【正文】 也出現了基于擴展的經典頻率的方法開發(fā)而來的多變量頻域理論。 對于能控性的定義，說明幾點： (1)初始狀態(tài) )(0tx 是狀態(tài)空間中任意的非零有限點，控制目標是狀態(tài)空間坐標原點 (原點能控性 )。 (3)能觀測性表示的是輸出 ()yt 反映狀態(tài) ()xt 的能力 ,與控制作用沒有直接的關系，所以在分析能觀測性時，不 妨設 () 0ut? ，只需從齊次狀態(tài)方程和輸出方程出發(fā)進行分析?？煽刂?性的判別規(guī)則最常用的有三種： 通過判定矩陣來判斷能控性。此狀態(tài)可確定哪個狀態(tài)不可控。傳遞 函數 是描繪 線性系統(tǒng) 動態(tài)特點的常用工具， 最初產生的控制理論 經常使用的研究方式是響應 頻率法和 根軌跡方法 ，它們都以傳遞函數為知識基礎。拉普拉斯變換是 線性變換 ，它能使一個有引數實數 t （ 0t? ）的函數變換成引數為復數 s 的函數。 它的功能是主要是轉換，它是以使計算簡單為目的的，主要是真實變量和復雜的 變量間變換功能。 與能控性對應，能觀測性也有三種判斷規(guī)則： 利用能觀測性的判定矩陣來判斷。此外 ,約當陣都包含約當塊，有幾個特征向量就有幾個約當塊，因為每一個特征向量都有對應的約當塊。在這里介紹一下頻域的基本概念。 在現代的控制論中，線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法， 約當陣 是一個重要的標準，是不可對角化的矩陣。 利用對角約當規(guī)范型來判斷。如果是在 [0,+∞ )積分，稱為單側拉普拉斯變換，用 ()Fs表示，它是一個復變函數。 拉普拉斯變換方法計算出結果的線性微分方程是非常明顯的，因為它可以將微分方程化為代數方程， 所以計算很簡單。所以可以先將整體分為幾個部分，先求出每個部分自己的傳遞函數，再通過一定的邏輯性將這些傳遞函數組合起來就是我們要求的整體的傳遞函數。狀態(tài)輸入型的傳遞函數： （ SIA） 1B無零極點相消現象，它是完全可控的。如果 B 的秩為 r ，可控性矩陣 Qk=[B AB A2B … An rB]。 二、能控性與能觀 測性的判定 線性的系統(tǒng)最基本的結構特征是能控性與能觀測性，它們表示的是系統(tǒng)的輸入輸出與系統(tǒng)內在狀態(tài)量之間的聯系。在這里簡單介紹一下非奇異矩陣。為了使研究的問題更透徹，接下來重點介紹一下能控性和能觀測性。狀態(tài)的空間方法的一個最主要的特征是：通過描述狀態(tài)的內部空間的方法代替以前的使用傳遞函數的方法描述外部的輸入和輸出系統(tǒng)，并且通過在時間區(qū)域內對整個系統(tǒng)進行探討和整合。 同樣地，為了更好地研究本問題，對本問題中涉及到的控制學中概念做一些簡單介紹。 4 矩陣函數的應用 矩陣函數理論 對于 矩陣理論 意義重大 。 由于本文是矩陣函數及其應用的研究，因此本文主要對矩陣的初等變換進行闡述，對另外兩種初等變換不作詳細介紹。 設 n 階方陣 A 的不變因子反向依次為 11( ), ( ), , ( )nnd d d? ? ?? ，由他們給出的初等因子分別為 1 2 11 2 1( ) , ( ) , , ( ) , ( ) , , ( ) ,srr mm m m mr r s? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?其中1sii mn? ??。 利用 Jordan 標準形法求矩陣函數 設矩陣 nnAC?? 的 Jordan 標準形為 J ，即 AJ,則必存在可逆矩陣 P ，使 1J P AP?? 從而由矩陣函數的性質 4可知 ? ? ? ?1f J P f A P?? 所以求 ? ?fA可以通過以下 3個步驟來計算： 第一步，先求出 A 的 Jordan 標準形 J ，接著求相似的變換矩陣 P ，使得 1A PJP?? ； 第二步，計算 ()fJ 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設計 16 12()()()()kfJfJfJfJ???????， 其中( 1 )( 2 )( ) ( )( ) ( )2 ! ( 1 ) !()() 0 ( ) ( )( 2) !0 0 0 ( )iiniiiiinii iiiiffffnffJ ffnf??????????? ?? ???????????? 第三步，利用 ? ? ? ?1f J P f A P?? 求出 ? ? ? ?1f A P f J P?? 