【正文】 i稱為xi的離差。在實際使用中還可以利用計算器來計算，特別是許多科學(xué)計算用的計算器，都具有平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計算功能。又如擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1點到6點中某一個，至于哪一點出現(xiàn)，事先也并不知道。在概率論中常用一個長方形示意樣本空間Ω，用其中一個圓(或其他幾何圖形)示意事件A，這類圖形稱為維恩(Venn)圖。則檢查兩件產(chǎn)品的樣本空間Ω由下列四個樣本點組成。如擲一顆骰子，事件A=“出現(xiàn)4點”必導(dǎo)致事件B=“出現(xiàn)偶數(shù)點”的發(fā)生，故AB?！　?1)對立事件，在一個隨機現(xiàn)象中，Ω是樣本空間，A為事件，由在Ω中而不在A中的樣本點組成的事件稱為A的對立事件，記為?！　∈录牟⒑徒豢赏茝V到更多個事件上去()?！　?3)購買彩券的中獎機會有多少呢?如1993年7月發(fā)行的青島啤酒股票的認購券共出售287347740張，其中有180000張認購券會中簽，(見1993年7月30日上海證券報)?！　?1)定義事件A=“點數(shù)之和為2”={(1，1)}，它只含一個樣本點，故P(A)=1/36?！　?2)加法原理:如果做某件事可由k類不同方法之一去完成，其中在第一類方法中又有m1種完成方法，在第二類方法中又有m2種完成方法，…，在第k類方法中又有mk種完成方法，那么完成這件事共有m1+m2+…+mk種方法。假如上述抽取不允許放回，列所得排列數(shù)為10987=5040?！　∈录嗀0=“恰好有0個不合格品”=“全是合格品”。綜合這兩個不等式，可知m≤min(n，M)=r?！　腘個產(chǎn)品中每次隨機抽取一個，檢查后放回再抽第二個，這樣直到抽出第n個產(chǎn)品為止。先計算:　　這是在一次抽樣中，抽出不合格品的概率；　　這是在一次抽樣中，抽出合格品的概率。這與用古典方法計算的概率是相同的。A3中所含這樣的樣本點較多，但其對立事件=“拋三枚硬幣，全是反面”={(反，反，反)}，只含一個樣本點，從等可能性可知P()=1/8。　　(二)條件概率、概率的乘法法則及事件的獨立性　　(1)條件概率與概率的乘法法則　　條件概率要涉及兩個事件A與B，在事件B已發(fā)生的條件下，事件A再發(fā)生的概率稱為條件概率，記為P(A|B)。這與公式計算結(jié)果一致，這不是偶然的，任一條件概率都可這樣解釋。這是因為:　　　　〔]，如今有三個標(biāo)本獨立地在實驗室制作，問三個標(biāo)本都被污染的概率是多少?　　解:設(shè)Ai=“第i個實驗室標(biāo)本被污染”，i=1，2，3?！　　　，產(chǎn)品的性能一般都具有隨機性，所以每個質(zhì)量特性就是一個隨機變量。設(shè)X表示檢驗一個產(chǎn)品的不合格品數(shù)，則X是只能取0或1兩個值的隨機變量。這些可列在一張表上，清楚地表示出來:　　或用一個簡明的數(shù)學(xué)式子表示出來:　　P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n要求這些pi滿足以下兩個條件:pi≥0，p1+p2+…pn=1。記X為一盒中不合格品數(shù)，廠方經(jīng)多次抽查，根據(jù)近千次抽查的記錄，用統(tǒng)計方法整理出如下分布:　　從這個分布可以看出，最可能發(fā)生的不合格品數(shù)在1到3之間，而超過5個不合格品的概率很小，這兩個事件的概率分別為:　　P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)　　=　　=　　P(X5)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)　　=+　　=　　(二)連續(xù)隨機變量的分布　　連續(xù)隨機變量X的分布可用概率密度函數(shù)p(x)表示，許多書上也記為f(x)。這些不同的分布形式反映了質(zhì)量特性總體上的差別，這種差別正是管理層特別關(guān)注之處?！　　瞉用指數(shù)函數(shù)　　表示的概率密度函數(shù)稱為指數(shù)分布，記為Exp(λ)，其中λ0。它的計算公式是:　　其中諸xi，pi和p(x)與上一小段中符號含義相同，這里不再重復(fù)。