【正文】 譬如:　　P(Y≤1)=P(Y=0)+P(Y=1)=+=　　〔]某廠生產(chǎn)的三極管，每100支裝一盒?！　　　「怕拭芏群瘮?shù)p(x)有多種形式，有的位置不同，有的散布不同，有的形狀不同?！　〉貐^(qū)(c)。對(duì)于絕大多數(shù)的隨機(jī)變量，在均值附近取值的機(jī)會(huì)較多。還可證明，指數(shù)分布的均值E(T)與標(biāo)準(zhǔn)差σ(T)相等。這意味著:離均值E(X)近的值xi發(fā)生的可能性大，遠(yuǎn)離均值E(X)的值xi發(fā)生的可能性小，(d)所示。　　　　我們來(lái)考察由n次隨機(jī)試驗(yàn)組成的隨機(jī)現(xiàn)象，它滿足如下條件:　　(1)重復(fù)進(jìn)行n次隨機(jī)試驗(yàn)?！　∵€可以畫(huà)出一張線條圖((a))來(lái)表示這個(gè)分布(7個(gè)概率)。例如:　　(1)在一定時(shí)間內(nèi)，電話總站接錯(cuò)電話的次數(shù)；　　(2)在一定時(shí)間內(nèi)，某操作系統(tǒng)發(fā)生的故障數(shù)；　　(3)一個(gè)鑄件上的缺陷數(shù)；　　(4)一平方米玻璃上氣泡的個(gè)數(shù)；　　(5)一件產(chǎn)品被擦傷留下的痕跡個(gè)數(shù)；　　(6)一頁(yè)書(shū)上的錯(cuò)字個(gè)數(shù)。若從中隨機(jī)不放回地抽取n個(gè)產(chǎn)品，則其中不合格品的個(gè)數(shù)X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，假如n≤M，則X可能取0，1，…，n；若nM，則X可能取0，1，…，M，由古典方法()可以求得X=x的概率是:　　其中r=min(n，M)，這個(gè)分布稱為超幾何分布，記為h(n，N，M)。其中μ為正態(tài)分布的均值，它是正態(tài)分布的中心。這里將先介紹標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表及其應(yīng)用，分以下幾點(diǎn)敘述?！　　　?0，1)的分位數(shù)分位數(shù)是一個(gè)基本概念，這里結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)來(lái)敘述分位數(shù)概念。=，=，==()。)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)，其函數(shù)值可從附表12中查得。　　(1)某廠生產(chǎn)的電阻器的規(guī)范限為80177。故其不合格品率為:　　p=pL=P(X33)=Φ()==%　　在抗拉強(qiáng)度上，%。　　(2)這些隨機(jī)變量的大量取值在左邊，少量取值在右邊，并且很分散，這樣的分布稱為“右偏分布”((a))。中心極限定理較完整的敘述如下:　　設(shè)X1，X2，…，Xn為n個(gè)相互獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，均值μ和方差σ2都存在，則在n較大時(shí)，其樣本均值近似服從正態(tài)分布N(μ，)。這個(gè)隨機(jī)變量的分布也就是總體的分布。譬如，按隨機(jī)性要求抽出5個(gè)樣品，記為X1，X2，…，X5，則其中每一個(gè)都應(yīng)與總體分布相同。圖上用虛線畫(huà)出的曲線是兩個(gè)未知總體?！　《?、統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布　　(一)統(tǒng)計(jì)量的概念　　樣本來(lái)自總體，因此樣本中包含了有關(guān)總體的豐富信息。注意作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，是樣本的函數(shù)，是隨著所抽取的樣本不同而變的。實(shí)際上這個(gè)數(shù)字也是將上述數(shù)據(jù)看做為n=50的一個(gè)樣本均值?！　∽杂啥葹閚1的t分布的概率密度函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的概率密度函數(shù)類似，亦為對(duì)稱分布，其峰比N(0，1)的峰略低一些，而兩側(cè)尾部要比N(0，1)的兩側(cè)尾部略粗一些。　　例如若產(chǎn)品某個(gè)特性服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，μ與σ2是未知的參數(shù)，就需要根據(jù)樣本對(duì)它們進(jìn)行估計(jì)?！　?二)點(diǎn)估計(jì)優(yōu)良性標(biāo)準(zhǔn)　　點(diǎn)估計(jì)量是隨所抽取的樣本不同而不同的，它是一個(gè)隨機(jī)變量，評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量的優(yōu)劣不能從一個(gè)具體樣本獲得的估計(jì)值來(lái)評(píng)判，應(yīng)該從多次使用中來(lái)評(píng)定。無(wú)偏性是表示估計(jì)量?jī)?yōu)良性的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。