【正文】 2Tm 分別為擺桿 2 的平均動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。二級(jí)倒立擺的組成如圖 所示： 圖 直線二級(jí)倒立擺物理模型 系統(tǒng)模型各相關(guān)參 數(shù)定義如表 表 系統(tǒng)模型參數(shù) 利用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程： ( , ) ( , ) ( , )L q T q V qq q? ? ??? （ ） 式 （ ） 中 L 為 拉格朗日算子， q 為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)， T 為系統(tǒng)動(dòng)能， V 為系統(tǒng)勢(shì)能。 計(jì)算狀態(tài)反饋增益矩陣 K 可以直接利用 Matlab 的極點(diǎn)配置函數(shù) [K，PREC， MESSAGE] = PLACE(A， B， P) 來計(jì)算。 PID 控制原理如圖 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 16 圖 PID 控制原理 下面是通過對(duì)倒立擺在 MATLAB 中的 M 文件實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的仿真曲線，整定參數(shù)的步驟如下： Kd 和微分系數(shù) Ki 均設(shè)置為 0，比例系數(shù) Kp 設(shè)置為較小的值，使系統(tǒng)運(yùn)行，同理在分別將其他兩個(gè)參數(shù)改為 0，總結(jié)這三個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有分析法和實(shí)驗(yàn)法兩種。這種設(shè)計(jì)保證了電機(jī)軸不受額外扭矩的作用。 小車部分設(shè)計(jì) 為了實(shí)現(xiàn)倒立擺擺桿的自由擺動(dòng)，同時(shí)測(cè)量擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)角度，需要設(shè)計(jì)一個(gè)鉸鏈來實(shí)現(xiàn)。 直線倒立擺本體由底座、電機(jī)、同步帶、帶輪、滑竿、小車、擺桿、角編碼器等組成。擬人智能控制的核心是 “ 廣義歸約 ” 和 “ 擬人 ” 。 PID 控制、狀態(tài)反饋控制、 LQR 控制算法是其典型代表。 (5)偵察衛(wèi)星中攝像機(jī)的輕微抖動(dòng)會(huì)對(duì)攝像的圖象質(zhì)量產(chǎn)生很大的影響， 為了提高攝像的質(zhì)量，必須能自動(dòng)地保持伺服云臺(tái)的穩(wěn)定，消除震 動(dòng)。基于此本文設(shè)計(jì)了直線倒立擺系統(tǒng)的機(jī)械本體部分 ， 研究了直線 一級(jí)、二級(jí)、三級(jí) 倒立擺系統(tǒng)的 PID、 LQR 和 狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制算法 ， 同時(shí)利用 MATLAB/Simulink 對(duì)各個(gè)算法進(jìn)行分析，由 仿真結(jié)果表明 ： 對(duì)于像倒立擺這樣的非線性模型 ， 通過對(duì)其數(shù)學(xué)模型的建立，設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器 ,并對(duì)其實(shí)現(xiàn)控制是可行的。 (2)在火箭等飛行器的飛行過程中，為了保持其正確的姿態(tài)，要不斷進(jìn)行 實(shí)時(shí)控制。不僅由于其級(jí)數(shù)增加而產(chǎn)生的控制難度是對(duì)人類控制能力的有力挑戰(zhàn)，更重要的是實(shí)現(xiàn)其控制穩(wěn)定的過程中不斷發(fā)現(xiàn)新的 控制方法、探索新的控制理論，并進(jìn)而將新的控制方法應(yīng)用到更廣泛的受控對(duì)象中。 ③ 擬人智能控制 模糊控制 、 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等智能控制理論的問世促進(jìn)了當(dāng)代自動(dòng)控制理論的發(fā)展。 (3)設(shè)計(jì)繪制了直線倒立擺的裝配圖。計(jì)算機(jī)從運(yùn)動(dòng)控制卡中實(shí)時(shí)讀取數(shù)據(jù)，確定控制決策 (電機(jī)的輸出力矩 )，并發(fā)送給運(yùn)動(dòng)控制卡。 下圖為小車部分的剖面圖： 圖 小車部分剖面圖 傳動(dòng)部分設(shè)計(jì) a. 