【正文】 i稱為xi的離差。在實(shí)際使用中還可以利用計(jì)算器來(lái)計(jì)算，特別是許多科學(xué)計(jì)算用的計(jì)算器，都具有平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算功能。又如擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1點(diǎn)到6點(diǎn)中某一個(gè)，至于哪一點(diǎn)出現(xiàn)，事先也并不知道。在概率論中常用一個(gè)長(zhǎng)方形示意樣本空間Ω，用其中一個(gè)圓(或其他幾何圖形)示意事件A，這類圖形稱為維恩(Venn)圖。則檢查兩件產(chǎn)品的樣本空間Ω由下列四個(gè)樣本點(diǎn)組成。如擲一顆骰子，事件A=“出現(xiàn)4點(diǎn)”必導(dǎo)致事件B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”的發(fā)生，故AB?！　?1)對(duì)立事件，在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中，Ω是樣本空間，A為事件，由在Ω中而不在A中的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A的對(duì)立事件，記為?！　∈录牟⒑徒豢赏茝V到更多個(gè)事件上去()?！　?3)購(gòu)買彩券的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)有多少呢?如1993年7月發(fā)行的青島啤酒股票的認(rèn)購(gòu)券共出售287347740張，其中有180000張認(rèn)購(gòu)券會(huì)中簽，(見(jiàn)1993年7月30日上海證券報(bào))。　　(1)定義事件A=“點(diǎn)數(shù)之和為2”={(1，1)}，它只含一個(gè)樣本點(diǎn)，故P(A)=1/36。　　(2)加法原理:如果做某件事可由k類不同方法之一去完成，其中在第一類方法中又有m1種完成方法，在第二類方法中又有m2種完成方法，…，在第k類方法中又有mk種完成方法，那么完成這件事共有m1+m2+…+mk種方法。假如上述抽取不允許放回，列所得排列數(shù)為10987=5040?！　∈录嗀0=“恰好有0個(gè)不合格品”=“全是合格品”。綜合這兩個(gè)不等式，可知m≤min(n，M)=r。　　從N個(gè)產(chǎn)品中每次隨機(jī)抽取一個(gè)，檢查后放回再抽第二個(gè)，這樣直到抽出第n個(gè)產(chǎn)品為止。先計(jì)算:　　這是在一次抽樣中，抽出不合格品的概率；　　這是在一次抽樣中，抽出合格品的概率。這與用古典方法計(jì)算的概率是相同的。A3中所含這樣的樣本點(diǎn)較多，但其對(duì)立事件=“拋三枚硬幣，全是反面”={(反，反，反)}，只含一個(gè)樣本點(diǎn)，從等可能性可知P()=1/8?！　?二)條件概率、概率的乘法法則及事件的獨(dú)立性　　(1)條件概率與概率的乘法法則　　條件概率要涉及兩個(gè)事件A與B，在事件B已發(fā)生的條件下，事件A再發(fā)生的概率稱為條件概率，記為P(A|B)。這與公式計(jì)算結(jié)果一致，這不是偶然的，任一條件概率都可這樣解釋。這是因?yàn)?　　　　〔]，如今有三個(gè)標(biāo)本獨(dú)立地在實(shí)驗(yàn)室制作，問(wèn)三個(gè)標(biāo)本都被污染的概率是多少?　　解:設(shè)Ai=“第i個(gè)實(shí)驗(yàn)室標(biāo)本被污染”，i=1，2，3?！　　　，產(chǎn)品的性能一般都具有隨機(jī)性，所以每個(gè)質(zhì)量特性就是一個(gè)隨機(jī)變量。設(shè)X表示檢驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品的不合格品數(shù)，則X是只能取0或1兩個(gè)值的隨機(jī)變量。這些可列在一張表上，清楚地表示出來(lái):　　或用一個(gè)簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)式子表示出來(lái):　　P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n要求這些pi滿足以下兩個(gè)條件:pi≥0，p1+p2+…pn=1。記X為一盒中不合格品數(shù)，廠方經(jīng)多次抽查，根據(jù)近千次抽查的記錄，用統(tǒng)計(jì)方法整理出如下分布:　　從這個(gè)分布可以看出，最可能發(fā)生的不合格品數(shù)在1到3之間，而超過(guò)5個(gè)不合格品的概率很小，這兩個(gè)事件的概率分別為:　　P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)　　=　　=　　P(X5)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)　　=+　　=　　(二)連續(xù)隨機(jī)變量的分布　　連續(xù)隨機(jī)變量X的分布可用概率密度函數(shù)p(x)表示，許多書上也記為f(x)。這些不同的分布形式反映了質(zhì)量特性總體上的差別，這種差別正是管理層特別關(guān)注之處?！　　瞉用指數(shù)函數(shù)　　表示的概率密度函數(shù)稱為指數(shù)分布，記為Exp(λ)，其中λ0。它的計(jì)算公式是:　　其中諸xi，pi和p(x)與上一小段中符號(hào)含義相同，這里不再重復(fù)。