【正文】 ∴ OA⊥ AP， OB⊥ BP 又 OA=OB， OP=OP， ∴ Rt△ AOP≌ Rt△ BOP ∴ PA=PB， ∠ OPA=∠ OPB 因此，我們得到切線長定理： 從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 我們剛才已經(jīng)復(fù)習(xí)，三角形的三條角平分線于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三條邊的距離相等． （同剛才畫的圖）設(shè)交點(diǎn)為 I，那么 I 到 AB、 AC、 BC 的距離相等，如圖所示，因此以點(diǎn) I 為圓心，點(diǎn) I 到 BC 的距離 ID 為半徑作圓，則⊙ I 與△ ABC 的三條邊都相切． 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓， 內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心． 例 2．如圖，已知⊙ O 是△ ABC 的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為 D、 E、 F，如果 AE=1， CD=2， BF=3，且△ ABC 的面積為 6．求內(nèi)切圓的半徑 r． 分析：直接求內(nèi)切圓的半徑有困難，由于面積是已知的， 因此要轉(zhuǎn)化為面積法來求．就需添加輔助線，如果連結(jié) AO、 BO、 CO，就可把三角形 ABC 分為三塊， 那么就可解決． 解：連結(jié) AO、 BO、 CO ∵⊙ O 是△ ABC 的內(nèi)切圓且 D、 E、 F是切點(diǎn)． ∴ AF=AE=1， BD=BF=3， CE=CD=2 ∴ AB=4， BC=5， AC=3 又 ∵ S△ ABC=6 ∴ 12 （ 4+5+3） r=6 ∴ r=1 答：所求的內(nèi)切圓的半徑為 1． 三、鞏固練習(xí) 教材 P106 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 lww sx .co AC 25 例 3． 如圖，⊙ O 的直徑 AB=12cm， AM、 BN 是兩條切線， DC 切⊙ O 于 E，交 AM 于 D， 交 BN 于 C，設(shè)AD=x， BC=y． （ 1）求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并說明是什么函數(shù)？ （ 2）若 x、 y 是方程 2t230t+m=0的兩根，求 x， y 的值． （ 3）求△ COD 的面積． ww sx .co BACEDONM 分析：（ 1）要求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系，就是求 BC與 AD 的關(guān)系， 根據(jù)切線長定理： DE=AD=x， CE=CB=y，即 DC=x+y， 又因?yàn)?AB=12，所以只要作 DF⊥ BC 垂足為 F， 根據(jù)勾股定理，便可求得． （ 2）∵ x， y 是 2t230t+m=0的兩根， 那么 x1+x2= 3 0 9 0 0 8 3 0 9 0 0 8 6 04 4 4mm? ? ? ???， x1x2=2m ，便可求得 x、 y 的值． （ 3）連結(jié) OE，便可求得． 解：（ 1）過點(diǎn) D 作 DF⊥ BC，垂足為 F，則四邊形 ABFD為矩形． ∵⊙ O 切 AM、 BN、 CD 于 A、 B、 E ∴ DE=AD， CE=CB ∵ AD=x， CB=y ∴ CF=yx， CD=x+y 在 Rt△ DCF 中， DC2=DF2+CF2 即（ x+y） 2=（ xy） 2+122 ∴ xy=36 ∴ y=36x 為反比例函數(shù)； （ 2）由 x、 y 是方程 2t30t+m=0的兩根，可 得： x+y= 223 0 3 0 8 3 0 3 0 844mm? ? ? ??=15 26 同理可得： xy=36 ∴ x=3， y=12或 x=12， y=3． （ 3）連結(jié) OE，則 OE⊥ CD ∴ S△ COD=12 CD=90176。 如圖，∠ AOC=30176。 2 90176。． .czs .BAC DO 因此，我們有切線的性質(zhì)定理 : 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑． 三、鞏固練習(xí) 教材 P102 練習(xí)， P103 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例 2．