【正文】 ，870，645，1423，1071，992　　這8個(gè)燈泡或相應(yīng)的使用壽命即為一個(gè)樣本，樣本量n=8。對(duì)于完全相等的組距，通常取組距h為接近R/k的某個(gè)整數(shù)值?！　∪?、數(shù)據(jù)集中位置的度量　　對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)，可以用一些量表示它們的集中位置。也有一些用來表示數(shù)據(jù)內(nèi)部差異或分散程度的量，其中常用的有樣本極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本變異系數(shù)?！　∫?、事件與概率　　(一)隨機(jī)現(xiàn)象　　在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。如擲一顆骰子，“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過6”就是一個(gè)必然事件。　　兩個(gè)事件間的互不相容性可推廣到三個(gè)或更多個(gè)事件間的互不相容，例如在檢查三個(gè)產(chǎn)品的例子()中，C1=“恰有一件不合格品”，C2=“恰有兩件不合格品”，C3=“全是不合格品”，C0=“沒有不合格品”是四個(gè)互不相容事件。而在生活、生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，人們很關(guān)心一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小?！　　　∮霉诺浞椒ǐ@得概率常需要排列與組合的公式?！　　瞉一批產(chǎn)品共有N個(gè)，其中不合格品有M個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出n個(gè)(n≤N)，問事件Am=“恰好有m個(gè)不合格品”的概率是多少?　　從N個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)共有　　個(gè)不同的樣本點(diǎn)，它們組成這個(gè)問題的樣本空間Ω。上例討論的是不放回抽樣，每次抽取一個(gè)，不放回，再抽下一個(gè)，這相當(dāng)于n個(gè)同時(shí)取出?！　　瞉說明頻率穩(wěn)定的例子　　(1)，許多人做了大量的重復(fù)試驗(yàn)，(正面)的變化情況，在重復(fù)次數(shù)N較小時(shí)，f波動(dòng)劇烈，隨著N的增大，f波動(dòng)的幅度在逐漸變小。要使抽出的10件產(chǎn)品中有0件不合格品，即全是合格品，則10件必須從95件合格品中抽取，所以:　　　　類似地可算得:　　　　于是所求的概率是:　　P(A)=++= 可見事件A發(fā)生的概率很接近于1，發(fā)生的可能性很大；而它的對(duì)立事件=“抽10件產(chǎn)品中至少3件不合格品”的概率P()=1P(A)==，發(fā)生的可能性很小?！　、?20歲的烏龜能活到200歲的概率是多少?類似有:　　即活到120歲的烏龜中大約有一半還能活到200歲。因?yàn)閄取0，1，2，…等值是隨機(jī)的。X取這些值的概率為():　　具體計(jì)算可得如下的分布列:　　從表中可見，事件“X=1”出現(xiàn)的機(jī)會(huì)最大。得分可以取0到100分中的任意值，及格是50分，對(duì)每一地區(qū)，???　　解:，則及格概率是:　　P(X≥50)=從50到100之間的面積(請(qǐng)讀者在圖上標(biāo)明)?！　≡凇瞉中隨機(jī)變量“擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和Y”的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　　　計(jì)算結(jié)果表明，擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和的均值為7點(diǎn)、。　　(3)設(shè)隨機(jī)變量X1與X2獨(dú)立(即X1取什么值不影響另一個(gè)隨機(jī)變量X2的取值，這相當(dāng)于兩個(gè)試驗(yàn)的獨(dú)立性)，則有:　　Var(X1177。通過計(jì)算可畫出其線條圖((b))，此圖是對(duì)稱的，如P(X=2)=P(X=4)=。具體如下:　　　　　　(二)正態(tài)分布　　正態(tài)分布是在質(zhì)量管理中使用最為頻繁的分布，它能描述很多質(zhì)量特性X隨機(jī)取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性?！　?3)Φ(a)=1Φ(a)()。這里標(biāo)準(zhǔn)化變換是指正態(tài)變量減去其均值后再除以相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差。清潔度是望小特性(愈小愈好的特性)，故只需規(guī)定其上規(guī)范限，現(xiàn)規(guī)定TU=85毫克，故其不合格品率為:　　故在清潔度指標(biāo)上，該部件的不合格品率為968ppm。