由此可知，推土機維修時間T的標(biāo)準(zhǔn)差σ=50分鐘?！　》粗?，若要方差大，則和式中必有某些乘積項較大，也就是說，有若干個大偏差xiE(X)發(fā)生的概率大，或者說，遠離均值E(X)的值xi發(fā)生的可能性大，(a)所示。例如，把一枚硬幣連拋n次，檢驗n個產(chǎn)品的質(zhì)量，對一個目標(biāo)連續(xù)射擊n次等。圖上的橫坐標(biāo)為X的取值，縱軸為其相應(yīng)概率?！　倪@些例子可以看出，泊松分布總與計點過程相關(guān)聯(lián)，并且計點是在一定時間內(nèi)、或一定區(qū)域內(nèi)、或一特定單位內(nèi)的前提下進行的，若λ表示某特定單位內(nèi)的平均點數(shù)(λ0)，又令X表示某特定單位內(nèi)出現(xiàn)的點數(shù)，則X取x值的概率為:　　　　這個分布就稱為泊松分布，記為P(λ)，其中e=…　　泊松分布的均值與方差相等，且均為λ，于是有:　　E(X)=λ，Var(X)=λ，σ(X)=　　()　　〔]某大公司一個月內(nèi)發(fā)生重大事故數(shù)X是服從泊松分布的隨機變量，根據(jù)過去事故的記錄，這表明:X服從λ=，現(xiàn)考察如下事件的概率。　　超幾何分布h(n，N，M)的均值、方差分別為:　　　　[]一貨船的甲板上放著20個裝有化學(xué)原料的圓桶，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有5桶被海水污染了，若從中隨機抽出8桶，并記X為其中被污染的桶數(shù)，現(xiàn)要求X的分布。質(zhì)量特性X在μ附近取值的機會最大，σ2是正態(tài)分布的方差，0是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，σ愈大，分布愈分散；σ愈小，分布愈集中?！　　　?1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，它可用來計算形如“U≤u”的隨機事件發(fā)生的概率。對概率等式P(U≤)=，有兩種不同說法:　　(1)?！　　　?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α分位數(shù)uα表見附表13?！　]設(shè)X～N(10，22)和Y～N(2，)，概率P(8X14)和P(Y)各為多少?　　首先對每個正態(tài)變量經(jīng)過各自的標(biāo)準(zhǔn)化變換得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。4kΩ?！　]在正態(tài)分布中心μ與規(guī)范中心(M=(TL+TU)/2)重合時，若規(guī)范限取為μ177。如機床維修中，大量機床在短時間內(nèi)都可修理好，只有少量機床需要長時間維修，個別機床可能需要更長的修理時間?！　∵@里相互獨立的隨機變量是指一個變量的取值不影響其他變量的取值。因此統(tǒng)計中的總體與概率中的隨機變量是對應(yīng)的，通常用統(tǒng)一的記號，例如X，Y，…等來記。這只要隨機抽樣就可保證此點實施。若是按隨機性和獨立性要求進行抽樣，則機會大的地方(概率密度值大)被抽出的樣品就多；而機會少的地方(概率密度值小)，被抽出的樣品就少。但是不經(jīng)加工的信息是零散的，為了把這些零散的信息集中起來反映總體的特征，需要對樣本進行加工，一種有效的辦法就是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)可以反映總體的不同的特征。因此本身也是一個隨機變量，因此有時也記為，也有自己的分布規(guī)律，也可以計算它的均值、方差等?！　≈劣诘姆植?，根據(jù)上節(jié)討論過的中心極限定理，不論X的分布是哪種具體的分布，只要滿足一定條件，當(dāng)n大時，樣本均值的分布即是近似正態(tài)的。圖中畫出自由度為3的t分布t(3)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的概率密度曲線。第五節(jié)參數(shù)估計估計也可以擴展成對分布類型、分布的某些特征數(shù)，例如均值、方差甚至對某個特定事件概率的估計，但由于這些待估計的量的未知部分都只是參數(shù)，因此任何一個估計問題都可以化成參數(shù)估計問題?！　