因此上面的做法是用樣本矩估計(jì)相應(yīng)的總體矩，從而獲得有關(guān)總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，這種點(diǎn)估計(jì)方法稱為矩法估計(jì)?！　?三)求點(diǎn)估計(jì)的方法——矩法估計(jì)　　參數(shù)估計(jì)時(shí)，一個(gè)直觀的思想是用樣本均值作為總體均值的估計(jì)，用樣本方差作為總體方差的估計(jì)等。雖然由于θ是未知的，MSE()也并不是總能求得的。對(duì)一個(gè)具體的樣本X1，X2，…，Xn，可計(jì)算的一個(gè)具體的數(shù)值，稱為θ的估計(jì)值。這些都需要通過(guò)從總體中取樣本，從樣本觀測(cè)值來(lái)對(duì)此進(jìn)行估計(jì)。它們的樣本方差之比的分布是自由度為n1和m1的F分布:　　其中n1稱為分子自由度，m1稱為分母自由度。　　(一)方差未知時(shí)，正態(tài)均值的分布——t分布上一小節(jié)已提到，對(duì)于正態(tài)總體N(μ，σ2)，樣本均值的分布為　　　　　　是已知的，否則在實(shí)際中并不能立即就可應(yīng)用?！　]下面50個(gè)數(shù)據(jù)是從均值為10，方差為4的正態(tài)總體中隨機(jī)抽取出來(lái)的(根據(jù)正態(tài)總體的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生法用計(jì)算機(jī)得到)，按行分為10組，每組5個(gè)數(shù)據(jù):　　1)，；　　2)，；　　3)，；　　4)，；　　5)，；　　6)，；　　7)，；　　8)，；　　9)，；　　10)，；　　如果將每行數(shù)據(jù)看成是一個(gè)從該正態(tài)總體中抽取的樣本量為5的樣本，計(jì)算得到樣本均值分別為:　　(1)=，(2)=，(3)=，(4)=，(5)=，　　(6)=，(7)=，(8)=，(9)=，(10)=　　這10個(gè)平均數(shù)的平均數(shù)　　如果我們將每?jī)尚袛?shù)據(jù)看做是從總體中抽取的樣本量為10的樣本，則5個(gè)樣本的均值分別為:　　， 。只有樣本眾數(shù)例外，因?yàn)闃颖颈姅?shù)的確定在許多情形并不明確，它不能用樣本函數(shù)表示，因此那里定義的樣本眾數(shù)不能作為統(tǒng)計(jì)量。樣本的觀測(cè)值用x1，x2，…，xn表示，這也是我們常說(shuō)的數(shù)據(jù)。在實(shí)際中抽樣時(shí)，也應(yīng)按此要求從總體中進(jìn)行抽樣?！　?1)隨機(jī)性。這些概念之間相互之間是有聯(lián)系的，而要將它們表達(dá)清楚，又必須借用第二節(jié)中所引進(jìn)的概率這個(gè)工具?！　∥?、中心極限定理　　中心極限定理是統(tǒng)計(jì)中常用到的一個(gè)結(jié)論?！　　　　　±纾粋€(gè)隨機(jī)變量X服從均勻分布U(10，15)((a))，則X在小區(qū)間(11，12)與小區(qū)間(，)上的面積相等，即:　　P(11X12)=P(X)=10.=(a，b)的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　　　(a)上所示的均勻分布U(10，15)，它的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　　　　　對(duì)數(shù)正態(tài)分布可用來(lái)描述很多隨機(jī)變量的分布，如化學(xué)反應(yīng)時(shí)間、絕緣材料被擊穿時(shí)間、產(chǎn)品維修時(shí)間等都是服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。　　(3)某金屬材料的抗拉強(qiáng)度(單位:kg/cm2)服從正態(tài)分布N(38，)。)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，其函數(shù)值可從附表12中查得。譬如:　　若X～N(10，22)，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化變換　　　　若Y～N(2，)，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化變換　　　　。　　，即50%分位數(shù)，也稱為中位數(shù)，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)場(chǎng)合，=0?！　?4)P(a≤U≤b)=Φ(b)Φ(a)()?！　?shí)際中很少有一個(gè)質(zhì)量特性(隨機(jī)變量)的均值恰好為0，方差與標(biāo)準(zhǔn)差恰好為1?！　　　≌龖B(tài)分布的概率密度函數(shù)有如下形式:　　它的圖形是對(duì)稱的鐘形曲線，常稱為正態(tài)曲線。　　(3)泊松分布P()的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=Var(X)=，σ(X)==　　　　從一個(gè)有限總體中進(jìn)行不放回抽樣常會(huì)遇到超幾何分布?！　　　