由此可知，推土機(jī)維修時(shí)間T的標(biāo)準(zhǔn)差σ=50分鐘?！　》粗粢讲畲?，則和式中必有某些乘積項(xiàng)較大，也就是說(shuō)，有若干個(gè)大偏差xiE(X)發(fā)生的概率大，或者說(shuō)，遠(yuǎn)離均值E(X)的值xi發(fā)生的可能性大，(a)所示。例如，把一枚硬幣連拋n次，檢驗(yàn)n個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量，對(duì)一個(gè)目標(biāo)連續(xù)射擊n次等。圖上的橫坐標(biāo)為X的取值，縱軸為其相應(yīng)概率?！　倪@些例子可以看出，泊松分布總與計(jì)點(diǎn)過(guò)程相關(guān)聯(lián)，并且計(jì)點(diǎn)是在一定時(shí)間內(nèi)、或一定區(qū)域內(nèi)、或一特定單位內(nèi)的前提下進(jìn)行的，若λ表示某特定單位內(nèi)的平均點(diǎn)數(shù)(λ0)，又令X表示某特定單位內(nèi)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則X取x值的概率為:　　　　這個(gè)分布就稱為泊松分布，記為P(λ)，其中e=…　　泊松分布的均值與方差相等，且均為λ，于是有:　　E(X)=λ，Var(X)=λ，σ(X)=　　()　　〔]某大公司一個(gè)月內(nèi)發(fā)生重大事故數(shù)X是服從泊松分布的隨機(jī)變量，根據(jù)過(guò)去事故的記錄，這表明:X服從λ=，現(xiàn)考察如下事件的概率?！　〕瑤缀畏植糷(n，N，M)的均值、方差分別為:　　　　[]一貨船的甲板上放著20個(gè)裝有化學(xué)原料的圓桶，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有5桶被海水污染了，若從中隨機(jī)抽出8桶，并記X為其中被污染的桶數(shù)，現(xiàn)要求X的分布。質(zhì)量特性X在μ附近取值的機(jī)會(huì)最大，σ2是正態(tài)分布的方差，0是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，σ愈大，分布愈分散；σ愈小，分布愈集中?！　　　?1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，它可用來(lái)計(jì)算形如“U≤u”的隨機(jī)事件發(fā)生的概率。對(duì)概率等式P(U≤)=，有兩種不同說(shuō)法:　　(1)?！　　　?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α分位數(shù)uα表見(jiàn)附表13?！　]設(shè)X～N(10，22)和Y～N(2，)，概率P(8X14)和P(Y)各為多少?　　首先對(duì)每個(gè)正態(tài)變量經(jīng)過(guò)各自的標(biāo)準(zhǔn)化變換得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。4kΩ?！　]在正態(tài)分布中心μ與規(guī)范中心(M=(TL+TU)/2)重合時(shí)，若規(guī)范限取為μ177。如機(jī)床維修中，大量機(jī)床在短時(shí)間內(nèi)都可修理好，只有少量機(jī)床需要長(zhǎng)時(shí)間維修，個(gè)別機(jī)床可能需要更長(zhǎng)的修理時(shí)間。　　這里相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是指一個(gè)變量的取值不影響其他變量的取值。因此統(tǒng)計(jì)中的總體與概率中的隨機(jī)變量是對(duì)應(yīng)的，通常用統(tǒng)一的記號(hào)，例如X，Y，…等來(lái)記。這只要隨機(jī)抽樣就可保證此點(diǎn)實(shí)施。若是按隨機(jī)性和獨(dú)立性要求進(jìn)行抽樣，則機(jī)會(huì)大的地方(概率密度值大)被抽出的樣品就多；而機(jī)會(huì)少的地方(概率密度值小)，被抽出的樣品就少。但是不經(jīng)加工的信息是零散的，為了把這些零散的信息集中起來(lái)反映總體的特征，需要對(duì)樣本進(jìn)行加工，一種有效的辦法就是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)可以反映總體的不同的特征。因此本身也是一個(gè)隨機(jī)變量，因此有時(shí)也記為，也有自己的分布規(guī)律，也可以計(jì)算它的均值、方差等?！　≈劣诘姆植?，根據(jù)上節(jié)討論過(guò)的中心極限定理，不論X的分布是哪種具體的分布，只要滿足一定條件，當(dāng)n大時(shí)，樣本均值的分布即是近似正態(tài)的。圖中畫出自由度為3的t分布t(3)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的概率密度曲線。第五節(jié)參數(shù)估計(jì)估計(jì)也可以擴(kuò)展成對(duì)分布類型、分布的某些特征數(shù)，例如均值、方差甚至對(duì)某個(gè)特定事件概率的估計(jì)，但由于這些待估計(jì)的量的未知部分都只是參數(shù)，因此任何一個(gè)估計(jì)問(wèn)題都可以化成參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。　　對(duì)于一個(gè)特定的樣本，估計(jì)量與θ的真值之間總是有偏差的，但由于θ未知，因此偏差θ也未知。