該方法的關鍵在于如何求 Jordan標準形 J，這里簡單描述了怎么用初等因子法求 Jordan標準形 J: 文獻 [ 10 ]中有基本因素不變因子的定理和定義，有如下摘錄： 定義 3 標準形的主對角線上非零元素 ? ? ? ? ? ? ? ?12, , , rd d d A? ? ? ? ??… 稱 為 矩 陣的不變因子。任何一種線性變換都能用矩陣表示，并且它更容易計算，就算有很多線性變換只要正確地使用矩陣乘法就能夠將它們連接起來。設 ,AB都是 n 階矩陣，如果存在 n 階可逆矩陣 P 使 1B P AP?? ,則稱矩陣 A 與矩陣 B 相似，記作 。 2） *具有 封閉性 ，就是對于任意的a∈ R,b∈ R， 總是 有 a*b∈ R。假如一個 矩陣 是可逆的，可以得到它的伴隨矩陣和它的逆矩陣之間是一種倍數的關系。本文主要研究了最有代表性四種方法．四種方法是不同的，這涉及到微分方程的求解、 Jordan 標準化形式、特征多項式等一些知識。 (2)? ? 1AAee? ?? ； (3) A trAee? 證 （ 1）顯然滿足矩陣加法的交換律，所以我們只需要證明 A B A Be e e ?? .根據現有的矩陣指數函數表達式有： 22112 ! 2 !ABe e I A A I B B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?… … ? ? ? ? ? ?2 2 3 2 2 311 332 ! 3 !I A B A A B B A B A A B A B B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ?23112 ! 3 !I A B A B A B? ? ? ? ? ? ? ? … ABe?? (2)在（ 1）中令 B=A,則得 AAe e I? ? ,所以 ? ? 1AAee? ?? (3) 設 A的 特 征 值為 1 2 n? ? ?， ， … ， ，則 Ae 的特征值為 12, ne e e???… ， ，因此1 2 n 1 2 n+ + +==A t r Ae e e e e e? ? ? ? ? ?? …… 推論 0A A A Ae e e e e I??? ? ?， 1()AAee??? ， ()A m mAee? (m 是整數 )。 性質 10：設 A 是反對稱矩陣，函數 ??fz在 ? ?A? 上有定義，且為奇函數，則 ? ?fA是反對稱矩陣。 然后引入天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設計 5 線性無關的概念。假如 ? ?A? 表示 A 的譜半徑，即 ? ? ? ?m a xAA? ? ?? ?? 是 的 特 征 值。 它是研 究線性泛函的一個重要目標。z 是 z 的轉置，稱為 M 正定矩陣。研究函數經常會用到級數，它不管在理論上還是實際中都有很多用途，原因主要有一下兩個方面：一、許多經常用到的非 初等函數 可以用 級數表示，級數還可以表示 微分方程 的解；二、函數可以用來表示級數，也能用級數去探討函數的性質。對 V 里的元素定義代數類運算，叫作加法；就是給出一種規(guī)則，使 V 中任意兩個元素 x 和 y ，都能在 V 中找到唯一的一個 z 和它匹配，其中天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設計 3 z 是 x 與 y 的和，記為 z x y?? 。文章的第二部分，總結了矩陣函數的概念、性質、推論，介紹了若干重要的矩陣函數。 另 外 一個 在實際操作中很有意義的作用 是 代表 線性變換，即是 像 f(x)、 4x之類的 關于 線性函數的 推論 。除此之外，英國數學家凱萊（ Cayley） 也 給出了方陣的特征根（特征值） ，還有其他許多結論。這些我們現在能看到的關于矩陣的一切都是由無數數學家的摸索得來的。但是當時我們能知道的矩陣知識非常的少，雖然過去的標準和現在的矩陣在表示上已經非常的類似了，但這兩者都是以線性方程為基本標準。 在計算的過程中經常使用矩陣的初等變換進行 消元，具體說就是通過一些計算技巧將前面給出的增廣矩陣化為行最簡型。 矩陣都有自身的行和列，水平的稱之為行，豎直的稱之為列。 本文定義了矩陣相等、矩陣的算法、矩陣的轉置和基本概念，如矩陣的逆矩陣的加法，給出了系列，互換性和約束力。 矩陣最大的用途就 是在實踐中 解 用常規(guī)方法難以求解的 方程 。在文章的第一部分，總結了矩陣函數所必須的基礎知識，主要包括代數學多項式理論、行列式與矩陣等方面的一些結論以及數學分析中冪級數的若干法則。如果 V 是非空的集合， P 是數域。如果當 n?? 