同濟(jì)大學(xué)第六版工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)(更新版)
【正文】 21101101~321131210112 rbAB 知 ， R(B)= R(A)=23，此時(shí)方程有無限多解，且通解為： ????????????????????????????????????????????02111121321321cxxxcxcxcx或 ? ?Rc? 注：亦可直接將 ? ? ）解法行階梯陣（見 175~ PbAB r? ，由于 B 中含參數(shù) ? ，行變換并不方便。1139。11239。1139。(4) 證明見 chp4 注：（ 1）的特例，當(dāng) B=b 為非零列向量時(shí)，有 1)(),()( ??? ARbARAR (4)的推廣：若 ? ?mxnijaA?， ? ?nxsijbB?，則 nBRARABR ??? )()()( 例 4 設(shè) n階方陣 A滿足 0232 ??? EAA ,證明： nEAREAR ???? )2()( （ *） 證：由 0)2)((23 ?????? EAEAEAA ,由性質(zhì)（ 4）得 ： nEAREAR ???? )2()( （ 1） ,)2()( EEAEA ????? 由性質(zhì)（ 2）得： n=R(E)=R[(AE)(A2E)] )2()( EAREAR ???? (2) 綜合（ 1）（ 2）知，（ *）式成立。 (2)顯然 ? ?nmAR ,min)(0 ?? ； （ 3） R(A)是 A 中非零子式的最高階數(shù)；（ ?r+1 階以上子式全為 0） （ 4）若 A 中有一個(gè) r 階子式 0? ，則 rR? ；若 A 中所有 r 階子式 =0.則 rAR ?)( （ 5） )()( ARAR T ? (由 及行列式性質(zhì)知 ) 對(duì)于 ? ?mxnijaA?，當(dāng) R（ A） =m（ R（ A） =n）時(shí)，稱 A 為行（列）滿秩矩陣，特殊地，若 A 為 n階方陣，則 R（ A） =n? A 為滿秩矩陣? A 為可逆矩陣（ 0?A? ） 例 1 求下列矩陣的秩 (1) ???????????001021A 。 注：左式給出的是求逆陣的一般方法。 記 ? ? ? ?, 11 njinnji EA ???????? ?????? ?? 則 ? ? ? ?njiAjiAE ???? , 1 ???? =? ? ?nji AAAA ???? ,1 ??? ? ? Bnji 記????? ,1 ??? ，顯然 B恰好是 A 互換 i,j兩列后得到的矩陣。 可證：任何矩陣m a xm a x 000~ ??????? rEFA ，且 F 唯一 。一， 矩陣的初等變換與線性方程組 1. 矩陣的初等變換 一 . Gauss 滴元法 Gramer 法則僅適合方形的線性方程組，對(duì)于一般的 m 個(gè)方程 n 個(gè)未知量的線性方程組，可用 Gauss 消元法求解。 對(duì)于 2B 再適當(dāng)范圍初等列變換，得到的矩陣 F 稱為 B 的標(biāo)準(zhǔn)形，其特征是：左上角為單位陣，其全元素都為零。 證：僅證互換 A 的第 i列與第 j列，相當(dāng)于用 n 階 E（ i,j）右乘 A，其余變換類似可證。 解： ?)( EA??????????????100010001264211112???????????????102021010440330211~r r~?????????????????????????????????3810123133000110101~102123010440110211 r,? A 的行最簡(jiǎn)陣?????????????000110101B ,而適合 PA=B 的 P= ???????????????3810123133 例 3 求 A=??????????? 012411210 的逆陣1?A 解： ? ??EA??????????? 100010001012411210????????????? 120001010830210411~r r~ ???????????????????????????????? 21123124112100010001~123001011200210201r? ?1?AE ?????????????????? ?21123 1241121A 。 例如?????????????011030015431A ,010301531015332 ??????????? AA 設(shè) ? ?mxnijaA?，若存在一個(gè) r 階子式 0? ，且所有 r+1 階子式 =0，則稱階數(shù) r 為 A 的秩，記作 R rA? 注：（ 1）即是，當(dāng) A=0 時(shí)，則 0?A 。(3)證明見 chp3。1239。239。139。 （ 1） 2)3(0000111)3(111111111????????????????A ?當(dāng) 時(shí)，且 30 ??? ?? 方程組有唯一解。
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