如圖， AB 為⊙ O 的直徑， C 是⊙ O 上一點(diǎn)， D 在 AB 的延長線上，且∠ DCB= ∠ A． （ 1） CD 與⊙ O 相切嗎？如果相切，請(qǐng)你加以證明，如果不相切，請(qǐng)說明理由． （ 2）若 CD 與⊙ O 相切，且∠ D=30176。BB 39。、 45176。39。 ∴ Rt△ OPE≌ Rt△ OPF ∴ OE=OF 連接 OA、 OB、 OC、 OD 易證 Rt△ OBE≌ Rt△ ODF， Rt△ OAE≌ Rt△ OCF ∴∠ 1+∠ 2=∠ 3+∠ 4 ∴ AB=CD 五、歸納總結(jié)（學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．圓心角概念． 2．在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等， 那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都部分相等，及其它們的應(yīng)用． 六、布置作業(yè) 1．教材 P9495 復(fù)習(xí)鞏固 8． 2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)． 圓 (第 3 課時(shí) ) 12 OBACEww F 教學(xué)內(nèi)容 1．圓周角的概念． 2．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等， 都等于這條弦所對(duì)的圓心角的一半． 推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角， 90176。 ∴∠ COD=60176。． 解：（ 1） ∠ AMN=∠ BNM 證明：連結(jié) O1M、 O2N，如圖 2 所示 ∵ MN 為兩圓的內(nèi)公切線， ∴ O1M⊥ MN， O2N⊥ MN ∴ O1M∥ O2N ∴∠ MO1A=∠ NO2B ∵ O1M=O1A， O2N=O2B ∴∠ O1MA=∠ O2NB ∴∠ AMN=∠ BNM （ 2） ∵∠ AMN+∠ BNM=90176。 =247。 29 例 2． 如圖 1所示，⊙ O 的半徑為 7cm，點(diǎn) A為⊙ O外一點(diǎn)， OA=15cm， 求：（ 1）作⊙ A 與⊙ O 外切，并求⊙ A 的半徑是多少？ AO (1) (2) （ 2）作⊙ A 與⊙ O 相內(nèi)切，并求出此時(shí)⊙ A 的半徑． 分析：（ 1）作 ⊙ A 和 ⊙ O 外切，就是作以 A 為圓心的圓與 ⊙ O 的圓心距 d=rO+rA；（ 2） 作 OA 與⊙ O 相內(nèi)切，就是作以 A 為圓心的圓與⊙ O 的圓心距 d=rArO． 解：如圖 2 所示，（ 1）作法：以 A 為圓心， rA=157=8為半徑作圓，則⊙ A 的半徑為 8cm （ 2）作法：以 A 點(diǎn)為圓心， rA′ =15+7=22 為半徑作圓，則⊙ A 的半徑為 22cm 三、鞏固練習(xí) 教材 P109 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例 3． 如圖 1 所示，半徑不等的 ⊙ O ⊙ O2外離，線段 O1O2分別交 ⊙ O ⊙ O2于點(diǎn) A、 B， MN 為兩圓的內(nèi)公切線，分別切 ⊙ O ⊙ O2于點(diǎn) M、 N，連結(jié) MA、 NB． （ 1）試判斷∠ AMN 與∠ BNM的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論． （ 2）若將“ MN”為兩圓的內(nèi)公切線改為“ MN 為兩圓的外公切線”， 其余條件不變，∠ AMN 與∠ BNM是否一定滿足某種等量關(guān)系？完成下圖并寫出你的結(jié)論． (1) (2) 分析：（ 1）要說明∠ AMN 與∠ BNM 的數(shù)量關(guān)系，只要說明∠ MAB 和∠ NBA 的數(shù)量關(guān)系， 只要說明 ∠ O2BN和 ∠ O1AM 的數(shù)量關(guān)系，又因?yàn)?∠ O2BN=∠ O1NB， ∠ O1MA=∠ O1AM，因此，只要連結(jié) O1M， O2N，再說明 ∠ MO1A=∠ NO2B，這兩個(gè)角相等是顯然的． 30 （ 2）畫出圖形，從上題的解答我們可以 得到一個(gè)思路，連結(jié) O1M、 O2N， 則 ∠ O1MN+ ∠ O2NM=180176。