勾股定理幾種證明方法的探索與思考_畢業(yè)論文-文庫(kù)吧
2025-07-07 17:40 本頁(yè)面
【正文】 示出 : 勾股定理幾種證明方法的探索與思考 4 4 21 ()2ABCDS a b??梯 形 ① 2111222E C DA B E A E DS S S S a b a b c???? ? ? ? ? ?梯 形 ABCD ② 有①②兩式可得： 221 1 1 1()2 2 2 2a b a b a b c? ? ? ? 化簡(jiǎn)后得： 2 2 2a b c?? 從以上三例我們能看到拼圖這種方法的巧妙 ,但其思路還是離不開數(shù)形結(jié)合。拼法一這種方法是在西方廣為流傳的畢達(dá)哥拉斯等人的基礎(chǔ)上被發(fā)現(xiàn)的 .拼法二則是中華民族的發(fā)現(xiàn) ,在《數(shù)學(xué)史概論 .》 .[3].一書中對(duì)此作了詳細(xì)的說(shuō)明。用拼圖來(lái)證明勾股定理是一種簡(jiǎn)單又明了的方法 ,有好多學(xué)者在這方面都有研究 ,也有專門的文章出現(xiàn) .[3] 演繹法 在許多有關(guān)勾股定理的證明方法中 ,有一種方法最為古老 ,而且對(duì)后來(lái)的影響有比較大 ,這種方法就是演繹法 ,是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德發(fā)現(xiàn)的 .在他所著的《幾何原本》中給出 了這種方法。如圖 直角三角形 ABC 的 AC 邊長(zhǎng)為 a， AB 邊長(zhǎng)為 b,斜邊 CB 長(zhǎng)為 ACGF 邊長(zhǎng)為 a,正方形 ABHI 邊長(zhǎng)為 b, 正方形 CDEB 邊長(zhǎng)為 : 連接 GB,AD,CH,AE,過(guò)點(diǎn) A 做 AK 垂直于 BE 交 DE 與點(diǎn) K。因淮南師范學(xué)院 2020屆本科畢業(yè)論文 5 5 為 CG=CA,CB=CD, ∠ GCB=∠ ACD .容易知道△ ACD ≌ △ GCB，又因?yàn)? 1122A CD CD KJS C D D K S? ?? 1122G C B A F G CS C G C A S? ?? 所以 CDKJ AFGCSS? ① 同理： 因?yàn)? AB BH? BC BE? CBH ABE? ? ? 所以 1122C B H A B H IS B H H I S? ?? ABE HBC? ? ? 又因?yàn)? 1122A B E KE B JS B E K E S? ?? 所以 KEBJ ABHISS? ② 又① +②可以得到 K E B J C D K J A B H I G C A FS S S S? ? ? 即 CDEB ABH I GCAFS S S?? 2 2 2c a b?? 歐幾里德的這種演繹思想對(duì)后來(lái)的數(shù)學(xué)發(fā)展起到了很大的作用 ,更直接的作用是給勾股定理的證明方法提供了一個(gè)全新的思路?？聪旅嬉焕? 首先畫直角三角形 ABC, （如圖） 設(shè)點(diǎn) C 為直角頂點(diǎn) ,(斜邊長(zhǎng)為c,兩直角邊長(zhǎng)分別為 a,b),分別 以直角邊 BC,AC 為一邊畫正方形BCDE,ACFG,以斜邊 AB 為一邊畫正方形 DF,容易知道△ ABC≌△ FDC,從而六邊形 ABEDFG的面積是以 BC為一邊的正方形的面積 ， AC 為一邊的正方形的面積，再加上直角三角形 ABC 的面積勾股定理幾種證明方法的探索與思考 6 6 的二倍的總和。 即 2A B C D E F G B C D E A C F G A B CS S S S? ? ? ① 通過(guò)驗(yàn)證還能知道六邊形 ABEDFG 的面積是四邊形 ABEG 面積的兩倍 。 再接下來(lái) ,過(guò) J 引 CA 的平行線 ,過(guò) K 引 CB的平行線 ,設(shè)它們的交點(diǎn)為 L,則△ ABC≌△ JKL( 兩角夾一邊 ).于是 ,六邊形 AKLJBC 的面積是以斜邊 AB 為一邊的正方形面積與直角三角形 ABC 面積的二倍的總和 . 即 2AK LJBC ABJ K ABCS S S?? ② 我們還不難發(fā)現(xiàn) ,如果把四邊形 ABEG 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 90度后 ,它恰巧重合于四邊形 ABEG 繞 A 點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 90 度后 ,它恰巧重合于 ABEDFG 面積等于六邊形AKLJBC 的面積 .即 ABEDFG AKLJBCSS? ③ 由 ①②③式可得 AB
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