時， 數列 極限 nS 有 S ，級數就是收斂的，否則就是發(fā)散的。 0zMz? ， 39。 線性算子 線性算子， 有數學運算各領域的 線性性質（如線性變換，線性代數理論的微分方程，積分方程理論，微分，積分，積分變換）的抽象概括。下面通過數學式子將其表示出來。對角線上的元素可以 是 0或 任何 其他值。 證 由 ??fz為實函數， A是實對稱矩陣，根據性質 8知， ? ?fA是實對稱矩陣，又因為? ?fA的特征值為 ? ? ? ?0 1, 2 , ,if i n? ?? …，其中 ? ?1, 2, ,i in? ? … 是 A 的特征值，所以 ? ?fA是正定矩陣。 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設計 8 矩陣指數函數 Ae 的基本性質： (1)若 AB BA? ，則 A B B A A Be e e e e ???。矩陣 函數的計算方法雖然多種多樣，但是想通過定義求解矩陣函數的過程很困難。 根據線性代數的知識體系，任何一個方陣的伴隨矩陣其實是一個和矩陣 逆矩陣 相似的概念。對于非空集合 R，如果定義了兩種代數 運算 +和 *（不一定就是代數中加法與乘法的含義），并且滿足下面的條件： 1）集合 R 在運算 +下能組成 阿貝爾群 （ Abel）。為了告訴概念清晰的對角化矩陣，首先簡要說明相似矩陣的概念。如果 T 是能將 nR映射到 mR 的一個線性變換， 并且 x 是 有 n 個元素的 列向量 ，那么我們就可以將 m n 的矩天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設計 14 陣 A ，叫作 T 的變換矩陣。則 ? ?? ?? ?? ?1122mmmmssfAAfAAf A AfAA????????? ? ????? ?? (2矩陣函數為矩陣多項式 ? ? 20 1 2 + nnf A a I a A a A a A? ? ? ? … 因為 ? ?fA是幾個矩陣指數函數的線性組合，它仍然可以作為（ 1）中的計算方法。初等因子，不變因子的概念見引用文獻 [10]中的定義 3，定義 4，這里不再介紹。三個方面的初等變換大同小異。第一，第三和第四種方法中使用的數學原理和方法比較多，明顯地比第二種方法計算量少，它們的計 算過程相對簡單，但要明白為什么要這么做，還需要清楚地理解里面運用的一些定理和方法。因此，現代控制理論中的矩陣理論和矩陣函數的知識具有重要作用。 在 20世紀 60年代左右，關于線性系統(tǒng)的理論經歷了從最開始的古典階段到現代階段的重要時期，其中最具代表性的事是卡爾曼第一次完整地在系統(tǒng)和控制的理論中引進了狀態(tài)空間的方 法。就在此時，由于計算機技術的飛速發(fā)展和完善，對于線性系統(tǒng)中的研究和整合中出現的的計算難題，以及使用計算機對線性的體 系進行輔助性的剖析和輔助性的設計，也都得到了廣泛和充分的研究。 (2)如果在 [0t ， 1t ]內，能找到控制 ()ut 使系統(tǒng)從狀態(tài)空間原點推向預先指定的狀態(tài)1()xt ，則稱為狀態(tài)能達性；因為任何連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉移形成的都是非奇異的矩陣，所以能說某種程度上系統(tǒng)能達性就是系統(tǒng)的能控 性。那么線性定常系統(tǒng)就變?yōu)? 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設計 23 （ 4）若系統(tǒng)存在確定性干擾信號 )(tf ，即 )(tfBuAxx ???? Cxy ? 因為 )0(x 與 )(tu 、 )(tf 獨立， 因此在系統(tǒng)的可觀測性研究是不考慮 )(tf 的影響?？煽匦跃仃?Qk=[B AB A2B … An 1B]滿秩。 利用傳遞函數來判斷。系統(tǒng)的律的微分方程是對應的。在 許多情況下，一個實變量函數在實數域中運算難度很大，但是對于一個拉普拉斯實變函數的變換，它能在復數領域內進行各種各樣的數學操作，最后對前面求得的計算結果作一次拉氏反變換，就能最終求出它在實數領域的結果，這種方法在運算上和直接求解相比，方便很多。 對于復參數 s ， 函數()( )* stf t e? 于 （ ∞ ， +∞ ） 的積分，稱為函數 ()ft 的（雙邊） 拉普拉斯變換 ，簡稱拉氏變換。????????????????1::ngCACACQ 滿秩。當方陣 A 是能對角化的矩陣時，這時約當陣就是對角化矩陣。頻域是坐標系的一種，它是表示 信號