同濟(jì)大學(xué)第六版工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)-文庫吧在線文庫
【正文】 表明：若 ? ?mxnijaA?，則 R（ A） =R（ B） =r（或?qū)?A 化成標(biāo)準(zhǔn)形亦可） 注： 的逆命題也成立（見 P79 11） 事實(shí)上，設(shè) R（ A） =R（ B） =r，則 ???????? 00 0~ rEA唯一 ，且 BAEB r ~00 0~ ?????????唯一 Coro, 若 ?可逆矩陣 P， Q 使 PAQ=B，則 R（ A） =R（ B） 注：此由 (iii)及上述 既知 例 2 （ P68 例 2）設(shè)??????????????????????6063324208421221A ， b=??????????????4321,求 A 與 ? ?bAB ,? 的秩，并求 B 的一個(gè)最高階非零子式。注意到：??? ???? nllnrn EPPA APPEAE ??111~ (P 為初等矩陣 )? ????????? BPPxAPPElln??11 ? ? ?????????xEBAr~ 。 .316211103110211103102010001))2(3( ??????????????????????????????????AE n 階方陣可逆 ? A 可表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積。 與之變換相對應(yīng)有三類初等矩陣： （ i ）ijjijiE???????????????????????????????????10111101),(???????????????。 二．初等變換與初等矩陣 下列三種變換稱為矩陣的初等變換 (i)互換某兩行（記作 ji rr? ） ； (ii)非零數(shù)乘某行（記作 kri? ）； (iii)將某行的 l 倍數(shù)加到另一行上（記作 ji lrr? ） 將 中的“行”換成“列”，即矩陣的初等列變換 定義（把“ r”換成“ c”） 初等行，列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。 (iii)傳遞性 :A~B,B~C? A~C 例如，引例 1 中B=????????????????????97963422644121121112?????????????????00000310000111041211~r??????????????????00000310003011040101~1rB記FBc 記記????????????????0000010000100001~2 形如 21 BB或 的矩陣稱為行階梯形矩陣，其特征是：可畫出一條階梯線，且線的下方全為零，以求解線性方程組的角度而言， 12 BB比 更簡， 2B 也稱為行最簡形矩陣，其特征是：非零行的第一個(gè)非零元為 1，且它們所在列餓其它元素都為零。,(), 11111 lijElijEkiEkiEjiEjiE ???? ???（（驗(yàn)明）。 下面給出求 P 的方法： 注意到， PA=B? ),(~),(),(),( PBEAPBEAPPPE BPA r?????? ?? 應(yīng)用（ 1）取 B 為 A 的行最簡陣 。 二， 矩陣的秩 （ Rank） 在一中曾指出， ? ? ????????? 00 0~ rm xnij EaA，這表明：數(shù) r 是 A 在初等（行）變換下一個(gè)不變量，由 A 唯一確定，它也可用另一方式描述。 (3) ? ?)(),(m in)( BRARABR ? 。139。 (iii) 若 R（ B） =R(A)=rn，則 ~B 中的 01??rd ， ~B 對應(yīng)方程組為 ??????????????????????nrnrrrrrnnrrnnrrxaxadxxaxadxxaxadx39。 中令自由未知量 ,11 rnnr cxcx ?? ?? ? 可得方程組（ *）的解： ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????0010011139。(2)無解（ 3）有無限多解？并在有解（ 3）時(shí)，求其通解。 證：已知條件 AB=C 記為 mxlnxlmxn CBA ? 設(shè)lxsxx?????是 0???xB的解，則由 ???????? ????? xAxBAxABxC mx l 00.)(亦是0???xC 的解。 若 A 非方陣或階數(shù)較高時(shí)，一般采用初等（行）變換。111?????????rrnnrnrrrnrr ddaacaacxxxx ),.2,1( rnici ?? ?? 可任意取值，故方程組（ *）有限多解。22139。1139。 例 5（ P70 例 9）證明：若 cBA nxsmxn ? 且 R(A)=n,則 R（ B） =R
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