556【例2】三個非0的連續(xù)自然數(shù)，分別是11的倍數(shù)，找出符合要求的最小的一組自然數(shù)；設(shè)n,n+1,n+2分別能被11整除，則n247。A ≡(62123) (61123)≡123≡2（mod11）9余0,11余2，最小符合數(shù)為90，其他符合數(shù)為90+99n所以A ≡90（mod99）。③ 在所有除數(shù)的最小公倍數(shù)內(nèi)一定能找到最小的滿足數(shù)；④ 多個符合數(shù)必然是一個以所有除數(shù)的最小公倍數(shù)為等差的等差數(shù)列：余數(shù)問題的通解：特殊情況① 余數(shù)相同的——最小符合數(shù)就是余數(shù)，其他的為除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)+余數(shù)（即最小符合數(shù)+除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)）；【例】5余4,7余4,9余4，最小的為4；【例】某除除除6皆余1，某=4/5/6的公倍數(shù)+1；② 差相同的——余數(shù)都不相同但除數(shù)與余數(shù)的差相同的，最小符合數(shù)為除數(shù)的最小公倍數(shù)差；其他符合數(shù)為除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)差（也即最小符合數(shù)+除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)）；【例】5余3,7余5,9余7：都補上兩個的就都整齊了，所以為最小公倍數(shù)2；為313；【例】5千多根火柴棍，10根一盒的分余9，9根一盒的分余8，8根一盒的分余7，7根一盒的分余6，6根一盒的分余5，5根一盒的分余4，問到底多少根火柴棍？10余9，9余8，8余7，7余6，6余5：【5,6,7,8,9】1=【1,2,3,4,5,6,7,8,9，10】1=25201=25192519+2520=5039【例】有不足100個蘋果，如果是10個一堆，那么剩余9個；9個一堆剩余8個；6個一堆剩余5個；5個1堆剩余4個；3個一堆剩2個；求開始有多少個蘋果？【10,9,6,5,3】1=89③ 和相同——余數(shù)都不相同的，但除數(shù)與余數(shù)的和相同的，可以轉(zhuǎn)化為同余的，最小符合數(shù)就為最小的除數(shù)+余數(shù)；其他的符合數(shù)為除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)+和（也即最小符合數(shù)+除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)）；【例】5余4,7余2,6余3：最小符合數(shù)為5+4=9；【注意】多個除數(shù)的時候一定先看有無特殊情況；先利用部分特殊規(guī)律的，再找一般的；【例】3余2,5余4,7余1，【例】3余1,5余2,7余2,11余3；先找同余，2+35,37+已滿足的3個的最小公倍數(shù)；：可以用來解決除以12和6的余數(shù)的算法：互質(zhì)分解求A=123456……319被12/14/15/45/99除的余數(shù)；將12互質(zhì)分解=43,求同時滿足除以4和除以3的；A ≡3（mod4）。特殊情況：① 【例】32014除以8的余數(shù)：32014≡91007≡1（mod8）9除8的余數(shù)為1，所以無論指數(shù)多少，余數(shù)皆為1。某2位數(shù)=（）…..66 ① 余數(shù)不確定——余數(shù)的和【例1】63=m（）+a 90=m（）+b130=m（）+c,余數(shù)和為25；（63+90+130）=m（）+（a+b+c）=m（）+25（63+90+13025）=m（）258=m（）258的約數(shù)有8個：1/2582/1293/866/43因為余數(shù)要小于除數(shù)，判斷9﹤m﹤63；所以m=43② 余數(shù)不確定——余數(shù)相同【例2】300=m（商）+a 262=m（）+a205=m（）+a,根據(jù)同余定理：m∣（300262）= m∣（38）；m∣（262205）= m∣（57）；m∣（300205）= m∣（95）；滿足兩個即可
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