τ谝粋€特定的樣本，估計量與θ的真值之間總是有偏差的，但由于θ未知，因此偏差θ也未知。只要有可能，應(yīng)該盡可能選用無偏估計量，或近似無偏估計量。　　矩法估計簡單而實用，所獲得的估計量通常(盡管不總是如此)也有較好的性質(zhì)。有效性是判定估計量優(yōu)良性的另一個標(biāo)準(zhǔn)。這個量稱為的均方誤差，簡記為MSE()，均方誤差實際上是平均平方誤差的意思。根據(jù)這個樣本，構(gòu)造一個統(tǒng)計量=(X1，X2，…，Xn)，用來對θ進行估計，稱為θ的估計量。在質(zhì)量活動和管理實際中，人們關(guān)心的是諸如特定產(chǎn)品的質(zhì)量水平究竟如何?例如特性的平均值，產(chǎn)品的不合格品率等等。又設(shè)X1，X2，…，Xn是來自N(μ1，σ2)的一個樣本；Y1，Y2，…，Ym是來自N(μ2，σ2)的一個樣本，這兩個樣本相互獨立。這里所涉及的抽樣分布在以后的區(qū)間估計、假設(shè)檢驗和方差分析中將起重要作用。這表明當(dāng)用估計μ時，n愈大，精度就愈高。　　第一節(jié)中討論過的樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差及樣本變異系數(shù)等都是統(tǒng)計量?！　∪鬤1，X2，…，Xn是從總體X中獲得的樣本，那么X1，X2，…，Xn是獨立同分布的隨機變量。今后的樣本都是指滿足這些要求的簡單隨機樣本?！　M足下面兩個條件的樣本稱為簡單隨機樣本，簡稱隨機樣本?！　∫?、隨機樣本與統(tǒng)計量　　在第一節(jié)中介紹了總體與樣本這兩個重要的統(tǒng)計概念，在第三節(jié)中又介紹了隨機變量及其分布的概念。若已知Y的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　μY=，σ2Y=4，σY=2由上述公式知，X的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差為:　　μx=exp{+4/2}== σ2X=()2(e41)=e19(e4一1)=109　　105小時，104小時，標(biāo)準(zhǔn)差是平均時間的7倍多，可見對數(shù)正態(tài)分布是很分散的分布。這里“均勻”是指隨機點落在區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點的機會是均等的，從而在相等的小區(qū)間上的概率相等。清潔度是望小特性(愈小愈好的特性)，故只需規(guī)定其上規(guī)范限，現(xiàn)規(guī)定TU=85毫克，故其不合格品率為:　　故在清潔度指標(biāo)上，該部件的不合格品率為968ppm?！　∶鞔_了這兩點后，產(chǎn)品質(zhì)量特性X的不合格品率為:　　p=pL+pU　　其中pL為X低于下規(guī)范限的概率，pU為X高于上規(guī)范限的概率()，即:　　　　　　其中Φ(這里標(biāo)準(zhǔn)化變換是指正態(tài)變量減去其均值后再除以相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差。用概率的語言表示，U的α分位數(shù)uα是滿足下列等式的實數(shù):　　P(U≤uα)=α　　　　分位數(shù)uα亦可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表從里向外查得，尾數(shù)可用內(nèi)插法得到，:　　= =　　，=。　　(3)Φ(a)=1Φ(a)()。它是特殊的正態(tài)分布，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量也記為U，它的概率密度函數(shù)記為ψ(u)。具體如下:　　　　　　(二)正態(tài)分布　　正態(tài)分布是在質(zhì)量管理中使用最為頻繁的分布，它能描述很多質(zhì)量特性X隨機取值的統(tǒng)計規(guī)律性?！　　　?2)在一個月內(nèi)發(fā)生重大事故超過2起的概率為:　　P(X2)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)　　=1〔P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]　　=1(++)= 這表明。