【正文】 ， 即 DE ⊥ AC ； 【解答】 證明：如答圖 ， 連接 O D ． ∵ DE 是 ⊙ O 的切線 ， ∴ DE ⊥ OD ， 即 ∠ ODE ＝ 90176。 突破 重難點 1 切線的判定及相關(guān)計算 重點 例 1 如圖 ， 在 ⊙ O 中 ， AB 是 ⊙ O 的直徑 ， AE 是弦 ， OG ⊥AE 于點 G ， 交 ⊙ O 于點 D ， 連接 BD 交 AE 于點 F ， 延長 AE至點 C ， 連接 B C ． （ 1 ） 當(dāng) BC ＝ FC 時 ， 求證： BC 是 ⊙ O 的切線； 根據(jù)題意 ， 得出 ∠ D＋ ∠ GFD＝ ∠ OBD＋ ∠ FBC＝ 90176。 . ∵⊙ O 的直徑 AB ＝ 1 2 ， ∴ OB ＝ OD ＝ 6 ． 在 Rt △ POB 中 ， ∵∠ ABC ＝ 30176。 ， 當(dāng) F 是 AC︵ 的中點時 ， 判斷以 A ，O ， C ， F 為頂點的四邊形是什么特殊四邊形？說明理由． （ 1 ） 證明： 如答圖 ， 連接 O C ． ∵∠ OAC ＝ ∠ ACO ， PE ⊥ OE ， OC ⊥ CD ， ∴∠ APE ＝ ∠ PC D ． ∵∠ APE ＝ ∠ DPC ， ∴∠ DPC ＝ ∠ PC D ， ∴ DC ＝ DP . （ 2 ） 解： 以 A ， O ， C ， F 為頂點的四 邊形是菱形． 理由如下： 如答圖 ， 連接 AF ， OF ， OC ， BC ， ∵∠ CAB ＝ 30176。 ， ∴∠ B ＝ 60176。 ， ∴ OP ＝ OB ， 根據(jù)切線的判定得出即可； 思路點撥 【解答】 證明： ∵ OD ⊥ AE ， ∴∠ ODB ＋ ∠ GFD ＝ 90176。 . ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑 ， ∴ O 是 AB 的中點． 又 ∵ D 是 BC 的中點 ， ∴ OD ∥ A C ． ∴∠ DEC ＝ ∠ ODE ＝ 90176。 江西模擬 ） 如圖 ， 以 △ ABC 的一邊 AB 為直徑作 ⊙ O ， ⊙ O 與 BC邊的交點 D 恰好為 BC 的中點 ， 過點 D 作 ⊙ O 的切線交 AC 邊于點 E . ? （ 1）求證： DE⊥ AC； 思路點撥 連接 O D ． 根據(jù)三角形中位線定理判定 OD 是 △ ABC 的中位線 ， 則 OD ∥ AC ，所以 ∠ DEC ＝ ∠ ODE ＝ 90176。 ， ∴ DP ⊥ P C ． ∵ DP 經(jīng)過圓心 ， ∴ CP 是 ⊙ O 的切線． 答圖 3 重難點 ， 過點 P 作 PD ⊥ OP 交 ⊙ O 于點 D ． （ 1 ） 如圖 2 ， 當(dāng) PD ∥ AB 時 ， 求 PD 的長； （ 2 ） 如圖 3 ， 當(dāng) D C︵ ＝ AC︵ 時 ， 延長 AB 至點 E ， 使 BE ＝12AB ， 連接 DE . ① 求證： DE 是 ⊙ O 的切線； ② 求 PC 的長． 解： （ 1 ） 如答圖 1 ， 連接 OD ， ∵ OP ⊥ PD ， PD ∥ AB ， ∴∠ POB ＝ 90176。 江西 18 題 8 分 ） 如圖 ， AB 是 ⊙ O 的直徑 ， 點 P 是弦 AC 上一動點 （ 不與 A ， C 重合 ） ， 過點 P 作 PE ⊥ AB ， 垂足為 E ， 射線 EP 交 AC︵ 于點 F ， 交過點 C的切線于點 D ． （ 1 ） 求證： DC ＝ DP ； （ 2 ） 若 ∠ CAB ＝ 30176。 . ∵ OB ＝ OC ， ∴△ OBC 為等邊三角形 ， ∴∠ AOC ＝ 120176。 tan30176。 . ∵ BC ＝ FC ， ∴∠ BFC ＝ ∠ FBC ＝ ∠ GFD ， ∴∠ ODB ＋ ∠ FBC ＝ 90176。 .∴ DE ⊥ A C ． （ 2 ） 連接 OC 交 DE 于點 F ， 若 sin ∠ ABC ＝ 34 ， 求 OFFC 的值． 思路點撥 連接 A D ． 通過解直角三角形得到 sin ∠ ABC ＝ADAB＝34， 故設(shè) AD ＝ 3 x ， 則 AB ＝AC ＝ 4 x ， OD ＝ 2 x ；由 △ ADC ∽△ AED 的對應(yīng)邊成比例得到 AD2＝ AE ＝ 10 ， ∴ CF ＝ 102－ 52＝ 5 3 .