只要有可能，應(yīng)該盡可能選用無(wú)偏估計(jì)量，或近似無(wú)偏估計(jì)量。　　矩法估計(jì)簡(jiǎn)單而實(shí)用，所獲得的估計(jì)量通常(盡管不總是如此)也有較好的性質(zhì)。有效性是判定估計(jì)量?jī)?yōu)良性的另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。這個(gè)量稱為的均方誤差，簡(jiǎn)記為MSE()，均方誤差實(shí)際上是平均平方誤差的意思。根據(jù)這個(gè)樣本，構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量=(X1，X2，…，Xn)，用來(lái)對(duì)θ進(jìn)行估計(jì)，稱為θ的估計(jì)量。在質(zhì)量活動(dòng)和管理實(shí)際中，人們關(guān)心的是諸如特定產(chǎn)品的質(zhì)量水平究竟如何?例如特性的平均值，產(chǎn)品的不合格品率等等。又設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自N(μ1，σ2)的一個(gè)樣本；Y1，Y2，…，Ym是來(lái)自N(μ2，σ2)的一個(gè)樣本，這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立。這里所涉及的抽樣分布在以后的區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)和方差分析中將起重要作用。這表明當(dāng)用估計(jì)μ時(shí)，n愈大，精度就愈高?！　〉谝还?jié)中討論過(guò)的樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差及樣本變異系數(shù)等都是統(tǒng)計(jì)量。　　若X1，X2，…，Xn是從總體X中獲得的樣本，那么X1，X2，…，Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。今后的樣本都是指滿足這些要求的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本?！　M足下面兩個(gè)條件的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱隨機(jī)樣本?！　∫?、隨機(jī)樣本與統(tǒng)計(jì)量　　在第一節(jié)中介紹了總體與樣本這兩個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)概念，在第三節(jié)中又介紹了隨機(jī)變量及其分布的概念。若已知Y的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　μY=，σ2Y=4，σY=2由上述公式知，X的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差為:　　μx=exp{+4/2}== σ2X=()2(e41)=e19(e4一1)=109　　105小時(shí)，104小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差是平均時(shí)間的7倍多，可見(jiàn)對(duì)數(shù)正態(tài)分布是很分散的分布。這里“均勻”是指隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點(diǎn)的機(jī)會(huì)是均等的，從而在相等的小區(qū)間上的概率相等。清潔度是望小特性(愈小愈好的特性)，故只需規(guī)定其上規(guī)范限，現(xiàn)規(guī)定TU=85毫克，故其不合格品率為:　　故在清潔度指標(biāo)上，該部件的不合格品率為968ppm?！　∶鞔_了這兩點(diǎn)后，產(chǎn)品質(zhì)量特性X的不合格品率為:　　p=pL+pU　　其中pL為X低于下規(guī)范限的概率，pU為X高于上規(guī)范限的概率()，即:　　　　　　其中Φ(這里標(biāo)準(zhǔn)化變換是指正態(tài)變量減去其均值后再除以相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差。用概率的語(yǔ)言表示，U的α分位數(shù)uα是滿足下列等式的實(shí)數(shù):　　P(U≤uα)=α　　　　分位數(shù)uα亦可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表從里向外查得，尾數(shù)可用內(nèi)插法得到，:　　= =　　，=?！　?3)Φ(a)=1Φ(a)()。它是特殊的正態(tài)分布，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量也記為U，它的概率密度函數(shù)記為ψ(u)。具體如下:　　　　　　(二)正態(tài)分布　　正態(tài)分布是在質(zhì)量管理中使用最為頻繁的分布，它能描述很多質(zhì)量特性X隨機(jī)取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性?！　　　?2)在一個(gè)月內(nèi)發(fā)生重大事故超過(guò)2起的概率為:　　P(X2)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)　　=1〔P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]　　=1(++)= 這表明。