?2)不超過(guò)1個(gè)不合格品的概率為:　　P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=　　這表明?，F(xiàn)研究如下幾個(gè)問(wèn)題:　　(1)恰有1個(gè)不合格品的概率是多少?這里規(guī)定抽到不合格品為“成功”，則事件X=1的概率為:　　這表明。X2)=Var(X1)+Var(X2)　　這個(gè)性質(zhì)也可推廣到三個(gè)或更多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量場(chǎng)合。若要方差小，則和式中每一項(xiàng)都要小。類似地可以算得“擲兩顆骰子，6點(diǎn)出現(xiàn)個(gè)數(shù)X”的均值為1/3?！　∪?、隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差　　隨機(jī)變量X的分布(概率函數(shù)或密度函數(shù))有幾個(gè)重要的特征數(shù)，用來(lái)表示分布的集中位置(中心位置)和散布大小?！　?　　　　地區(qū)(a)。當(dāng)累積到很多x值時(shí)，就形成一定的圖形，為了使這個(gè)圖形得以穩(wěn)定，把縱軸改為單位長(zhǎng)度上的頻率，由于頻率的穩(wěn)定性，隨著被測(cè)質(zhì)量特性值x愈多，這個(gè)圖形愈穩(wěn)定，其外形顯現(xiàn)出一條光滑曲線?！　?duì)同樣問(wèn)題，若用放回抽樣，則從10個(gè)產(chǎn)品(其中有2個(gè)不合格品)中隨機(jī)取出4個(gè)，其中不合格品數(shù)Y是另一個(gè)隨機(jī)變量，它可取0，1，2，3，4等五個(gè)值。認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)變量X的關(guān)鍵就是要知道它的分布，分布包含如下兩方面內(nèi)容:　　(1)X可能取哪些值，或在哪個(gè)區(qū)間上取值。類似地，一平方米玻璃上的氣泡數(shù)、一匹布上的疵點(diǎn)數(shù)、一臺(tái)車床在一天內(nèi)發(fā)生的故障數(shù)都是取非負(fù)整數(shù){0，1，2，3，…}的離散隨機(jī)變量。常用大寫(xiě)字母X，Y，Z等表示隨機(jī)變量，而它們的取值用相應(yīng)的小寫(xiě)字母x，y，z等表示?！　∵@里談?wù)摰氖菫觚數(shù)膲勖?，假如我們能獲得彈藥的貯存壽命表，那么就可計(jì)算，存放10年的彈藥再放5年仍完好的概率是多少?假如有一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的人的壽命表，就可算得30歲的人能活到60歲的概率是多少?保險(xiǎn)公司正是利用這個(gè)條件概率對(duì)30歲的投保人計(jì)算人身保險(xiǎn)費(fèi)率的。即中18個(gè)樣本點(diǎn)可不予考慮，可能的情況是事件B中的7個(gè)樣本點(diǎn)之一?！　　瞉某足球隊(duì)在未來(lái)一周中有兩場(chǎng)比賽，在第一場(chǎng)比賽中獲勝概率為1/2，在第二場(chǎng)比賽中獲勝概率是1/3，如果在兩場(chǎng)比賽中都獲勝概率是1/6，那么該隊(duì)在這兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝的概率是多少?　　解:設(shè)事件Ai=“第i場(chǎng)比賽獲勝”，i=1，2。　　　　　　　　三、概率的性質(zhì)及其運(yùn)算法則　　(一)概率的基本性質(zhì)及加法法則　　根據(jù)概率的上述定義，可以看出它具有以下基本性質(zhì):　　性質(zhì)1:概率是非負(fù)的，其數(shù)值介于0與1之間，即對(duì)任意事件A，有:　　0≤P(A)≤1　　特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即:　　P(φ)=0，P(Ω)=1　　性質(zhì)2:若是A的對(duì)立事件，則:　　P(A)+P()=1　　或　　P()=1P(A)　　性質(zhì)3:若AB，則:　　P(AB)=P(A)P(B)　　性質(zhì)4:事件A與B的并的概率為:　　P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)　　這個(gè)性質(zhì)稱為概率的加法法則。歷史上有不少人做過(guò)更多次重復(fù)試驗(yàn)。故事件B1的概率為:　　　　類似地，事件Bm共含有　　個(gè)樣本點(diǎn)。因此可不論其次序。故事件A1的概率為:　　　　最后，要使事件Am發(fā)生，必須從M個(gè)不合格品中隨機(jī)抽取m個(gè)，而從NM個(gè)合格品中隨機(jī)抽取nm個(gè)。其中“隨機(jī)抽取”必導(dǎo)致這　　個(gè)樣本點(diǎn)是等可能的。按乘法原理，此種重復(fù)排列共有n＇個(gè)。現(xiàn)概要介紹如下:　　排列與組合是兩類計(jì)數(shù)公式，它們的獲得都基于如下兩條計(jì)數(shù)原理。特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即:　　P(φ)=0，P(Ω)=1　　二、概率的古典定義與統(tǒng)計(jì)定義　　確定一個(gè)事件的概率有幾種方法，這里介紹其中兩種最主要的方法，相應(yīng)于概率的兩種定義，即古典定義及統(tǒng)計(jì)定義。