若已知Y的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　μY=，σ2Y=4，σY=2由上述公式知，X的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差為:　　μx=exp{+4/2}== σ2X=()2(e41)=e19(e4一1)=109　　105小時(shí)，104小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差是平均時(shí)間的7倍多，可見對(duì)數(shù)正態(tài)分布是很分散的分布?！　M足下面兩個(gè)條件的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本，簡稱隨機(jī)樣本?！　∪鬤1，X2，…，Xn是從總體X中獲得的樣本，那么X1，X2，…，Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。這表明當(dāng)用估計(jì)μ時(shí)，n愈大，精度就愈高。又設(shè)X1，X2，…，Xn是來自N(μ1，σ2)的一個(gè)樣本；Y1，Y2，…，Ym是來自N(μ2，σ2)的一個(gè)樣本，這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立。根據(jù)這個(gè)樣本，構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量=(X1，X2，…，Xn)，用來對(duì)θ進(jìn)行估計(jì)，稱為θ的估計(jì)量。有效性是判定估計(jì)量優(yōu)良性的另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。只要有可能，應(yīng)該盡可能選用無偏估計(jì)量，或近似無偏估計(jì)量。估計(jì)也可以擴(kuò)展成對(duì)分布類型、分布的某些特征數(shù)，例如均值、方差甚至對(duì)某個(gè)特定事件概率的估計(jì)，但由于這些待估計(jì)的量的未知部分都只是參數(shù)，因此任何一個(gè)估計(jì)問題都可以化成參數(shù)估計(jì)問題。圖中畫出自由度為3的t分布t(3)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的概率密度曲線。因此本身也是一個(gè)隨機(jī)變量，因此有時(shí)也記為，也有自己的分布規(guī)律，也可以計(jì)算它的均值、方差等。若是按隨機(jī)性和獨(dú)立性要求進(jìn)行抽樣，則機(jī)會(huì)大的地方(概率密度值大)被抽出的樣品就多；而機(jī)會(huì)少的地方(概率密度值小)，被抽出的樣品就少。因此統(tǒng)計(jì)中的總體與概率中的隨機(jī)變量是對(duì)應(yīng)的，通常用統(tǒng)一的記號(hào)，例如X，Y，…等來記。如機(jī)床維修中，大量機(jī)床在短時(shí)間內(nèi)都可修理好，只有少量機(jī)床需要長時(shí)間維修，個(gè)別機(jī)床可能需要更長的修理時(shí)間。4kΩ。　　　　標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α分位數(shù)uα表見附表13。　　　　(1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，它可用來計(jì)算形如“U≤u”的隨機(jī)事件發(fā)生的概率?！　〕瑤缀畏植糷(n，N，M)的均值、方差分別為:　　　　[]一貨船的甲板上放著20個(gè)裝有化學(xué)原料的圓桶，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有5桶被海水污染了，若從中隨機(jī)抽出8桶，并記X為其中被污染的桶數(shù)，現(xiàn)要求X的分布。圖上的橫坐標(biāo)為X的取值，縱軸為其相應(yīng)概率?！　》粗?，若要方差大，則和式中必有某些乘積項(xiàng)較大，也就是說，有若干個(gè)大偏差xiE(X)發(fā)生的概率大，或者說，遠(yuǎn)離均值E(X)的值xi發(fā)生的可能性大，(a)所示。它的計(jì)算公式是:　　其中諸xi，pi和p(x)與上一小段中符號(hào)含義相同，這里不再重復(fù)。這些不同的分布形式反映了質(zhì)量特性總體上的差別，這種差別正是管理層特別關(guān)注之處。這些可列在一張表上，清楚地表示出來:　　或用一個(gè)簡明的數(shù)學(xué)式子表示出來:　　P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n要求這些pi滿足以下兩個(gè)條件:pi≥0，p1+p2+…pn=1。　　　　[，產(chǎn)品的性能一般都具有隨機(jī)性，所以每個(gè)質(zhì)量特性就是一個(gè)隨機(jī)變量。這與公式計(jì)算結(jié)果一致，這不是偶然的，任一條件概率都可這樣解釋。A3中所含這樣的樣本點(diǎn)較多，但其對(duì)立事件=“拋三枚硬幣，全是反面”={(反，反，反)}，只含一個(gè)樣本點(diǎn)，從等可能性可知P()=1/8。先計(jì)算:　　這是在一次抽樣中，抽出不合格品的概率；　　這是在一次抽樣中，抽出合格品的概率。