【正文】 葉子制作 27 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 解 ?1 ?1 利用逆矩陣解下列線性方程組 解 方程組可表示為 3 故 ?1 成都大學(xué)詩葉子制作 28 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性 代數(shù)第五版答案全集 從而有 解 方程組可表示為 故 ?1 故有 14. 設(shè) Ak=O (k 為正整數(shù) ), 證明 (E?A)?1=E+A+A2+? ? ?+Ak?1. 證明 所以 因?yàn)? Ak=O , 所以 E?Ak=E. 又因?yàn)? E?Ak=(E?A)(E+A+A2+? ? ?+Ak?1), (E?A)(E+A+A2+? ? ?+Ak?1)=E, (E?A)?1=E+A+A2+? ? ?+Ak?1. 由定理 2 推論知 (E?A)可逆 , 且 證明 一方面 , 有 E=(E?A)?1(E?A). 成都大學(xué)詩葉子制作 29 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 另一方面 , 由 Ak=O, 有 E=(E?A)+(A?A2)+A2?? ? ??Ak?1+(Ak?1?Ak) =(E+A+A2+ ? ? ? +A k?1)(E?A), 故 (E?A)?1(E?A)=(E+A+A2+ ? ? ?+Ak?1)(E?A), (E?A)?1(E?A)=E+A+A2+? ? ?+Ak?1. 15. 設(shè)方陣 A 滿足 A2?A?2E=O, 證明 A 及 A+2E 都可逆 , 并 求 A?1 及 (A+2E)?1. 證明 由 A2?A?2E=O 得 A2?A=2E, 即 A(A?E)=2E, 或 A ? 1 ( A ? E) = E , 2 兩端同時(shí)右乘 (E?A)?1, 就有 由定理 2 推論知 A 可逆 , 且 A?1 = 1 ( A ? E) . 2 由 A2?A?2E=O 得 A2?A?6E=?4E, 即 (A+2E)(A?3E)=?4E, 或 ( A + 2E) ? 1 (3E ? A) = E 4 由定理 2 推論知 (A+2E)可逆 , 且 ( A + 2E)?1 = 1 (3E ? A) . 4 證明 由 A2?A?2E=O 得 A2?A=2E, 兩端同時(shí)取行列式得 成都大學(xué)詩葉子制作 30 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 |A2?A|=2, 即 故 由 |A||A?E|=2, |A|≠0, A2?A?2E=O ? A(A?E)=2E ?A?1A(A?E)=2A?1E ? A?1 = 1 ( A ? E) , 2 又由 A2?A?2E=O ?(A+2E)A?3(A+2E)=?4E ? (A+2E)(A?3E)=?4 E, 所以 (A+2E)?1(A+2E)(A?3E)=?4(A+2 E)?1, ( A + 2E)?1 = 1 (3E ? A) . 4 16. 設(shè) A 為 3 階矩陣 , | A|= 1 , 求 |(2A)?1?5A*|. 2 解 因?yàn)? A?1 = 1 A* , 所以 | A| | (2 A)?1 ? 5 A*|=| 1 A?1 ? 5| A| A?1 | =| 1 A?1 ? 5 A?1 | 2 2 2 =|?2A?1|=(?2)3|A?1|=?8|A|?1=?82=?16. 所以 A 可逆 , 而 A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|2≠0, 故 A+2E 也可逆 . 17. 設(shè) 矩 陣 A 可 逆 , 證 明 其 伴 隨 陣 A* 也 可 逆 , 且 (A*)?1=(A?1)*. 證明 由 A?1 = 1 A* , 得 A*=|A|A?1, 所以當(dāng) A 可逆時(shí) , 有 | A| |A*|=|A|n|A?1|=|A|n?1≠0, 成都大學(xué)詩葉子制作 31 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 從而 A*也可逆 . 因?yàn)? A*=|A|A?1, 所以 (A*)?1=|A|?1A. 又 A = 1?1 ( A?1)*=| A| ( A?1) * , 所以 |A | (A*)?1=|A|?1A=|A|?1|A|(A?1)*=(A?1)*. 18. 設(shè) n 階矩陣 A 的伴隨矩陣為 A*, 證明 : (1)若 |A|=0, 則 |A*|=0。 1 令 D=0, 得 181。 取何值時(shí) , 齊次線性方程組 x2 + x3 = 0 有非 零解？ 解 系數(shù)行列式為 λ 1 1 D = 1 181。 x 成都大學(xué)詩葉子制作 10 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 解 將第一行乘 (?1)分別加到其余各行 , 得 x a a a? x x?a 0 Dn = a ? x 0 x ? a ??? ??? ??? a?x 0 0 ??? a ??? 0 ??? 0 , ??? ??? 0 x?a 再將各列都加到第一列上 , 得 x + (n ?1)a a a 0 x?a 0 Dn = 0 0 x ?a ??? ??? ??? 0 0 0 ??? a ??? 0 n?1 ? ? ? 0 =[x+(n?1)a](x?a) . ??? ??? 0 x?a an (a ?1)n an?1 (a ?1)n?1 (3) Dn+1 = ? ? ? ? ? ? a a ?1 1 1 解 ? ? ? (a ? n)n ? ? ? (a ? n)n?1 。 (c + 3)2 (d + 3)2 (a + 3)2 (b + 3)2 (c ?c , c ?c , c ?c 得 ) (c + 3)2 4 3 3 2 2 1 (d + 3)2 a2 b2 (3) 2 c d2 證明 a2 b2 c2 d2 (a +1)2 (b +1)2 (c +1)2 (d +1)2 (a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2 a2 2 = b2 c d2 a2 2 = b2 c d2 1 a (4) a 2 a4 1 b b2 b4 2a +1 2b +1 2c +1 2d +1 2a +1 2b +1 2c +1 2d +1 1 c c2 c4 1 d d2 d4 2a + 3 2b + 3 2c + 3 2d + 3 2 2 2 2 2a + 5 2b + 5 (c ?c , c ?c 得 ) 2c + 5 4 3 3 2 2d + 5 2 2 =0 . 2 2 =(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a+b+c+d)。 2 2 4 2 3 6 1 c4 ? c2 2 1 ===== 3 2 1 2 5 1 ?1 2 0 4 2 3 6 0 r4 ? r2 2 2 ===== 3 1 0 2 2 解 1 ?1 2 0 1 ?1 2 1 4 2 3 4 0 2 0 0 r4 ? r1 2 3 ===== 1 0 1 ?1 2 0 4 2 3 0 0 2 0 =0 . 0 成都大學(xué)詩葉子制作 4 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案 全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答 案全集 ? ab ac ae (3) bd ? cd de 。 (4)2 4 1 3。 c a b 解 a b c b c a c a b =acb+bac+cba?bbb?aaa?ccc =3abc?a3?b3?c3. 1 1 1 (3) a b c 。 ?1 8 3 解 2 0 1 1 ? 4 ?1 ?1 8 3 =2(?4)3+0(?1)(?1)+118 ?013?2(?1)8?1(?4)(?1) =?24+8+16?4=?4. a b c (2) b c a 。 (3)3 4 2 1。 0 7 解 4 1 10 0