【正文】 ｜＝０； (2) 1n???AA. 【證明】（ 1） 若 |A|=0，則必有 |A*|=0，因若 | A*|≠ 0，則有 A*( A*)?1=E,由此又得 A=AE=AA*( A*)?1=|A|( A*)?1=0, 這與 | A*|≠ 0 是矛盾的，故當(dāng) |A| =0，則必有 | A*|=0. (2) 由 A A*=|A|E，兩邊取行列式，得 |A|| A*|=|A|n, 若 |A|≠ 0，則 | A*|=|A|n?1 若 |A|=0,由 (1)知也有 | A*|=|A|n?1. 26. 設(shè) 5 2 0 0 3 2 0 02 1 0 0 4 5 0 00 0 7 3 0 0 4 10 0 5 2 0 0 6 2? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?A = , B. 求 (1) AB 。 (5) 1 2 0 02 5 0 00 0 2 30 0 5 8????????????。 (?B)=B2。 (3) (10)。1 2 1 0 5 21 2 1 1 0 1 2 1 1 2 3 0 1 40 1 2 3 0 1 2 3D? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?????? 12345 1 1 0 1 5 1 01 1 1 1 2 1 1 118 。 2178。 1)= 0+1+2 +… +(n?1)= ( 1)2nn? 。 36 。 (4) 332 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3 11( ) ( ) ( ) i j i jija x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? (5) 11 12 12 1321 22 22 2331 32 32 33a a a aa a a aa a a a?????????。 (AB?BA)′ =(AB)′ ?(BA)′ =B′ A′ ?A′ B′ = ?BA?A178。 (6) 12111naaa????????????. 15. 利用逆矩陣，解線性方程組 1 2 323121,2 2 1,2.x x xxxxx? ? ?????????? 【解】因 1231 1 1 10 2 2 11 1 0 2xxx??? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ???,而 1 1 1 00221 1 0?? 故 112311101 1 1 1 122.0 2 2 1 1 1 301221 1 0 2 21 1 1 2xxx?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? 16. 證明下列命題： (1) 若 A， B 是同階可逆矩陣，則（ AB） *=B*A*. (2) 若 A 可逆，則 A*可逆且（ A*） ?1=（ A?1） *. (3) 若 AA′ =E,則（ A*）′ =(A*)?1. 【證明】（ 1） 因?qū)θ我夥疥?c，均有 c*c=cc*=|c|E,而 A,B 均可逆且同階，故可得 |A|178。 (2)BA 。1 2 0 0 1 11 1 1 0 0 01 1 2 1 1 2( , , ) ,1 1 0 10 1 0 0 2abba? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?AB? ? ?? ? ? 而 R(A)=2,要使 R(A)=R(B)=2,需 a?2=0,即 a=2,又 1 2 3 30 1 1 2 1 2 0( , , , ) ,1 2 0 0 1 1 21 1 1 0 0 0 2aab b a? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?c ? ? ? ? 要使 3? 可由 1 2 3,? ? ? 線性表出，需 b?a+2=0,故 a=2,b=0 時滿足題設(shè)要求，即 3? =(2,2,0). 13. 設(shè) 12, , , n? ? ? 為一組 n 維向量 .證明： 12, , , n? ? ? 線性無關(guān)的充要條件是任一 n 維向量都可經(jīng)它們線性表出 . 【證明】 充分性 : 設(shè)任意 n 維向量都可由 12, , , n? ? ? 線性表示，則單位向量 12, , , n? ? ? ，當(dāng)然可由它線性表示，從而這兩組向量等價，且有相同的秩，所以向量組 12, , , n? ? ? 的秩為 n，因此線性無關(guān) . 必要性 ：設(shè) 12, , , n? ? ? 線性無關(guān)，任取一個 n 維向量 ? ,則 12, , , n? ? ? 線性相關(guān)，所以 ? 能由 12, , , n? ? ? 線性表示 . 14. 若向量組（ 1， 0， 0），（ 1， 1， 0），（ 1， 1， 1）可由向量組 α１ ,α２ ,α３ 線性表出，也可由向量組 β１ ,β２ ,β３ ,β４ 線性表出，則向量組 α１ ,α２ ,α３ 與向量組 β１ ,β２ ,β３ ,β４ 等價 . 證明： 由已知條件， 1 0 01 1 0 31 1 1R?????????，且 向量組（ 1， 0， 0），（ 1， 1， 0），（ 1， 1， 1）可由向量組 α１ ,α２ ,α３ 線性表出 ，即兩向量組等價，且 1 2 3( , , ) 3R ?? ? ? ， 又， 向量組（ 1， 0， 0），（ 1， 1， 0），（ 1， 1， 1） 可由向量組 β１ ,β２ ,β３ ,β４ 線性表出 ，即兩向量組等價，且 1 2 3 4( , , , ) 3R ?? ? ? ? ， 所以 向量組 α１ ,α２ ,α３ 與向量組 β１ ,β２ ,β３ ,β４ 等價 . 