【正文】 第 7 講 數(shù)列求和與數(shù)列綜合應(yīng)用 第 7 講 │ 數(shù)列求和與數(shù)列綜合應(yīng)用 主干知識整合 第 7 講 │ 主干知識整合 數(shù)列求和常用的方法 ( 1 ) 公式法 ： ① 等差數(shù)列求和公式 ； ② 等比數(shù)列求和公式 ． 特別提示 ： 運(yùn)用等比數(shù)列求和公式 ， 務(wù)必檢查其公比與 1的關(guān)系 ， 必要時(shí)需分類討論 ； ③ 常用公式 ： 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ? ＋ n＝12n ( n ＋ 1 ) ， ( 2 ) 分組求和法 ： 在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí) ， 常將“ 和式 ” 中 “ 同類項(xiàng) ” 先合并在一起 ， 再運(yùn)用公式法求和 ． 第 7 講 │ 主干知識整合 ( 3 ) 倒序相加法 ： 若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián) ， 則?？煽紤]選用倒序相加法 ，發(fā)揮其共性的作用求和 ( 這也是等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法 ) ． ( 4 ) 錯(cuò)位相減法 ： 如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成 ， 那么常選用錯(cuò)位相減法 ( 這也是等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法 ) ． ( 5 ) 裂項(xiàng)相消法 ： 如果數(shù)列的通項(xiàng)可 “ 分裂成兩項(xiàng)差 ” 的形式 ， 且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián) ， 那么常選用裂項(xiàng)相消法求和 ． ( 6 ) 通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法 ： 先對通項(xiàng)進(jìn)行變形 ， 發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征 ， 再運(yùn)用分組求和法求和 ． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 7 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)一 數(shù)列求和 例 1 等比數(shù)列的首項(xiàng)為 a ， 公比為 q ， S n 為前 n 項(xiàng)的和 ，則 S 1 ＋ S 2 ＋ ? ＋ S n ＝ __ ____ __. 【 答案 】 ??????? n ? n ＋ 1 ?2a ， q ＝ 1 ，na1 － q－aq ? 1 － qn?? 1 － q ?2 ， q ≠ 1. 第 7 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解析】 當(dāng) q ＝ 1 時(shí)， a n ＝ a ， S n ＝ na ， ∴ S 1 ＋ S 2 ＋ ? ＋ S n ＝ (1 ＋ 2 ＋ ? ＋ n ) a ＝n ? n ＋ 1 ?2a ； 當(dāng) q ≠ 1 時(shí)， 第 7 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ∵ Sn＝a ? 1 － qn?1 － q， ∴ S1＋ S2＋ ? ＋ Sn ＝a1 － q[(1 － q ) ＋ (1 － q2) ＋ … ＋ (1 － qn)] ＝a1 － q[ n － ( q ＋ q2＋ … ＋ qn)] ＝a1 － q????????n －q ? 1 － qn?1 － q ＝na1 － q－aq ? 1 － qn?? 1 － q ?2 . 【點(diǎn)評】 等比數(shù)列 { a n } 求和時(shí)必須注意 ： ( 1 ) 當(dāng)條件中注明 q ≠ 1 ( 或 q ＝ 1 沒有意義 ) 時(shí) ， 可直接使用公式 S n ＝a 1 ? 1 － qn?1 － q； ( 2 ) 當(dāng) q ＝ 1 有意義時(shí) ， 應(yīng)分成兩種情況 ： ① 當(dāng) q＝ 1 時(shí) ， S n ＝ na 1 ； ② 當(dāng) q ≠ 1 時(shí) ， S n ＝a 1 ? 1 － qn?1 － q. 第 7 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 已知 log 3 x ＝－ 1log 2 3 ， 則 x ＋ x2 ＋ x 3 ＋ ? ＋ x n ＋ ?的前 n 項(xiàng)和為 ________ ． 【 答案 】 1 － 12 n 第 7 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解析】 由 log 3 x ＝－ 1log 2 3? log 3 x ＝－ log 3 2 ? x ＝12. 由等比數(shù)列的求和公式得 S n ＝ x ＋ x2＋ x3＋ ? ＋ xn＝x ? 1 － xn?1 － x＝12 ??????1 －12n1 －12＝ 1 －12n . 第 7 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 7 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)二 數(shù)列與其他知識的綜合問題 例 2 在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ，y 2 ) ， ? ， P n ( x n ， y n ) ， ? ， 對一切正整數(shù) n ， 點(diǎn) P n 位于函數(shù)y ＝ 3 x ＋134的圖象上 ， 且 P n 的橫坐標(biāo)構(gòu)成以 －52為首項(xiàng) ，－ 1為公差的等差