同濟(jì)大學(xué)第六版工程數(shù)學(xué)線(xiàn)性代數(shù)(存儲(chǔ)版)
【正文】 50130221~520211231221312 r????????????23100210010221~r ????????????231024100010001~r ?????????????? ??231024x 例 5 設(shè)????????????321011324B ,解矩陣方程 BxxB ?? ???? 2 解：由 BxxB ?? ???? 2 ? ? BxEB ?????2， A=B2E，易知 0?A ，從而 A 可逆，??????????????????????????????? ???9122692683100010001~321011324121011322)1 rBABAx （又 ? ????????????????? ??9122692683x 。 (2) )()()( BRARBAR ??? 。 n 元線(xiàn)性方程 bxA ???（ *） (i) 無(wú)解 ? R（ B） R(A) (ii) 有唯一解 ? R（ B） =R(A) =n (iii) 有無(wú)限多解 ? R（ B） =R(A)=rn 證：只需證明（ i） ~（ iii）的充分性（“ ?”） 設(shè) R（ A） =r，對(duì) B=? ?bA 進(jìn)行一系列初等行變換，在允許調(diào)換未知量順序（必要時(shí)）的情況下，可如下行最簡(jiǎn)陣： ? ?rbAB ~?~139。 都不出現(xiàn)，于是 ~B 對(duì)應(yīng)方程組有唯一解： ),.2,1( nidx ii ??? ，故方程（ *）有唯一解。 )(*39。（參見(jiàn) P73 例 10） 例 2（ P75 例 13）設(shè) ? ?? ??????????????????????3213213211310)1(xxxxxxxxx 當(dāng)? 取何值，方程組（ 1）有唯一解 。 設(shè) AB=C，則 ? ?)(),(m in)( BRARCR ? 證 : 由 AB=C 知 ， 矩 陣 方 程 CxA ???有解)()()()()(, ARcARCRARcARBx ???????? 又 ? TTT CAB ? 由以上證明知 )()()()( BRBRCRCR TT ??? ? ?)(),(m in)( BRARCR ?? 例 4（ P80,20）設(shè) A為列滿(mǎn)秩矩陣， AB=C，證明線(xiàn)性方程組 0???xB與0???xC 同解。 例 3 問(wèn) a ,b 取何值時(shí)下面方程組 ? ?????????????????????????12323122043214324324321axxxxbxxaxxxxxxxx 有唯一解，無(wú)解或有無(wú)限多解？ 解： ? ??????????????????????????????????????01000101001221001111~112323101221001111abaababABr （ i） 當(dāng) 1?a 時(shí)， R(B)=R(A)=4=n,方程組有唯一解； （ ii） 當(dāng) a=1, 1?b 時(shí)， R(B)=3R(A)=2，方程組無(wú)解； （ iii） 當(dāng) a=1, 1?b 時(shí)， R(B)=R(A)=2n,方程組有無(wú)限多解。 注： （ ii）（ iii）證明過(guò)程同時(shí)提供了求解方法；對(duì)于（ iii） ,方程組（ *）的解也可用（“參數(shù)式”）表示（見(jiàn) P73 例 10） 例（ P74 例 12）求解 ?????????????????0895443313432143214221xxxxxxxxxxxx 解：??????????????????????????????????????000004147231045432301~089514431311311)(rbAB r(B)=r(A)=2n=4 ?方程組有無(wú)限多解。11139。00000000000100010001Bddaadaadaarrrnrrnrnr記??????????????????????????????????????????????????????? (i) 若 R（ B） R(A)，則 ~B 中的 11??rd ，于是 ~B 的第 r+1 行對(duì)應(yīng)方程為 0=1，矛盾，故方程組（ *）無(wú)解。這樣作得前提是已知方程組（ *）確定有解。(3)???????????????????00000340005213023012C 解：（ 1） R（ A） =2（列滿(mǎn)秩） （ 2）易驗(yàn)明：左上角 0110 21 ??，且 4 個(gè)三階子式均為 0， ?R（ B） =2（降序） （ 3） C為行階梯矩陣，易知 C的 5個(gè)四階子式均為 0，且 0400230312??? ，?R（ C） =3（非零行數(shù)） 顯見(jiàn)，行階梯矩陣的秩 =它的非零行數(shù)問(wèn)題是初等（行）變換是否改變矩陣的秩？回答是否定的， 若 A~B，則 R（ A） =R(B) 證明：略 （參見(jiàn) P67）
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