綜合這兩個(gè)不等式，可知m≤min(n，M)=r。假如上述抽取不允許放回，列所得排列數(shù)為10987=5040。　　(1)定義事件A=“點(diǎn)數(shù)之和為2”={(1，1)}，它只含一個(gè)樣本點(diǎn)，故P(A)=1/36?！　∈录牟⒑徒豢赏茝V到更多個(gè)事件上去()。如擲一顆骰子，事件A=“出現(xiàn)4點(diǎn)”必導(dǎo)致事件B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”的發(fā)生，故AB。在概率論中常用一個(gè)長方形示意樣本空間Ω，用其中一個(gè)圓(或其他幾何圖形)示意事件A，這類圖形稱為維恩(Venn)圖。在實(shí)際使用中還可以利用計(jì)算器來計(jì)算，特別是許多科學(xué)計(jì)算用的計(jì)算器，都具有平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算功能。樣本眾數(shù)的主要缺點(diǎn)是受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性影響比較大，而且對(duì)大的n，也很難確定，有時(shí)也不惟一，此時(shí)較多地采用分組數(shù)據(jù)。以累積頻率直方圖為例，首先要計(jì)算累積頻率Fi，F(xiàn)i是將這一組的頻率與前面所有組的頻率累加，也即第1組的F1=f1，第2組的F2=f1+f2，一般的，F(xiàn)i=fj?！　　　∵x擇k的原則是要能顯示出數(shù)據(jù)中所隱藏的規(guī)律，組數(shù)不能過多，但也不能太少。抽出來的這一部分個(gè)體組成一個(gè)樣本，樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本量。第一節(jié)質(zhì)量特性數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律　　一、總體、個(gè)體與樣本　　產(chǎn)品的質(zhì)量可以用一個(gè)或多個(gè)質(zhì)量特性來表示?！　目傮w中抽取樣本的方法稱為抽樣。　　在本例中，=100，取k=9，R/k=24/9=，故取組距h=3。這些量中，常用的有樣本均值、樣本中位數(shù)和樣本眾數(shù)。　　(一)樣本極差　　樣本極差即是樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，用R表示。從這個(gè)定義中可看出，隨機(jī)現(xiàn)象有兩個(gè)特點(diǎn):　　(1)隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個(gè)；　　(2)至于哪一個(gè)出現(xiàn)，人們事先并不知道?！　?5)任一樣本空間Ω都有一個(gè)最小子集，這個(gè)最小子集就是空集，它對(duì)應(yīng)的事件稱為不可能事件，記為φ?！　　　?3)相等:在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B，若事件A與B含有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B相等，記為A=B。例如:　　(1)拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的可能性各為1/2?，F(xiàn)概要介紹如下:　　排列與組合是兩類計(jì)數(shù)公式，它們的獲得都基于如下兩條計(jì)數(shù)原理。其中“隨機(jī)抽取”必導(dǎo)致這　　個(gè)樣本點(diǎn)是等可能的。因此可不論其次序。歷史上有不少人做過更多次重復(fù)試驗(yàn)?！　　瞉某足球隊(duì)在未來一周中有兩場比賽，在第一場比賽中獲勝概率為1/2，在第二場比賽中獲勝概率是1/3，如果在兩場比賽中都獲勝概率是1/6，那么該隊(duì)在這兩場比賽中至少有一場獲勝的概率是多少?　　解:設(shè)事件Ai=“第i場比賽獲勝”，i=1，2?！　∵@里談?wù)摰氖菫觚數(shù)膲勖?，假如我們能獲得彈藥的貯存壽命表，那么就可計(jì)算，存放10年的彈藥再放5年仍完好的概率是多少?假如有一個(gè)國家或地區(qū)的人的壽命表，就可算得30歲的人能活到60歲的概率是多少?保險(xiǎn)公司正是利用這個(gè)條件概率對(duì)30歲的投保人計(jì)算人身保險(xiǎn)費(fèi)率的。類似地，一平方米玻璃上的氣泡數(shù)、一匹布上的疵點(diǎn)數(shù)、一臺(tái)車床在一天內(nèi)發(fā)生的故障數(shù)都是取非負(fù)整數(shù){0，1，2，3，…}的離散隨機(jī)變量?！　?duì)同樣問題，若用放回抽樣，則從10個(gè)產(chǎn)品(其中有2個(gè)不合格品)中隨機(jī)取出4個(gè)，其中不合格品數(shù)Y是另一個(gè)隨機(jī)變量，它可取0，1，2，3，4等五個(gè)值?！　?　　　　地區(qū)(a)。類似地可以算得“擲兩顆骰子，6點(diǎn)出現(xiàn)個(gè)數(shù)X”的均值為1/3。X2)=Var(X1)+Var(X2)　　這個(gè)性質(zhì)也可推廣到三個(gè)或更多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量場合?！　　　