得： BC=BD=10 解：（ 1） CD 與⊙ O 相切 理由：① C 點(diǎn)在⊙ O 上（已知） 22 ②∵ AB 是直徑 ∴∠ ACB=90176。OBAAA 39。就是旋轉(zhuǎn)角∠ BOB′ =30176。． 二、探索新知 如圖所示，∠ AOB 的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角． BAO （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們按 下列要求作圖并回答問題： 如圖所示的⊙ O 中，分別作相等的圓心角∠ AOB 和∠ A ′ OB ′將圓心角∠ AOB 繞圓心 O 旋轉(zhuǎn)到∠ A′ OB′的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？ B39。 (1) (2) 你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？說一說你的理由？ 我能發(fā)現(xiàn)： AB = 39。即∠ ACO+∠ OCB=90176?！唷?MO1A+∠ NO2B=180176。 sin36176。 ∴∠ AMN+∠ BNM=90176。 綜上： CD 是⊙ O 的切線 ． （ 2）在 Rt△ OCD 中，∠ D=30176。AB， AB=A/B/． 現(xiàn)在它的證明方法就轉(zhuǎn)化為前面的說明了， 這就是又回到了我們的數(shù)學(xué)思想上去呢──化歸思想，化未知為已知，因此，我們可 以得到下面的定理： 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等． 同樣，還可以得到： 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等， 所對(duì)的弦也相等． 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等， 所對(duì)的弧也相等． （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在給予說明一下． 請(qǐng)三位同學(xué)到黑板板書，老師點(diǎn)評(píng)． 例 1． 如圖，在⊙ O 中， AB、 CD 是兩條弦， OE⊥ AB， OF⊥ CD，垂足分別為 EF． （ 1）如果∠ AOB=∠ COD，那么 OE 與 OF 的大小有什么關(guān)系？為什么？ （ 2）如果 OE=OF，那么 AB 與 CD的大小有什么關(guān)系？ AB 與 CD 的大小有什么關(guān)系？ 為什么？∠ AOB 與∠ COD 呢？ OBACEDF 10 分析：（ 1）要說明 OE=OF，只要在直角三角形 AOE和直角三角形 COF中說明 AE=CF，即說明 AB=CD，因此，只要運(yùn)用前面所講的定理即可． （ 2）∵ OE=OF，∴在 Rt△ AOE 和 Rt△ COF 中， 又有 AO=CO 是半徑，∴ Rt△ AOE≌ Rt △ COF， ∴ AE=CF，∴ AB=CD，又可運(yùn)用上面的定理得到 AB =CD 解：（ 1）如果∠ AOB=∠ COD，那么 OE=OF 理由是：∵∠ AOB=∠ COD ∴ AB=CD ∵ OE⊥ AB， OF⊥ CD ∴ AE=12 AB， CF=12 CD ∴ AE=CF 又∵ OA=OC ∴ Rt△ OAE≌ Rt△ OCF ∴ OE=OF （ 2）如果 OE=OF，那么 AB=CD， AB =CD，∠ AOB=∠ COD 理由是： ∵ OA=OC， OE=OF ∴ Rt△ OAE≌ Rt△ OCF ∴ AE=CF 又∵ OE⊥ AB， OF⊥ CD ∴ AE=12 AB， CF=12 CD ∴ AB=2AE， CD=2CF ∴ AB=CD ∴ AB =CD，∠ AOB=∠ COD 三、鞏固練習(xí) 教材 P89 練習(xí) 1 教材 P90 練習(xí) 2． 四、應(yīng)用拓展 例 2． 如圖 3 和圖 4， MN 是⊙ O 的 直徑，弦 AB、 CD 相交于 MN 上的一點(diǎn) P， ∠ APM=∠ CPM． （ 1）由以上條件，你認(rèn)為 AB 和 CD 大小關(guān)系是什么，請(qǐng)說明理由． 11 （ 2）若交點(diǎn) P 在⊙ O 的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由． BA CEDPONMF BACEDPNMF (3) (4) 分析：（ 1）