通過(guò)計(jì)算可畫出其線條圖((b))，此圖是對(duì)稱的，如P(X=2)=P(X=4)=?！　≡谏鲜鏊膫€(gè)條件下，設(shè)X表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功出現(xiàn)的次數(shù)，顯然X是可以取0，1，…，n等n+1個(gè)值的離散隨機(jī)變量，且它的概率函數(shù)為:　　　　　　二項(xiàng)分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=np　　Var(X)=np(1p)　　　　[]在一個(gè)制造過(guò)程中，如今從成品中隨機(jī)取出6個(gè)，記X為6個(gè)成品中的不合格品數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布b(6，)，簡(jiǎn)記為X～b(6，)?！　?3)設(shè)隨機(jī)變量X1與X2獨(dú)立(即X1取什么值不影響另一個(gè)隨機(jī)變量X2的取值，這相當(dāng)于兩個(gè)試驗(yàn)的獨(dú)立性)，則有:　　Var(X1177?！　∮煞讲畹亩x知:　　其中xi=i?！　≡凇瞉中隨機(jī)變量“擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和Y”的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　　　計(jì)算結(jié)果表明，擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和的均值為7點(diǎn)、。類似地，該推土機(jī)發(fā)生故障而在100到300分鐘內(nèi)完成維修的概率為:　　　　該推土機(jī)發(fā)生故障而在300分鐘后才能完成維修的概率為:　　　　上述計(jì)算結(jié)果表明:%故障可在100分鐘內(nèi)修好，%的故障可在100 到300分鐘內(nèi)修好，%。得分可以取0到100分中的任意值，及格是50分，對(duì)每一地區(qū)，???　　解:，則及格概率是:　　P(X≥50)=從50到100之間的面積(請(qǐng)讀者在圖上標(biāo)明)?！　〖俣ㄎ覀円粋€(gè)接一個(gè)地測(cè)量產(chǎn)品的某個(gè)質(zhì)量特性值X，把測(cè)量得到的x值一個(gè)接一個(gè)地放在數(shù)軸上。X取這些值的概率為():　　具體計(jì)算可得如下的分布列:　　從表中可見(jiàn)，事件“X=1”出現(xiàn)的機(jī)會(huì)最大?！　《㈦S機(jī)變量的分布　　隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，但內(nèi)在還是有規(guī)律性的，這個(gè)規(guī)律性可以用分布來(lái)描述。因?yàn)閄取0，1，2，…等值是隨機(jī)的?！　∫弧㈦S機(jī)變量　　用來(lái)表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量?！　、?20歲的烏龜能活到200歲的概率是多少?類似有:　　即活到120歲的烏龜中大約有一半還能活到200歲。由古典定義可知:　　　　于是在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率為:　　　　這個(gè)條件概率也可以這樣來(lái)認(rèn)識(shí):當(dāng)已知事件B發(fā)生，就意味著其對(duì)立事件是不會(huì)發(fā)生了。要使抽出的10件產(chǎn)品中有0件不合格品，即全是合格品，則10件必須從95件合格品中抽取，所以:　　　　類似地可算得:　　　　于是所求的概率是:　　P(A)=++= 可見(jiàn)事件A發(fā)生的概率很接近于1，發(fā)生的可能性很大；而它的對(duì)立事件=“抽10件產(chǎn)品中至少3件不合格品”的概率P()=1P(A)==，發(fā)生的可能性很小。這項(xiàng)研究在計(jì)算機(jī)鍵盤設(shè)計(jì)(有方便的地方安排使用頻率較高的字母健)、印刷鉛字的鑄造(使用頻率高的字母應(yīng)多鑄一些)、信息的編碼(使用頻率高的字母用較短的碼)、密碼的破譯等等方面都是十分有用的?！　　瞉說(shuō)明頻率穩(wěn)定的例子　　(1)，許多人做了大量的重復(fù)試驗(yàn)，(正面)的變化情況，在重復(fù)次數(shù)N較小時(shí)，f波動(dòng)劇烈，隨著N的增大，f波動(dòng)的幅度在逐漸變小。再考慮到不合格品出現(xiàn)次序(不合格品可能在第一次抽樣出現(xiàn)，也可能在第二次抽樣中出現(xiàn)，…，也可能在第n次抽樣中出現(xiàn))故B1所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有nM(NM)n1。上例討論的是不放回抽樣，每次抽取一個(gè)，不放回，再抽下一個(gè)，這相當(dāng)于n個(gè)同時(shí)取出。依據(jù)乘法原則，事件A1共含　　個(gè)樣本點(diǎn)?！　　瞉一批產(chǎn)品共有N個(gè)，其中不合格品有M個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出n個(gè)(n≤N)，問(wèn)事件Am=“恰好有m個(gè)不合格品”的概率是多少?　　從N個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)共有　　個(gè)不同的樣本點(diǎn)，它們組成這個(gè)問(wèn)題的樣本空間