?2)不超過1個(gè)不合格品的概率為:　　P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=　　這表明?！　　　≌龖B(tài)分布的概率密度函數(shù)有如下形式:　　它的圖形是對(duì)稱的鐘形曲線，常稱為正態(tài)曲線。　　(4)P(a≤U≤b)=Φ(b)Φ(a)()。譬如:　　若X～N(10，22)，通過標(biāo)準(zhǔn)化變換　　　　若Y～N(2，)，通過標(biāo)準(zhǔn)化變換　　　　?！　?3)某金屬材料的抗拉強(qiáng)度(單位:kg/cm2)服從正態(tài)分布N(38，)。　　五、中心極限定理　　中心極限定理是統(tǒng)計(jì)中常用到的一個(gè)結(jié)論?！　?1)隨機(jī)性。樣本的觀測值用x1，x2，…，xn表示，這也是我們常說的數(shù)據(jù)?！　]下面50個(gè)數(shù)據(jù)是從均值為10，方差為4的正態(tài)總體中隨機(jī)抽取出來的(根據(jù)正態(tài)總體的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生法用計(jì)算機(jī)得到)，按行分為10組，每組5個(gè)數(shù)據(jù):　　1)，；　　2)，；　　3)，；　　4)，；　　5)，；　　6)，；　　7)，；　　8)，；　　9)，；　　10)，；　　如果將每行數(shù)據(jù)看成是一個(gè)從該正態(tài)總體中抽取的樣本量為5的樣本，計(jì)算得到樣本均值分別為:　　(1)=，(2)=，(3)=，(4)=，(5)=，　　(6)=，(7)=，(8)=，(9)=，(10)=　　這10個(gè)平均數(shù)的平均數(shù)　　如果我們將每兩行數(shù)據(jù)看做是從總體中抽取的樣本量為10的樣本，則5個(gè)樣本的均值分別為:　　， 。它們的樣本方差之比的分布是自由度為n1和m1的F分布:　　其中n1稱為分子自由度，m1稱為分母自由度。對(duì)一個(gè)具體的樣本X1，X2，…，Xn，可計(jì)算的一個(gè)具體的數(shù)值，稱為θ的估計(jì)值。　　(三)求點(diǎn)估計(jì)的方法——矩法估計(jì)　　參數(shù)估計(jì)時(shí)，一個(gè)直觀的思想是用樣本均值作為總體均值的估計(jì)，用樣本方差作為總體方差的估計(jì)等。無偏性是表示估計(jì)量優(yōu)良性的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。例如若產(chǎn)品某個(gè)特性服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，μ與σ2是未知的參數(shù)，就需要根據(jù)樣本對(duì)它們進(jìn)行估計(jì)?！　∽杂啥葹閚1的t分布的概率密度函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的概率密度函數(shù)類似，亦為對(duì)稱分布，其峰比N(0，1)的峰略低一些，而兩側(cè)尾部要比N(0，1)的兩側(cè)尾部略粗一些。注意作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，是樣本的函數(shù)，是隨著所抽取的樣本不同而變的。圖上用虛線畫出的曲線是兩個(gè)未知總體。這個(gè)隨機(jī)變量的分布也就是總體的分布?！　?2)這些隨機(jī)變量的大量取值在左邊，少量取值在右邊，并且很分散，這樣的分布稱為“右偏分布”((a))。　　(1)某廠生產(chǎn)的電阻器的規(guī)范限為80177。=，=，==()。這里將先介紹標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表及其應(yīng)用，分以下幾點(diǎn)敘述。若從中隨機(jī)不放回地抽取n個(gè)產(chǎn)品，則其中不合格品的個(gè)數(shù)X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，假如n≤M，則X可能取0，1，…，n；若nM，則X可能取0，1，…，M，由古典方法()可以求得X=x的概率是:　　其中r=min(n，M)，這個(gè)分布稱為超幾何分布，記為h(n，N，M)?！　∵€可以畫出一張線條圖((a))來表示這個(gè)分布(7個(gè)概率)。這意味著:離均值E(X)近的值xi發(fā)生的可能性大，遠(yuǎn)離均值E(X)的值xi發(fā)生的可能性小，(d)所示。對(duì)于絕大多數(shù)的隨機(jī)變量，在均值附近取值的機(jī)會(huì)較多。　　　　概率密度函數(shù)p(x)有多種形式，有的位置不同，有的散布不同，有的形狀不同。　　(一)離散隨機(jī)變量的分布　　離散隨機(jī)變量的分布可用分布列表示，譬如，隨機(jī)變量X僅取n個(gè)值:x1，x2，…xn，X取x1的概率為p1，取x2的概率為p2，…，取xn的概率為pn?！　〖偃缫粋€(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值充滿數(shù)軸上一個(gè)區(qū)間(a，b)()，則稱此隨機(jī)變量