【正文】 例 5 已知等邊△ ABC 的邊長為 2，點 E 是邊 BC 延長線上的一點，且 CE=BC，點 D 是 AB 的中點，求 DE 的長。 通過此例我們能看到勾股定理與數(shù)形結合之間的聯(lián)系 ,相互包含 ,而且求解時通常與方程的聯(lián)系也相當緊密。 即 2A B C D E F G B C D E A C F G A B CS S S S? ? ? ① 通過驗證還能知道六邊形 ABEDFG 的面積是四邊形 ABEG 面積的兩倍 。它以其簡潔 ,優(yōu)美的形式，豐富深刻的內(nèi)容，展現(xiàn)了自然界的和諧 與唯美。 1. 勾股定理的證明 勾股定理是數(shù)學中一條有名的定理，它是幾何學的基礎知識，在《基礎幾何學》 [2]中對它進行了詳細的介紹。 再接下來 ,過 J 引 CA 的平行線 ,過 K 引 CB的平行線 ,設它們的交點為 L,則△ ABC≌△ JKL( 兩角夾一邊 ).于是 ,六邊形 AKLJBC 的面積是以斜邊 AB 為一邊的正方形面積與直角三角形 ABC 面積的二倍的總和 . 即 2AK LJBC ABJ K ABCS S S?? ② 我們還不難發(fā)現(xiàn) ,如果把四邊形 ABEG 繞 B 點旋轉 90度后 ,它恰巧重合于四邊形 ABEG 繞 A 點旋轉 90 度后 ,它恰巧重合于 ABEDFG 面積等于六邊形AKLJBC 的面積 .即 ABEDFG AKLJBCSS? ③ 由 ①②③式可得 ABJ K BC DE AC FGS S S?? 即 2 2 2c a b?? 淮南師范學院 2020屆本科畢業(yè)論文 7 7 定理即得證 : 不難發(fā)現(xiàn)這兩種方法與前面的拼圖法有著許多不同之處 ,在這里注重圖形的轉化演繹 ,所以我們可把它們歸結為演繹法證明勾股定理 .演繹法證明勾股定理一直都是一個重要的思路，不論在西方 ,還是在中國 ,都受到了這種思想的影響 ,在《數(shù)學史中勾股定理的證明》 [5]一文有更詳細介紹。我門再看一例與生活有聯(lián)系的實例。 分析：因為 DE 與△ ABC 的各邊都沒有明顯的關系，所以可以通過添加輔助線構造直角三角形，將 DE 作為直角三角形的一條邊，利用勾股定理求 DE 的長。下面就看這樣一例 ,它包含數(shù)形結合與轉化思想于一體。 解 :如上圖， D 為樹頂 ,AB=20 米 ,點 C 為池塘 ,AC=40 米 設 BD 的長為 x 米 ,則樹高為 (20+x )米 ∵ AC+AB=BD+DC ∴ DC=40+20x=60x 在直角△ ACD 中 ,有 勾股定理可得 : 2 2 2AC AD DC?? 即 : 2 2 240 ( 20) ( 60 )xx? ? ? ? 解得 x =10 20 30x?? 所以樹高為 30 米。看下面一例 首先畫直角三角形 ABC, （如圖） 設點 C 為直角頂點 ,(斜邊長為c,兩直角邊長分別為 a,b),分別 以直角邊 BC,AC 為一邊畫正方形BCDE,ACFG,以斜邊 AB 為一邊畫正方形 DF,容易知道△ ABC≌△ FDC,從而六邊形 ABEDFG的面積是以 BC為一邊的正方形的面積 ， AC 為一邊的正方形的面積，再加上直角三角形 ABC 的面積勾股定理幾種證明方法的探索與思考 6 6 的二倍的總和。勾股定理是一壇千年佳釀，另人陶醉神往。目前勾股定理的證明勾股定理幾種證明方法的探索與思考 2 2 方法已有 500 多種，每種證明方法大都把幾何知識與代數(shù)知識相結合，充分體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的魅力，轉化思想的巧妙。接下來 ,我們看這樣一種證法 ,它融合拼圖與演繹為一體 ,構思相當巧妙，如圖 ⑹ 圖 (6)里的四個完全相同的直角三角形和一個小正方形構成了一個大正方形 .現(xiàn)在 ,把其中一個直角三角形命名為 ABC(圖 8),并設 BC = a， CA = b， AB = c,中間一個正方形的邊長是 ab,大正方形的邊長是c,從而 ,圖 (8)里的大正方形的面積是 2c 。 例 2 圖 (1)是一面矩形彩旗完全展平時的尺寸