【正文】 從而其跡和行列式也相同；.解 由已知的特征值也為故的跡答案 A例9 設3階矩陣與相似，且已知的特征值為. 則=（　　?。〢． B．C．7 D．12測試點 (1) 相似矩陣的特征值相同。解所以 且.答案 且.2. 關于線性相關的幾個定理1) 如果向量組線性無關,而線性相關,則可由線性表示,且表示法唯一.2) 線性相關的向量組再增加向量所得的新向量組必線性相關.(部分相關,則整體相關。當時，；。 (kα,kβ)=(α,β)。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤將行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不變行列式依行（列）展開：余子式、代數(shù)余子式 定理：行列式中某一行的元素與另一行元素對應余子式乘積之和為零。希臘字母表示（加法數(shù)乘） 特殊的向量：行（列）向量，零向量θ，負向量，相等向量，轉(zhuǎn)置向量向量間的線性關系: 線性組合或線性表示 向量組間的線性相關（無）：定義向量組的秩：極大無關組（定義P188） 定理：如果是向量組的線性無關的部分組，則它是 極大無關組的充要條件是：中的每一個向量都可由線性表出。約當形矩陣 約當塊：形如的n階矩陣稱為n階約當塊； 約當形矩陣：由若干個約當塊組成的對角分塊矩陣（是約當塊）稱為約當形矩陣。初等陣都可逆，且其逆也是同類型的初等陣.2) 初等變換和矩陣乘法之間的關系3)對任意階矩陣，總存在一系列階初等陣和一系列階初等陣使得 4)矩陣階與等價的充分必要條件是存在一系列階初等陣和一系列階初等陣使得 例17 下列矩陣中，是初等矩陣的為（　　?。〢． B．C． D． 測試點 初等矩陣的定義和性質(zhì)，故是初等矩陣。2根據(jù)系數(shù)矩陣的階數(shù),確定方程的個數(shù)和未知數(shù)的個數(shù).解析 線性方程組的系數(shù)矩陣的行數(shù)等于方程的個數(shù)，列數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù)因為是43矩陣，故方程組的未知數(shù)的個數(shù)，故方程組只有零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩答案 ,則 .解析 有非零解而 故因為有非零解，則或答案 或 2. 齊次方程組解的結(jié)構(gòu)1）齊次方程組解的性質(zhì)設都是的解，則也是的解(C1，C2為任意常數(shù))2）齊次方程組的基礎解系的概念：（1）線性無關；（2）的任何一個解都可以表示為的線性組合，則稱為該齊次方程組的基礎解系.如果齊次方程組有非零解（即），則它有基礎解系.重要結(jié)論:齊次方程組的基礎解系含個線性無關的解；齊次方程組的任意個線性無關的解都構(gòu)成該齊次方程組的基礎解系；3）齊次方程組的基礎解系的求法例4 3元齊次方程組的基礎解系所含解向量的個數(shù)為 .測試點 齊次方程組的基礎解系 (定義。解 因為3階實對稱矩陣的特征值為,故矩陣必與對角陣相似,所以必與對角陣等價,所以秩.答案 B例22設矩陣，求正交矩陣，使為對角矩陣.解 (1) 所以的所有特征值為.(2)當時,取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),.當時,取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),.(3), ,則正交陣,且 (請驗算!)第六章 實二次型 一. 二次型及其矩陣表示 ,稱矩陣的秩為該二次型的秩例1二次型的矩陣為（　　?。〢． B．C． D．測試點 二次型的矩陣答案 C]例2已知二次型的矩陣為,則以它為矩陣的二次型為 . 測試點 二次型的矩陣以及實對稱矩陣的二次型解 所求二次型為二．矩陣的合同 ，則稱與合同.對于二次型，做非退化的線性變換變換（其中為可逆陣）則,可見經(jīng)非退化的線性變換后的二次型的矩陣與原二次型的矩陣合同。 解 當時,故方程組無解.答案 .例10 如果非齊次線性方程組有解,則它有惟一解的充分必要條件是其導出組 .