同步帶輪裝置的設(shè)計(jì)及裝配 為了使小車往復(fù)運(yùn)動(dòng)靈活，提高系統(tǒng)精度，系統(tǒng)選擇 齒間距為 3 毫米的同步帶 。在靜態(tài)條件下 (即變量各階導(dǎo)數(shù)為零 )，描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程叫靜態(tài)數(shù)學(xué)模型 ； 而描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程叫動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型 [12]。當(dāng)被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學(xué)模型時(shí)，控制理論的其它技術(shù)難以采用時(shí)，系統(tǒng)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依靠經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)調(diào)試來確定，這時(shí)應(yīng)用 PID 控制技術(shù)最為方便。 狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)及仿真 對(duì)于控制系統(tǒng) .X Ax Bu?? 式中： X 為狀態(tài)向量（ n 維） u 控制向量（純量） A nn 維常數(shù)矩陣 B n1 維常數(shù)矩陣 選擇控制信號(hào)為： u KX?? 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 21 圖 狀態(tài)反饋閉環(huán)控制控制原理圖 求解上式，得到： ? ? ? ? ? ?.x t A BK x t?? 方程的解為： ? ? ? ? ? ?0A BK tx t e x?? 可以看出，如果系統(tǒng)狀態(tài)完全可控， K 選擇適當(dāng)，對(duì)于任意的初始狀態(tài)，當(dāng)t 趨于無窮時(shí)，都可以使 x(t)趨于 0。 LQR 中 Q 矩陣的選定可根據(jù)其擺桿的運(yùn)動(dòng)曲線及要求進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，調(diào)節(jié)過程有規(guī)律容易掌握。2 2 2T T Tm m m?? 其中 39。 (( ) ( ) )1 2 d X p d Y pTmm d t d t?? （ ） 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 26 211139。 小車的動(dòng)能： 212MxTm ?? （ ） 由式（ ）可得： 39。如何快速的進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)僅僅由 它 們的參數(shù)選擇決定。 增加積分系數(shù) I 時(shí)可以看見到 ， 當(dāng) I 從 13 時(shí) ， 系統(tǒng)的性能明顯提高，響應(yīng)時(shí)間縮短，動(dòng)態(tài)性能得到了很大的提高 。實(shí)驗(yàn)法是人為地給系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近，這種方法稱為系統(tǒng)辯識(shí) [13]。 從電動(dòng)機(jī)角度考慮，電動(dòng)機(jī)受到的主要負(fù)載為摩擦負(fù)載和慣性負(fù)載，摩擦負(fù) 載主要來源于作直線 運(yùn)動(dòng)的倒立擺小車被控對(duì)象與運(yùn)行軌道的摩擦力、傳動(dòng)裝置同步帶和齒輪之間的摩擦力，慣性負(fù)載除了電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的慣性力外，還有擺和小車以及齒輪的慣性力，忽略齒輪的慣性力，現(xiàn)分別計(jì)算其它負(fù)載力 (全部折算到電機(jī)軸上 )。因此，軸承座安裝軸承的孔應(yīng)設(shè)計(jì)為通孔，并在車床上一次裝夾加工完成，以避免產(chǎn)生二次裝夾誤差。 電氣控制箱 由 電機(jī)驅(qū)動(dòng)器、 I/O 接口板、開關(guān)電源、開關(guān)和指示燈等電氣元件 組成。另一核心概念是 “ 擬人 ”， 其含義是在控制規(guī)律形成過程中直接利用人的控制經(jīng)驗(yàn)直覺推理分析。 (2)預(yù)測(cè)控制和變結(jié)構(gòu)控制方法 由于線性控制理論在倒立擺控制中的局限性，使得研究者不得不去尋求更加有效的控制方法，于是 先后開展了預(yù)測(cè)控制、變結(jié)構(gòu)控制和自適應(yīng)控制的研究。在此基礎(chǔ)上，世界各國(guó)專家和學(xué)者對(duì)倒立擺進(jìn)行了拓展，產(chǎn)生了直線二級(jí)倒立擺、三級(jí)倒立擺、多級(jí)倒立擺、柔性直線倒立擺、環(huán)形倒立擺、平面倒立擺、環(huán)形并聯(lián)多級(jí)倒立擺以及斜坡倒立擺等實(shí)驗(yàn)設(shè)備，并用不同的控制方法對(duì)其進(jìn)行了控制。倒立擺系統(tǒng)的高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強(qiáng)藕合等特性 ， 使得許多現(xiàn)代控制理論研究人員一直將它視為最佳的理論方法驗(yàn)證試驗(yàn)研究對(duì)象，不斷從研究倒立擺控制中發(fā)掘出新的控制方法，并將其應(yīng)用于航天科技、機(jī)器人學(xué)、海上鉆井平臺(tái)、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制、太空探測(cè)器著陸控制和測(cè)量?jī)x器展開穩(wěn)定控制等各種高新科技領(lǐng)域 [1]。另一方面對(duì)系統(tǒng)的研究也比較有實(shí)用價(jià)值，從日常生活中所見的任何重心在上、支點(diǎn)在下的控制問題，到空間飛行器和各類伺服云臺(tái)的穩(wěn)定，都和倒立擺的控制有很大的相似性 。 1994 年，北京航空航天大學(xué)教授張明廉將人工智能與自動(dòng)控制理論相結(jié)合，提出 “ 擬人智能控制理論 ” ，實(shí)現(xiàn)了用單電動(dòng)機(jī)控制三級(jí)倒立擺實(shí)物以及后來實(shí)現(xiàn)對(duì)二維單倒立擺控制 [7]。 ② 模糊控制 經(jīng)典的模糊控制器利用模糊集合理論將專家知識(shí)或操作人員經(jīng)驗(yàn)形成的語言規(guī)則直接轉(zhuǎn)化為自動(dòng)控制策略 (通常是專家模糊規(guī)則查詢標(biāo) )，其設(shè)計(jì)不依靠對(duì)象精確的數(shù)學(xué)模型，而是利用其語言知識(shí)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)和修正控制算法。 (2)分析了倒立擺系統(tǒng)的控制方法。 (4)開環(huán)不穩(wěn)定性 系統(tǒng)工作原理 倒立擺 系統(tǒng)是由 上位機(jī)作為控制界面的輸出， 通過上位機(jī)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的仿真過程進(jìn)行參數(shù)的選改，運(yùn)動(dòng)控制卡進(jìn)行電機(jī)反饋和角度編碼器的反饋計(jì)算，并將參數(shù)的反饋發(fā)送到電機(jī)驅(qū)動(dòng)器，進(jìn)而控制電機(jī)輸出。 直線軸承座設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵是保證兩個(gè)直線軸承座軌道安裝面是同心的。 (5)適配 3A 以下兩相、四相混合式步進(jìn)電機(jī)。 在 Matlab 中計(jì)算： A=[0 1 0 0； 0 0； 0 0 0 1； 0 0]； B=[0； ； 0； ]； C=[1 0 0 0； 0 1 0 0]； D=[0； 0]； Uc=ctrb(A， B)； Vo=obsv(A， C)； rank(Uc) rank(Vo) 得到： ans =4 ans=4 可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，系統(tǒng)的 可觀性矩陣的 秩等于系統(tǒng) 的狀態(tài)變量維數(shù) ，所以系統(tǒng)可控且是能觀的，因此可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)穩(wěn)定。 LQR 控制的原理圖如下所示： 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 19 圖 最優(yōu)控制 LQR 控制原理圖 根據(jù)期望性能指標(biāo)選取 Q 和 R， 利用 MATLAB 命令 lqr 就可以得到 最優(yōu) 反饋 增益 矩陣 K： ? ?, , ,K lqr A B Q R? 由原理知 ,要求出最優(yōu)控制作用 u， u(k)=Kx 除求解代數(shù) Riccati 方程外 ， 加權(quán)矩陣的選擇也是至關(guān)重要的 。