通過計算可畫出其線條圖((b))，此圖是對稱的，如P(X=2)=P(X=4)=?！　≡谏鲜鏊膫€條件下，設(shè)X表示n次獨立重復(fù)試驗中成功出現(xiàn)的次數(shù)，顯然X是可以取0，1，…，n等n+1個值的離散隨機變量，且它的概率函數(shù)為:　　　　　　二項分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=np　　Var(X)=np(1p)　　　　[]在一個制造過程中，如今從成品中隨機取出6個，記X為6個成品中的不合格品數(shù)，則X服從二項分布b(6，)，簡記為X～b(6，)。　　(3)設(shè)隨機變量X1與X2獨立(即X1取什么值不影響另一個隨機變量X2的取值，這相當(dāng)于兩個試驗的獨立性)，則有:　　Var(X1177?！　∮煞讲畹亩x知:　　其中xi=i?！　≡凇瞉中隨機變量“擲兩顆骰子，點數(shù)之和Y”的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　　　計算結(jié)果表明，擲兩顆骰子，點數(shù)之和的均值為7點、。類似地，該推土機發(fā)生故障而在100到300分鐘內(nèi)完成維修的概率為:　　　　該推土機發(fā)生故障而在300分鐘后才能完成維修的概率為:　　　　上述計算結(jié)果表明:%故障可在100分鐘內(nèi)修好，%的故障可在100 到300分鐘內(nèi)修好，%。得分可以取0到100分中的任意值，及格是50分，對每一地區(qū)，???　　解:，則及格概率是:　　P(X≥50)=從50到100之間的面積(請讀者在圖上標(biāo)明)?！　〖俣ㄎ覀円粋€接一個地測量產(chǎn)品的某個質(zhì)量特性值X，把測量得到的x值一個接一個地放在數(shù)軸上。X取這些值的概率為():　　具體計算可得如下的分布列:　　從表中可見，事件“X=1”出現(xiàn)的機會最大?！　《?、隨機變量的分布　　隨機變量的取值是隨機的，但內(nèi)在還是有規(guī)律性的，這個規(guī)律性可以用分布來描述。因為X取0，1，2，…等值是隨機的?！　∫?、隨機變量　　用來表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機變量。　?、?20歲的烏龜能活到200歲的概率是多少?類似有:　　即活到120歲的烏龜中大約有一半還能活到200歲。由古典定義可知:　　　　于是在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率為:　　　　這個條件概率也可以這樣來認識:當(dāng)已知事件B發(fā)生，就意味著其對立事件是不會發(fā)生了。要使抽出的10件產(chǎn)品中有0件不合格品，即全是合格品，則10件必須從95件合格品中抽取，所以:　　　　類似地可算得:　　　　于是所求的概率是:　　P(A)=++= 可見事件A發(fā)生的概率很接近于1，發(fā)生的可能性很大；而它的對立事件=“抽10件產(chǎn)品中至少3件不合格品”的概率P()=1P(A)==，發(fā)生的可能性很小。這項研究在計算機鍵盤設(shè)計(有方便的地方安排使用頻率較高的字母健)、印刷鉛字的鑄造(使用頻率高的字母應(yīng)多鑄一些)、信息的編碼(使用頻率高的字母用較短的碼)、密碼的破譯等等方面都是十分有用的?！　　瞉說明頻率穩(wěn)定的例子　　(1)，許多人做了大量的重復(fù)試驗，(正面)的變化情況，在重復(fù)次數(shù)N較小時，f波動劇烈，隨著N的增大，f波動的幅度在逐漸變小。再考慮到不合格品出現(xiàn)次序(不合格品可能在第一次抽樣出現(xiàn)，也可能在第二次抽樣中出現(xiàn)，…，也可能在第n次抽樣中出現(xiàn))故B1所含樣本點的個數(shù)共有nM(NM)n1。上例討論的是不放回抽樣，每次抽取一個，不放回，再抽下一個，這相當(dāng)于n個同時取出。依據(jù)乘法原則，事件A1共含　　個樣本點?！　　瞉一批產(chǎn)品共有N個，其中不合格品有M個，現(xiàn)從中隨機取出n個(n≤N)，問事件Am=“恰好有m個不合格品”的概率是多少?　　從N個產(chǎn)品中隨機抽取n個共有　　個不同的樣本點，它們組成這個問題的樣本空間