解 非齊次線性方程組有惟一解的充分必要條件是未知數(shù)的個數(shù)，而它恰是其導出組只有零解,沒有非零解的充要條件.答案 只有零解. 其中是方程的一個特解，為系數(shù)矩陣的秩，為它的導出組（與它對應的）齊次方程組的基礎解系.例10設3元非齊次線性方程組的兩個解為，且系數(shù)矩陣的秩，則對于任意常數(shù) 方程組的通解可表為（　　　） 測試點 。組合系數(shù)的求法解 考慮 該線性方程組的增廣矩陣所以 答案 (驗算!)二、維向量組的線性相關性1．向量組的線性相關性的定義和充分必要條件：1）定義: ，使得,則稱向量組線性相關，否則，即如果，必有，則稱向量組線性無關.2) .例3設向量組線性相關，則必可推出（　　　）A．中至少有一個向量為零向量B．中至少有兩個向量成比例C．中至少有一個向量可以表示為其余向量的線性組合D．中每一個向量都可以表示為其余向量的線性組合測試點 向量組線性相關的概念答案 C例4向量組線性無關的充分條件是A. 都不是零向量B. 中任意兩個向量都不成比例C. 中任意一個向量都不能表為其余向量的線性組合D. 中任意個向量都線性無關測試點 向量組線性相關的概念。合同的性質(zhì)：反身性、對稱性、傳遞性、秩、化二次型為標準型：配方法、做變換（二次型中不含有平方項） 第一章 行列式一．行列式的定義和性質(zhì)1. 余子式和代數(shù)余子式的定義例1行列式第二行第一列元素的代數(shù)余子式（　　　）A． B．C． D．測試點 余子式和代數(shù)余子式的概念解析 ,答案 B2．行列式按一行或一列展開的公式1）2）例2 設某階行列式的第二行元素分別為對應的余子式分別為則此行列式的值為 .測試點 行列式按行(列)展開的定理解 例3 已知行列式的第一列的元素為，第二列元素的代數(shù)余子式為2,3,4,x 問 .測試點 行列式的任意一行(列)與另一行(列)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零.解 因第一列的元素為，第二列元素的代數(shù)余子式為2,3,4,x,故所以3．行列式的性質(zhì)1）2）用數(shù)乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝3）互換行列式的任意兩行（列）所得新行列式等于原行列式的相反數(shù). 推論4）如果行列式中兩行（列）對應元素成比例，則行列式值為0.5）行列式可以按任一行（列）拆開.6）行列式的某一行（列）的倍加到另一行（列）上，所得新行列式與原行列式的值相等.例4 已知，那么（ ）A. B.C. D. 測試點 行列式的性質(zhì)解析 答案 B例5設行列式=1，=2，則=（　　　）A． B．C．1 D．測試點 行列式的性質(zhì)解 故應選 D答案 D二．行列式的計算1．二階行列式和三角形行列式的計算.，利用行列式的性質(zhì)將其降階以化成二階行列式或三角形行列式的計算.3．對行列式中有一行或一列中只有一個或兩個非零元的情況，用這一行或一列展開. 4．行列式中各行元素之和為一個常數(shù)的類型.例6求4階行列式的值.測試點 行列式的計算解 例7計算3階行列式 解 例8 計算行列式：測試點 各行元素之和為常數(shù)的行列式的計算技巧.解 例9計算行列式 測試點 行列式中有一行只有兩個元素不為零的行列式的計算和三角形行列式的計算解例10計算行列式解 例11設問（1）中，項的系數(shù)＝？（2）方程有幾個根？試寫出所有的根。齊次線性方程組（I）解的結(jié)構(gòu)：解為 （I）的兩個解的和仍是它的解； （I）解的任意倍數(shù)還是它的解； （I）解的線性組合也是它的解，是任意常數(shù)。 線性代數(shù)知識點總結(jié)第一章 行列式 二三階行列式N階行列式：行列式中所有不同行、不同列的n個元素的乘積的和 （奇偶）排列、逆序數(shù)、對換行列式的性質(zhì)：①行列式行列互換，其值不變。極大無關組注：向量組的極大無關組不是唯一的，但他們所含向量的個數(shù)是確定的； 不全為零的向量組的極大無關組一定存在； 無關的向量組的極大無關組是其本身； 向量組與其極大無關組是等價的。線性變換矩陣的合同：設AB是n階方陣，若存在一個n階可逆矩陣C，使得 則稱A與B是合同的，記作A B。