極點(diǎn)的選擇沒有什么規(guī)律，一般必須同時(shí)有實(shí)部和虛部否則系統(tǒng)不穩(wěn) 定。 39。 2 2( ( ) ( ) )222 d X p d Y pTmm d t d t?? （ ） 21 139。1 1 1T T Tm m m?? 其中 39。三個(gè)系數(shù)過大或過小都會(huì)使系統(tǒng)震蕩甚至發(fā)散，為了達(dá)到理想的控制效果需要根據(jù)調(diào)節(jié)者的經(jīng)驗(yàn)，不斷調(diào)整得到。 通過調(diào)節(jié)比例系數(shù)，可以較好地減小控制系統(tǒng)偏差，但是在此處通過調(diào)節(jié)微分系 數(shù)，卻不能較好地改善響應(yīng)速度，減少調(diào)節(jié)時(shí)間，改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，或者說積分項(xiàng)引起的變化作用不明顯。 實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下： 表 系統(tǒng)模型參數(shù) 參數(shù) 名稱 實(shí)際值 單位 M 小車質(zhì)量 Kg m 擺桿的質(zhì)量 Kg I 擺桿慣量 kg*m2 l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 m b 小車摩擦系數(shù) N/m/sec ? 擺桿與垂直向上方向的夾角 F 作用在系統(tǒng)上的外力 / N 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 通過對(duì)小車受力分析 得到小車水平方向所受的合力： [14] NxbFxM ??? ??? () 由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： 22 ( sin )dN m x ldt ??? () 即： 2c os si nN m x m l m l? ? ? ?? ? ? () 把這個(gè)等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? () 為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： 22 ( c o s )dP m g m ldt ?? ? ? () 2sin c o sP m g m l m l? ? ? ?? ? ? () 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c o ss in () 注意：此方程中力矩的方向，由于 ??????? s i ns i n,c o sc o s, ?????? ，因此等式前面有負(fù)號(hào)。其參數(shù)如下： 電壓： 電流： 步距角： 5%? 轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 重量 ： 最大 靜轉(zhuǎn)矩： 與此步進(jìn)電機(jī)配套的驅(qū)動(dòng)器為 BL230M，驅(qū)動(dòng)模塊特點(diǎn)有 [11]： (1)適用于電壓范圍寬（ 2440V)。 轉(zhuǎn)軸的設(shè)計(jì)直接關(guān)系到擺桿鉸鏈的靈活程度，從而影響倒立擺控制的穩(wěn)定性。也可以利用非線性控制理論對(duì)其進(jìn)行控制。 ⑤ 云模型控制 利用云模 型實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制，用云模型構(gòu)成語言值，用語言值構(gòu)成規(guī)則，形成一種定性的推理機(jī)制。預(yù)測(cè)控制、變結(jié)構(gòu)控制和自適應(yīng)控制在理論上有較好 的控制效果，但由于控制方法復(fù)雜、成本也高，不易在快速變化的系統(tǒng)上實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn) [9]。 80 年代后期開始，較多的研究了倒立擺系統(tǒng)中的非線性特性，提出了一系列的基于非線性分析的控制策略， 1993 年， Wiklund 等人應(yīng)用基于李亞普諾夫的方法控制了環(huán)形一級(jí)倒立擺 [4]。 倒立擺系統(tǒng)的控制效果可以通過其穩(wěn)定性直觀地體現(xiàn)，也可以通過擺桿角度、小車位移和穩(wěn)定時(shí)間直接度量 ， 其實(shí)驗(yàn)效果直觀、顯著。 倒立擺系統(tǒng)研究背景及意義 對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究不僅僅在其結(jié)