同濟(jì)大學(xué)第六版工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)(完整版)
【正文】 (C) 證： ?R（ A） =n (列滿秩 ) mxnnr EA ????????? 0~ （行最簡陣），據(jù) P61 (i)知， m? 階可逆矩陣 P，使 PA= ???????????????????????????? 000 BBEP ABPCE nn 又 ?R（ C） =R（ PC） (見 Coro,取 Q=E)，則 )(0 BRB ????????? )()( BRCR ?? 注：特例，若 AB=0，且 A 為列滿秩矩陣，則 B=0. 三，線性方程組的解 對于一般的 m 個方程 n 個未知量的線性方程組； bxA ??? （ *）（其中 ? ?mxnijaA? ， ? ? ? ?TmTn bbbbxxxx , 212,1 ?? ???? 一中曾介紹用 Gauss 消元法（即對 B=? ?bA 進(jìn)行一系列初等行變換化成行最簡陣）進(jìn)行求解。(2) ???????????064212100321B 。 設(shè) A 為 n 階可逆 矩陣， B 為 nxm 矩陣， ??x為未知 nxm 矩陣，則由A??x=B BAx 1??? ??。 例如，對 A=???????????110211103 進(jìn)行初等行變換，第一行乘 2 加到第三行。 P78(2) 例 1 將???????????234554324321A 化成行最簡陣和標(biāo)準(zhǔn)形 解：1000032102101~000032104321~18126032104321~ AA rrr ??????????? ???????????????????????????? （行最簡陣）；??????????000000100001~~ 1 Cr AA (標(biāo)準(zhǔn)形 ) 對 E 進(jìn)行一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣 。 求解 ???????????????????????979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx （ 1） 解： （ 1） →???????????????????????14321432143214321979632322242xxxxxxxxxxxxxxxx → ???????????????????????1432432432432134336355042xxxxxxxxxxxxx→?????????????????00304244324321xxxxxxxx （ 2） 易知方程組（ 2）與（ 1）同解，而（ 2）的解為： ??????????????3344321xcxcxcx ? ?Rc? 或??????????????????334cccx =??????????????0111c +???????????????3034 注：（ 1）上述滴元法求解過程中，對方程組（ 1）進(jìn)行了三種變換； ① 變換兩個方程的次序 ② 用非零的數(shù)乘某個方程兩邊 ③ 將某個方程的倍數(shù)加到另一個方程 （ 2）由于上述三種變換均是可逆的，故變換前后對應(yīng)的方程組同解 ?（ 2）的解即是（ 1）的解 （ 3）上 述變換只與方程組（ 1）的增廣矩陣 ? ?bAB? 有關(guān)，而與未知量符號無關(guān)。 可證：任何矩陣 maxA 都可經(jīng)過有限次初等行變換化成行階梯陣和行最簡陣，且 A 的行最簡陣是唯一確定的。 Th1 設(shè) max)( ijaA? ，則對 A 進(jìn)行的一次初等行（列）變換，相當(dāng)于在 A 的左邊（右邊）乘上一個相應(yīng)的 m 階（ n 階）初等矩陣。(2)取 B=E 時，提供了求方陣 A 逆陣一種方法： )(~)( 1?AEEA r 例 2（ P64 例 1）設(shè)???????????????264211112A ,求 A 的行最簡陣 B，并求一個可逆陣 P，使 PA=B。 設(shè) ? ?mxnijaA?,以 A 中任取 k 行 k 列 ? ?? ?nmk ,min? ，位于這些行，列交叉處得元素保持 順序構(gòu)成的 K 階行列式，稱為 A的一個 K 階子式 (易知，共有 knkmCC 個 )。 (4)若 nBRARBA n x sm x n ??? )()(,0 則 (1),(2)證明參見 P6970。2239。1139。139。 解：原方程組解為 bxA ???， ?A 為方陣， ?（ 1）可用 Cramer 法則判定。 反之，設(shè)lxsxx?????是 0???xC的解，則 0)( ??? ?????? xCxBAxAB 又 ? A 為列滿秩矩陣， ? 0???xB（見 P71） ???x亦是 0???xB的解。 （ 2）（ 3）當(dāng) 時0?A ，方程組或無解或有無限多解 當(dāng) 時，0?? 由 ? ? ??????????????????????000010000111~011131110111 rbAB 知， R(B)=2R(A)=1，此時方程組無解 當(dāng) 時，3??? 由 ? ? ??????????????????????????????0000
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