【正文】 0 Dn = 0 0 x ?a ??? ??? ??? 0 0 0 ??? a ??? 0 n?1 ? ? ? 0 =[x+(n?1)a](x?a) . ??? ??? 0 x?a an (a ?1)n an?1 (a ?1)n?1 (3) Dn+1 = ? ? ? ? ? ? a a ?1 1 1 解 ? ? ? (a ? n)n ? ? ? (a ? n)n?1 。 1 令 D=0, 得 181。 若 |A|=0, 由 (1)知 |A*|=0, 此時命題也成立 . 因此|A*|=|A|n?1. 成都大學詩葉子制作 32 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 設(shè) 求 解 由 AB=A+2E 可得 (A?2E)B=A, 故 ?1 設(shè) 且 AB+E=A2+B, 求 解 即 由 AB+E=A2+B 得 (A?E)B=A2?E, (A?E)B=(A?E)(A+E). 0 0 1 因為 | A ? E |= 0 1 0 = ?1≠ 0 , 所以 (A?E)可逆 , 從而 設(shè) A=diag(1, ?2, 1), A*BA=2BA?8E, 求 B. 解 由 A*BA=2BA?8E 得 (A*?2E)BA=?8E, B=?8(A*?2E)?1A?1 =?8[A(A*?2E)]?1 =?8(AA*?2A)?1 成都大學詩葉子制作 33 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 =?8(|A|E?2A)?1 =?8(?2E?2A)?1 =4(E+A)?1 =4[diag(2, ?1, 2)]?1 = 4diag( 1 , ?1, 1 ) 2 2 =2diag(1, ?2, 1). 已知矩陣 A 的伴隨陣 且 ABA?1=BA?1+3E, 求 B. 解 由 |A*|=|A|3=8, 得 |A|=2. 由 ABA?1=BA?1+3E 得 AB=B+3A, B=3(A?E)?1A=3[A(E?A?1)]?1A = 3(E ? 1 A*)?1 = 6(2E ? A*)?1 2 0 1 0 3 0 0 1 0 ?1 0 0 6 0 23. 設(shè) P?1AP=Λ, 其中 求 解 由 P?1AP=Λ, 得 A=PΛP?1, 所以 A11= A=PΛ11P?1. 成都大學詩葉子制作 34 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 而 11 11 故 設(shè) AP=PΛ, 其中 求 ?(A)=A8(5E?6A+A2). 解 ?(Λ)=Λ8(5E?6Λ+Λ2) =diag(1,1,58)[diag(5,5,5)?diag(?6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ?(A)=P?(Λ)P?1 = 1 P? = 設(shè)矩陣 A、 B 及 A+B 都可逆 , 證明 A?1+B?1 也可逆 , 并 成都大學詩葉子制作 35 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 求其逆陣 . 證明 因為 A?1(A+B)B?1=B?1+A?1=A?1+B?1, 而 A?1(A+B)B?1 是三個可逆矩陣的乘積 , 所以 A?1(A+B)B?1 可逆 , 即 A?1+B?1 可逆 . (A?1+B?1)?1=[A?1(A+B)B?1]?1=B(A+B)?1A. 計算 解 則 而 設(shè) ? 所以 即 成都大學詩葉子制作 36 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 27. 取 解 1 A B= 0 C D ?1 0 0 1 0 ?1 1 0 1 0 驗證 0 2 1= 0 0 ?1 1 0 0 2 0 ?1 0 0 1 0 0 0 = 2 0 1 0 =4, 0 0 20 1 1 而 故 | A| | B | 1 1 = =0 , |C | | D | 1 1 A B ≠ | A| | B | . C D |C | | D | 設(shè) 求 |A |及 解 則 故 令 A1 = 8 8 8 | A8 |=| A18 || A2 |=| A1 |8| A2 |8 =1016 . 29. 設(shè) n 階矩陣 A 及 s 階矩陣 B 都可逆 , 求 成都大學詩葉子制作 37 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 ?1 C C 解 設(shè) 則 ?1 由此得 ? 所以 ?1 ?1 D D 解 設(shè) 則 AD ?1 由此得 ? ?1 所以 30. 求下列矩陣的逆陣 : 成都大學詩葉子制作 38 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 則 解 設(shè) ?1 2 ?1 ?1 ?1 于是 2 1 0 0 0 0 3 1 0 0 8 5 ?1 解 設(shè) 則 成都大學詩葉子制作 39 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 第三章 矩陣的 初等變換與線性方程組 。 ? 181。、或依副對角線翻轉(zhuǎn) , 依次得 an1 ? ? ? ann D1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? , a11 ? ? ? a1n a1n ? ? ? ann ann ? ? ? a1n D2 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? , D3 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? , a11 ? ? ? an1 an1 ? ? ? a11 證明 D1 = D2 = (?1) 證明 n(n ?1) 2 D , D3=D . ??? ??? ??? ??? 因為 D=det(aij), 所以 a11 an1 ? ? ? ann D1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = (?1)n ?1 an1 ??? a11 ? ? ? a1n a21 a11 a21 n ?1 n ?2 = (?1) (?1) an1 ??? a31 ??? ??? ??? ??? ??? a1n ann ??? a2n a1n a2n ann = ? ? ? ??? a3n n(n ?1) 2 = (?1)1+ 2+? ? ?+(n ?2)+(n?1) D = (?1) D. 同理可證 D2 = (?1) n(n ?1) 2 a11 ? ? ? an1 n(n ?1) n(n ?1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? = (?1) 2 DT = (?1) 2 D . a1n ? ? ? ann 成都大學詩葉子制作 9 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學 線性代數(shù)第五版答案全集 D3 = (?1) n(n ?1) 2 D2 = (?1) n(n ?1) 2 (?1) n