例1．已知其中，則 ____________.測試點 維向量線性運算的定義和性質(zhì)解 因為,所以 故 (請驗算)答案 .例2設向量則由線性表出的表示式為_____________.測試點 向量由向量組線性表示。測試點 線性方程組解的性質(zhì)答案 2．關于非齊次方程組解的討論定理 個未知數(shù)，個方程的線性方程組中，（系數(shù)矩陣是階矩陣）1）當且僅當（未知數(shù)的個數(shù)）時，方程組有惟一解；2）當且僅當（未知數(shù)的個數(shù)）時，方程組有無窮多解；3）當且僅當時，方程組無解.從以上定理可見1）線性方程組有解的充分必要條件是.2）當線性方程組，方程的個數(shù)＝未知數(shù)的個數(shù)時，該方程組有惟一解的充分必要條件是系數(shù)行列式.例9已知某個3元非齊次線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為：，若方程組無解，則的取值為____________.測試點 ,則以為增廣矩陣的線性方程組與原方程組通解。 三．用正交變換化二次型為標準形1定理 對任意實二次型，總存在正交變換，使得該二次型化為標準型，其中為實對稱矩陣的n個特征值.此定理說明：對任意實對稱矩陣，總存在正交陣，使得其中為實對稱矩陣的n個特征值.（即實對稱矩陣必能與對角陣合同.2. 要掌握用正交變換化二次型為標準形（平方和）的方法.例3已知二次型，求一正交變換，將此二次型化為標準形．測試點 用正交變換將二次型化為標準形的方法步驟解 該二次型的矩陣為求矩陣的特征值和特征向量 ，令 得矩陣的特征值當 時，得齊次方程組的基礎解系為，這表明為矩陣的屬于特征值的兩個線性無關的特征向量.當時，得齊次方程組的基礎解系為，故為矩陣的屬于特征值的特征向量.將正交化，令單位化取 得正交陣，當時，原二次型化為標準形答案 ，當時，原二次型化為標準形四. 配方法化二次型為標準形（平方和）.，并寫出相應的線性變換。含幾個解向量。答案 C例18設三階矩陣,若存在初等矩陣,使得則 【 】A. B. C. D.測試點 矩陣的初等變換和用初等矩陣乘的關系答案 B 四、矩陣的階子式和矩陣秩的概念，求矩陣秩的方法1 矩陣的階子式的概念2 矩陣秩的概念 定義矩陣的秩為0，對于非零矩陣，如果有一個階子式不等于而所有的階子式（如果有的話），.3. 等價矩陣有相等的秩（初等變換不改變矩陣的秩）。定理：任何矩陣A都相似于一個約當形矩陣，即存在n階可逆矩陣。 秩:極大無關組中所含的向量個數(shù)。 推論：若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零； 推論：行列式中某一行（列）元素全為零，行列式為零。第4章 向量空間 向量的內(nèi)積 實向量定義：（α，β）=性質(zhì)：非負性、對稱性、線性性 (α,kβ)=k(α,β)。特別 當時，重要公式；； 與的關系2）重要結(jié)論：若n階方陣滿足，則都可逆，且.3）逆矩陣的性質(zhì)：。 證 設 因為 則 即 因為線性無關,故,所以只能.這表明若,知也線性無關,則可能的取值應滿足 .測試點 個維向量線性無關相應的行列式。5）設是矩陣屬于特征值的特征向量，則是矩陣屬于特征值的特征向量，其中.6)，且是矩陣的特征值.3．特征值、特征向量的求法例5設階矩陣有一個特征值為,對于階單位矩陣,矩陣必有一個特征值為 .解 ,則,因為有一個特征值為,故必有一個特征值為例6設為n階可逆矩陣，已知有一個特征值為，則必有一個特征值為_____________.測試點 若 為可逆矩陣的一個特征值，則為矩陣的特征值.解 因為有一個特征值為，故有一個特征值為,所以必有一個特征值為.答案 .例7 已知是n階矩陣，且滿足方程,證明的特征值只能是或.測試點 設為的特征值，.證 設為的特征值，則必為的特征值，又因為，故，二、相似矩陣 設都是階方陣，如果存在可逆陣使得，則稱與相似.2. 相似矩陣的性質(zhì)1)反身性，對稱性，傳遞性；2）若方陣與相似，則與有相同的特征值，（但不一定有相同的特征向量）進而，且,其中表示矩陣的跡，即,為方陣的n個特征值；注意：反之，若與有相同的特征值，與不一定相似；