【正文】 可見，引入了脈沖函數(shù)之后，對周期函數(shù)和非周期函數(shù)可以用相同的觀點和方法進行分析運算，這將給信號分析帶來了很大的方便。因此，函數(shù)愈光滑，其傅里葉級數(shù)的系數(shù)收斂得越快，反之，只要考慮某函數(shù)的傅里葉級數(shù)的系數(shù)的收斂快慢程度，就可以判斷該函數(shù)的光滑程度。 積分定理2 如果在區(qū)間上分段連續(xù)，其傅里葉級數(shù)為則 F （3）證明 （4）利用公式（2），得 （5）上式代入式（4），即得所證。 三角級數(shù)、三角函數(shù)及其正交性在物理學(xué)中，我們知道，簡諧振動是一種簡單的周期運動，而在簡諧振動中，一種標(biāo)準(zhǔn)而簡單的簡諧振動可由下面函數(shù)描述， （1）我們不難看出，更一般的簡諧振動 ，可通過適當(dāng)?shù)淖儞Q為（1），將無窮多個如（1）式那樣的簡諧振動疊加，便得到函數(shù)項級數(shù) （2）如果（2）式收斂到函數(shù),即 （3）則易見是周期為的函數(shù)，從的角度看，如果（3）式成立()，則我們便將更一般或更復(fù)雜的周期為的函數(shù)分解為簡單標(biāo)準(zhǔn)的簡諧振動的疊加，這對研究的各種性質(zhì)帶來了很大的方便。傅里葉級數(shù)對周期性現(xiàn)象做數(shù)學(xué)上的分析，而傅里葉變換則可以看作傅里葉級數(shù)的極限形式，它也可以看作是對周期現(xiàn)象進行數(shù)學(xué)上的分析。在電子類學(xué)科，物理學(xué)科，信號處理學(xué)科等眾多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。周期定義：（1） 滿足式（）的T值中的最小正數(shù)，即為該函數(shù)的周期；（2） 一個常數(shù)以任何正數(shù)為周期。于是由（1）與（2）式分別得 (3）與 , n=0,1,2… (4) , n=1,2…這里（4）式是以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)，（3）式是的傅里葉級數(shù). 收斂性定理 傅里葉級數(shù)的收斂準(zhǔn)則——狄利克雷（Dirichlet）定理若 （1）在上或者連續(xù)，或者只有有限個間斷點，在間斷處函數(shù)的左、右極限都存在； （2）在上只有有限個極大值點與極小值點； （3）在外是周期函數(shù)，其周期為2，則級數(shù) （1）證明===因為及所以 證畢例：試將鋸齒波在區(qū)間上展開為傅里葉級數(shù)。一般來說，微分使級數(shù)的收斂 程度降低。若掃描矩形波頻率為60Hz，則要求放大器的通頻帶度為600Hz就可以了。就要各奔前程，每個人收獲的果實不一樣，但母校潛移默化的影響，對母校深深的眷戀，卻將同樣長久地伴隨我們。一般來說，在10次諧波以后，就認為幅度已經(jīng)相當(dāng)小，可以略去不計。所以上面第一個例子微分后得一發(fā)散級數(shù)。現(xiàn)在對級數(shù)（14）逐項求積，有 =由三角函數(shù)的正交性，右邊除了以為系數(shù)的那一項積分外，其他各項積分都等于零，于是得出即同理，（12）式兩邊乘以，并逐項求積，可得一般的說，若是以為周期且在上可積分的函數(shù)，則按公式（13）計算出的和叫做函數(shù)的傅里葉級數(shù)，記作 這里的“~”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級數(shù)。傅里葉級數(shù)針對的是周期性函數(shù)，傅里葉變換針對的是非周期性函數(shù)，它們在本質(zhì)上都是一種把信號表示成復(fù)正選信號的疊加，存在相似的特性。傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。要想了解傅里葉變換算法的內(nèi)涵，首先要了解傅里葉原理的內(nèi)涵。為了數(shù)學(xué)推導(dǎo)和理論研究方便，我們將級數(shù)(2)作如下變形=令 則 =稱級數(shù)