【正文】 （ 1） 2)3(0000111)3(111111111????????????????A ?當 時，且 30 ??? ?? 方程組有唯一解。239。(3)證明見 chp3。 解： ?)( EA??????????????100010001264211112???????????????102021010440330211~r r~?????????????????????????????????3810123133000110101~102123010440110211 r,? A 的行最簡陣?????????????000110101B ,而適合 PA=B 的 P= ???????????????3810123133 例 3 求 A=??????????? 012411210 的逆陣1?A 解： ? ??EA??????????? 100010001012411210????????????? 120001010830210411~r r~ ???????????????????????????????? 21123124112100010001~123001011200210201r? ?1?AE ?????????????????? ?21123 1241121A 。 對于 2B 再適當范圍初等列變換，得到的矩陣 F 稱為 B 的標準形，其特征是：左上角為單位陣，其全元素都為零。 可證：任何矩陣m a xm a x 000~ ??????? rEFA ，且 F 唯一 。 注：左式給出的是求逆陣的一般方法。(4) 證明見 chp4 注：（ 1）的特例，當 B=b 為非零列向量時，有 1)(),()( ??? ARbARAR (4)的推廣：若 ? ?mxnijaA?， ? ?nxsijbB?，則 nBRARABR ??? )()()( 例 4 設 n階方陣 A滿足 0232 ??? EAA ,證明： nEAREAR ???? )2()( （ *） 證：由 0)2)((23 ?????? EAEAEAA ,由性質（ 4）得 ： nEAREAR ???? )2()( （ 1） ,)2()( EEAEA ????? 由性質（ 2）得： n=R(E)=R[(AE)(A2E)] )2()( EAREAR ???? (2) 綜合（ 1）（ 2）知，（ *）式成立。11239。 （ 2）（ 3）當 時0?A ，方程組或無解或有無限多解 當 時，0?? 由 ? ? ??????????????????????000010000111~011131110111 rbAB 知， R(B)=2R(A)=1，此時方程組無解 當 時，3??? 由 ? ? ??????????????????????????????000021101101~321131210112 rbAB 知 ， R(B)= R(A)=23，此時方程有無限多解，且通解為： ????????????????????????????????????????????02111121321321cxxxcxcxcx或 ? ?Rc? 注：亦可直接將 ? ? ）解法行階梯陣（見 175~ PbAB r? ，由于 B 中含參數(shù) ? ，行變換并不方便。 解：原方程組解為 bxA ???， ?A 為方陣， ?（ 1）可用 Cramer 法則判定。1139。 (4)若 nBRARBA n x sm x n ??? )()(,0 則 (1),(2)證明參見 P6970。(2)取 B=E 時，提供了求方陣 A 逆陣一種方法： )(~)( 1?AEEA r 例 2（ P64 例 1）設???????????????264211112A ,求 A 的行最簡陣 B，并求一個可逆陣 P，使 PA=B。 可證：任何矩陣 maxA 都可經(jīng)過有限次初等行變換化成行階梯陣和行最簡陣，且 A 的行最簡陣是唯一確定的。 P78(2) 例 1 將???????????234554324321A 化成行最簡陣和標準形 解：1000032102101~000032104321~18126032104321~ AA rrr ??????????? ???????????????????????????? （行最簡陣）；??????????000000100001~~ 1 Cr AA (標準形 ) 對 E 進行一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣 。 設 A 為 n 階可逆 矩陣， B 為 nxm 矩陣， ??x為未知 nxm 矩陣，則由A??x=B BAx