例如:　　(1)拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的可能性各為1/2。并事件A∪B發(fā)生意味著“事件A與B中至少一個(gè)發(fā)生”。　　　　(3)相等:在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B，若事件A與B含有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B相等，記為A=B?！　ˇ?{(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)}　　下面幾個(gè)事件可用集合表示，也可用語(yǔ)言表示。　　(5)任一樣本空間Ω都有一個(gè)最小子集，這個(gè)最小子集就是空集，它對(duì)應(yīng)的事件稱為不可能事件，記為φ?！　　皰佉幻队矌拧钡臉颖究臻gΩ={正面，反面}；　　“擲一顆骰子”的樣本空間Ω={1，2，3，4，5，6}；　　“一顧客在超市中購(gòu)買商品件數(shù)”的樣本空間Ω={0，1，2，…}；　　“一臺(tái)電視機(jī)從開(kāi)始使用到發(fā)生第一次故障的時(shí)間”的樣本空間Ω={t:t≥0}；　　“測(cè)量某物理量的誤差”的樣本空間Ω={x:∞x∞}。從這個(gè)定義中可看出，隨機(jī)現(xiàn)象有兩個(gè)特點(diǎn):　　(1)隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個(gè)；　　(2)至于哪一個(gè)出現(xiàn)，人們事先并不知道?！　≡诰唧w計(jì)算時(shí)，離差平方和也可用以下兩個(gè)簡(jiǎn)便的公式:　　　　因此樣本方差計(jì)算可用以下公式:　　　　，離差平方和、樣本方差及樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算可列表進(jìn)行?！　?一)樣本極差　　樣本極差即是樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，用R表示。因此在某些場(chǎng)合，中位數(shù)比均值更能代表一組數(shù)據(jù)的中心位置。這些量中，常用的有樣本均值、樣本中位數(shù)和樣本眾數(shù)?！　≡诜纸M不完全等距的情形，在作頻率直方圖時(shí)，應(yīng)當(dāng)用每個(gè)組的頻率與組距的比值fi/hi為高作矩形?！　≡诒纠?，=100，取k=9，R/k=24/9=，故取組距h=3。在本例中xmax=356，xmin=332，從而R=356332=24。　　從總體中抽取樣本的方法稱為抽樣。如果總體中包含的個(gè)體數(shù)不大，而對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量特性的觀測(cè)(例如測(cè)量)手段不是破壞性的，工作量也不大，那么有可能對(duì)總體中的每個(gè)個(gè)體都進(jìn)行觀測(cè)，以得到每個(gè)個(gè)體的質(zhì)量特性值。第一節(jié)質(zhì)量特性數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律　　一、總體、個(gè)體與樣本　　產(chǎn)品的質(zhì)量可以用一個(gè)或多個(gè)質(zhì)量特性來(lái)表示?！　≡谫|(zhì)量管理中，通常研究一個(gè)過(guò)程中生產(chǎn)的全體產(chǎn)品。抽出來(lái)的這一部分個(gè)體組成一個(gè)樣本，樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本量。為此，從這批產(chǎn)品(總體)中抽取一個(gè)樣本(設(shè)樣本量為n)，對(duì)每個(gè)樣本產(chǎn)品進(jìn)行該特性的測(cè)量(觀測(cè))后得到一組樣本觀測(cè)值，記為x1，x2，…，xn，這便是我們通常說(shuō)的數(shù)據(jù)?！　　　∵x擇k的原則是要能顯示出數(shù)據(jù)中所隱藏的規(guī)律，組數(shù)不能過(guò)多，但也不能太少。在等距分組時(shí)，a1=a0+h，a2=a1+h，…，ak=ak1+h，而每一組的組中值　　　　在本例中取a0=。以累積頻率直方圖為例，首先要計(jì)算累積頻率Fi，F(xiàn)i是將這一組的頻率與前面所有組的頻率累加，也即第1組的F1=f1，第2組的F2=f1+f2，一般的，F(xiàn)i=fj?！　?二)樣本中位數(shù)　　樣本中位數(shù)是表示數(shù)據(jù)集中位置的另一種重要的度量，用符號(hào)Me或表示。樣本眾數(shù)的主要缺點(diǎn)是受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性影響比較大，而且對(duì)大的n，也很難確定，有時(shí)也不惟一，此時(shí)較多地采用分組數(shù)據(jù)。　　(二)樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差　　數(shù)據(jù)的分散程度可以用每個(gè)數(shù)據(jù)xi離其均值的差xi來(lái)表示，x