15. 略 .見教材習(xí)題參考答案 . 16. 設(shè)向量組 12, , , m? ? ? 與 12, , , s? ? ? 秩相同且 12, , , m? ? ? 能經(jīng) 12, , , s? ? ? 線性表出 .證明 12, , , m? ? ? 與 12, , , s? ? ? 等價 . 【解】設(shè)向量組 12, , , m? ? ? (1) 與向量組 12, , , s? ? ? (2) 的極大線性無關(guān)組分別為 12, , , r? ? ? (3) 和 12, , , r? ? ? (4) 由于（ 1）可由（ 2）線性表出，那么（ 1）也可由（ 4）線性表出，從而（ 3）可以由（ 4）線性表出，即 1 ( 1 , 2 , , ) .ri i j jj a i r?????? 因（ 4）線性無關(guān)，故（ 3）線性無關(guān)的充分必要條件是 |aij|≠ 0，可 由（ *）解出 ( 1, 2, , )j jr?? ,即（ 4）可由（ 3）線性表出，從而它們等價，再由它們分別同（ 1），（ 2）等價，所以（ 1）和（ 2）等價 . 17. 設(shè) A 為 m179。 s 矩陣 R(K)≤ r,∴ R(K)=r. (? )當(dāng) r=R(K)時，即 K 行無關(guān)， 由 B=KA=K(As,Ps179。 n 矩陣，故 s 階方陣 As 可逆 . (? )當(dāng) B=KA 行無關(guān)時， B 為 r179。,0 1 0250 0 1???? ????????????AA 12,AA的逆矩陣分別為 11121 0052 3。 (3) X= 11104??????。 (4) 1 0 0 01100221 1 102 6 31 5 1 18 24 12 4?????????????????。 B′ = ?B178。6 4 2 09 6 3 0????????????? (2) 531????????????。 試求 41 42AA? 與 43 44AA? ，其中 4jA 為行列式 4D 的第 4 行第 j 個元素的代數(shù)余子式 . 【解】 4 1 4 241 422 3 4 1 3 4( 1 ) ( 1 ) 3 9 1 2 .3 4 4 3 4 45 6 7 1 6 7AA ??? ? ? ? ? ? ? ? 同理 43 44 1 5 6 9 .AA? ? ? ? ? ? 12. 用克萊姆法則解方程組 . (1) 1 2 31 2 3 41 2 3 42 3 4 5 ,2 1 , 2 2 , 2 3 3.x x xx x x xx x x xx x x? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?? (2) 121 2 32 3 43 4 5455 6 1 , 5 6 0 , 5 6 0 , 5 6 0 , 5 1.xxx x xx x xx x xxx???? ? ? ???? ? ??? ? ? ?????? 【解】方程組的系數(shù)行列式為 1 1 1 0 1 1 1 0 1 3 1 1 3 12 1 1 1 0 1 3 1 18 0 。 (3) τ (n(n?1)… 3178。 (4) τ (13… (2n?1)(2n)(2n?2)… 2)=0+1+… +(n?1)+(n?1)+(n?2)+… +1+0=n(n?1). 2. 略 .見教材習(xí)題參考答案 . 3. 略 .見教材習(xí)題參考答案 . 4. 本行列式 45 1 2 3121 2 31 2 2xxxDxxx? 的展開式中包含 3x 和 4x 的項 . 解 ： 設(shè) 1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 4()4 1 2 3 4( 1 ) i i i i i i i ii i i iD a a a a???? ，其中 1 2 3 4, , ,i i i i 分別為不同列中對應(yīng)元素的行下標(biāo)，則 4D 展開式中含 3x 項有 ( 2134 ) ( 4231 ) 3 3 3( 1 ) 1 2 ( 1 ) 3 2 ( 3 ) 5x x x x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4D 展開式中含 4x 項有 ( 1234 ) 4( 1 ) 2 2 10x x x x x?? ? ? ? ? ?. 5. 用定義計算下列各行列式 . (1)0 2 0 00 0 1 03 0 0 00 0 0 4； (2)1 2 3 00 0 2 03 0 4 50 0 0 1. 【解】 (1) D=(?1)τ (2314)4!=24。2 2 1 1 1 2 1 13 1 2 3 0 3 2 31 1 5 0 1 1 1 52 1 1 1 2 1 1 136 。 (6) 1 2 5 20 1 2 40 0 4 30 0 0 9???????????. 2. 設(shè) 1 1 11111 1 1?????????A ，1 2 11 3 12 1 4??????????B ， 求 (1) 2?AB A 。 (?B)=AB?BA。 |B|178。 (3) 1?A ； (4)｜ A ｜ k (k 為正整數(shù) ). 【解】 (1)2 3 2 0 0 01 0 9 0 00 0 4 6 1 30 0 3 2 9????????A B = 。 n 矩陣， B 為 s179。 (n?s))=(KAs,KPs179。 (n?s)), 因為 A 為行無關(guān)的 s179。 （ 3）2 0 1 0 20 2 0 1 30 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1??????????. 【解】 (1