【正文】 角形；矩形的對角線將矩形分成四個等腰三角形，這些思路及 矩形性質(zhì)是證明線段、角相等以及線段平行、垂直的重要依據(jù) . 正方形的性質(zhì)與判定 例 3： (2022 年湖南懷化 )如圖 4335，四邊形 ABCD 是正 方形，△ EBC 是等邊三角形 . (1)求證：△ ABE≌ △ DCE； (2)求 ∠ AED 的度數(shù) . 圖 4335 (1)證明： ∵ 四邊形 ABCD 是正方形，△ EBC 是等邊三角形， ∴ BA＝ BC＝ CD＝ BE＝ CE， ∠ ABC＝ ∠ BCD＝ 90176。 . 在 Rt △ ACD 中， AD ＝ 2 ， CD ＝ 1 ， AC ＝ 3 . 【 試題精選 】 1.(2022 年山東濱州節(jié)選 )如圖 4330， BD 是△ ABC 的角平 分線，它的垂直平分線分別交 AB， BD， BC 于點 E， F， G，連 接 ED， EBGD 的形狀，并說明理由 . 圖 4330 解： (1)四邊形 EBGD 是菱形． 理由如 下： ∵ EG 垂直平分 BD， ∴ EB＝ ED， GB＝ GD. ∴∠ EBD＝ ∠ EDB. ∵∠ EBD＝ ∠ DBC， ∴∠ EDF＝ ∠ GBF. 在△ EFD 和△ GFB 中， ∴ △ EFD≌ △ GFB(ASA)． ∴ ED＝ BG.∴ BE＝ ED＝ DG＝ GB.∴ 四邊形 EBGD 是菱形． ????? ∠ ED F ＝ ∠ GB F ，DF ＝ BF ，∠ EFD ＝ ∠ GF B ， 2.(2022 年貴州安順 )如圖 4331，在 ? ABCD 中， BC＝ 2AB ＝ 4，點 E， F 分別是 BC， AD 的中點 . (1)求證：△ ABE≌ △ CDF； (2)當四邊形 AECF 為菱形時，求出該菱形的面積 . 圖 4331 (1)證明： ∵ 在 ? ABCD 中， AB＝ CD， BC＝ AD， ∠ ABC＝ ∠ CDA， ∴ BE＝ DF.∴ △ ABE≌ △ CDF(SAS)． (2)解： ∵ 四邊 形 AECF 為菱形時， ∴ AE＝ EC. 又 ∵ 點 E 是邊 BC 的中點， ∴ BE＝ EC，即 BE＝ AE. 又 ∵ BE ＝ EC ＝ 12 BC ， DF ＝ AF ＝ 12 AD ， 又 ∵ BC ＝ 2 AB ＝ 4 ， ∴ AB ＝ 12 BC ＝ BE . [名師點評 ]菱形的性質(zhì)可以用于證明線段相等、角相等、 直線平行、垂直等，常與三角形全等、勾股定理、方程相結(jié)合 進行相關(guān)問題的計算與證明 . ∴ AB ＝ BE ＝ AE ，即 △ ABE 為等邊三角形． ? AB CD 的 BC 邊上的高為 2 sin 60176。 時，四邊形 BECD 是矩形 . [思路分析 ](1)由 AAS 證明△ BOE≌ △ COD，得出 OE＝ OD，即可得出結(jié)論； (2)由平行四邊形的性質(zhì)得出 ∠ BCD＝ ∠ A＝ 50176。 . 在△ ABE 和△ DCE 中， ∴ △ ABE≌ △ DCE(SAS). ??