【正文】 也出現(xiàn)了基于擴展的經(jīng)典頻率的方法開發(fā)而來的多變量頻域理論。 對于能控性的定義，說明幾點： (1)初始狀態(tài) )(0tx 是狀態(tài)空間中任意的非零有限點，控制目標是狀態(tài)空間坐標原點 (原點能控性 )。 (3)能觀測性表示的是輸出 ()yt 反映狀態(tài) ()xt 的能力 ,與控制作用沒有直接的關(guān)系，所以在分析能觀測性時，不 妨設(shè) () 0ut? ，只需從齊次狀態(tài)方程和輸出方程出發(fā)進行分析?？煽刂?性的判別規(guī)則最常用的有三種： 通過判定矩陣來判斷能控性。此狀態(tài)可確定哪個狀態(tài)不可控。傳遞 函數(shù) 是描繪 線性系統(tǒng) 動態(tài)特點的常用工具， 最初產(chǎn)生的控制理論 經(jīng)常使用的研究方式是響應(yīng) 頻率法和 根軌跡方法 ，它們都以傳遞函數(shù)為知識基礎(chǔ)。拉普拉斯變換是 線性變換 ，它能使一個有引數(shù)實數(shù) t （ 0t? ）的函數(shù)變換成引數(shù)為復(fù)數(shù) s 的函數(shù)。 它的功能是主要是轉(zhuǎn)換，它是以使計算簡單為目的的，主要是真實變量和復(fù)雜的 變量間變換功能。 與能控性對應(yīng)，能觀測性也有三種判斷規(guī)則： 利用能觀測性的判定矩陣來判斷。此外 ,約當陣都包含約當塊，有幾個特征向量就有幾個約當塊，因為每一個特征向量都有對應(yīng)的約當塊。在這里介紹一下頻域的基本概念。 在現(xiàn)代的控制論中，線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法， 約當陣 是一個重要的標準，是不可對角化的矩陣。 利用對角約當規(guī)范型來判斷。如果是在 [0,+∞ )積分，稱為單側(cè)拉普拉斯變換，用 ()Fs表示，它是一個復(fù)變函數(shù)。 拉普拉斯變換方法計算出結(jié)果的線性微分方程是非常明顯的，因為它可以將微分方程化為代數(shù)方程， 所以計算很簡單。所以可以先將整體分為幾個部分，先求出每個部分自己的傳遞函數(shù)，再通過一定的邏輯性將這些傳遞函數(shù)組合起來就是我們要求的整體的傳遞函數(shù)。狀態(tài)輸入型的傳遞函數(shù)： （ SIA） 1B無零極點相消現(xiàn)象，它是完全可控的。如果 B 的秩為 r ，可控性矩陣 Qk=[B AB A2B … An rB]。 二、能控性與能觀 測性的判定 線性的系統(tǒng)最基本的結(jié)構(gòu)特征是能控性與能觀測性，它們表示的是系統(tǒng)的輸入輸出與系統(tǒng)內(nèi)在狀態(tài)量之間的聯(lián)系。在這里簡單介紹一下非奇異矩陣。為了使研究的問題更透徹，接下來重點介紹一下能控性和能觀測性。狀態(tài)的空間方法的一個最主要的特征是：通過描述狀態(tài)的內(nèi)部空間的方法代替以前的使用傳遞函數(shù)的方法描述外部的輸入和輸出系統(tǒng)，并且通過在時間區(qū)域內(nèi)對整個系統(tǒng)進行探討和整合。 同樣地，為了更好地研究本問題，對本問題中涉及到的控制學中概念做一些簡單介紹。 4 矩陣函數(shù)的應(yīng)用 矩陣函數(shù)理論 對于 矩陣理論 意義重大 。 由于本文是矩陣函數(shù)及其應(yīng)用的研究，因此本文主要對矩陣的初等變換進行闡述，對另外兩種初等變換不作詳細介紹。 設(shè) n 階方陣 A 的不變因子反向依次為 11( ), ( ), , ( )nnd d d? ? ?? ，由他們給出的初等因子分別為 1 2 11 2 1( ) , ( ) , , ( ) , ( ) , , ( ) ,srr mm m m mr r s? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?其中1sii mn? ??。 利用 Jordan 標準形法求矩陣函數(shù) 設(shè)矩陣 nnAC?? 的 Jordan 標準形為 J ，即 AJ,則必存在可逆矩陣 P ，使 1J P AP?? 從而由矩陣函數(shù)的性質(zhì) 4可知 ? ? ? ?1f J P f A P?? 所以求 ? ?fA可以通過以下 3個步驟來計算： 第一步，先求出 A 的 Jordan 標準形 J ，接著求相似的變換矩陣 P ，使得 1A PJP?? ； 第二步，計算 ()fJ 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 16 12()()()()kfJfJfJfJ???????， 其中( 1 )( 2 )( ) ( )( ) ( )2 ! ( 1 ) !()() 0 ( ) ( )( 2) !0 0 0 ( )iiniiiiinii iiiiffffnffJ ffnf??????????? ?? ???????????? 第三步，利用 ? ? ? ?1f J P f A P?? 求出 ? ? ? ?1f A P f J P?? 該方法的關(guān)鍵在于如何求 Jordan標準形 J，這里簡單描述了怎么用初等因子法求 Jordan標準形 J: 文獻 [ 10 ]中有基本因素不變因子的定理和定義，有如下摘錄： 定義 3 標準形的主對角線上非零元素 ? ? ? ? ? ? ? ?12, , , rd d d A? ? ? ? ??… 稱 為 矩 陣的不變因子。任何一種線性變換都能用矩陣表示，并且它更容易計算，就算有很多線性變換只要正確地使用矩陣乘法就能夠?qū)⑺鼈冞B接起來。設(shè) ,AB都是 n 階矩陣，如果存在 n 階可逆矩陣 P 使 1B P AP?? ,則稱矩陣 A 與矩陣 B 相似，記作 。 2） *具有 封閉性 ，就是對于任意的a∈ R,b∈ R， 總是 有 a*b∈ R。假如一個 矩陣 是可逆的，可以得到它的伴隨矩陣和它的逆矩陣之間是一種倍數(shù)的關(guān)系。本文主要研究了最有代表性四種方法．四種方法是不同的，這涉及到微分方程的求解、 Jordan 標準化形式、特征多項式等一些知識。 (2)? ? 1AAee? ?? ； (3) A trAee? 證 （ 1）顯然滿足矩陣加法的交換律，所以我們只需要證明 A B A Be e e ?? .根據(jù)現(xiàn)有的矩陣指數(shù)函數(shù)表達式有： 22112 ! 2 !ABe e I A A I B B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?… … ? ? ? ? ? ?2 2 3 2 2 311 332 ! 3 !I A B A A B B A B A A B A B B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ?23112 ! 3 !I A B A B A B? ? ? ? ? ? ? ? … ABe?? (2)在（ 1）中令 B=A,則得 AAe e I? ? ,所以 ? ? 1AAee? ?? (3) 設(shè) A的 特 征 值為 1 2 n? ? ?， ， … ， ，則 Ae 的特征值為 12, ne e e???… ， ，因此1 2 n 1 2 n+ + +==A t r Ae e e e e e? ? ? ? ? ?? …… 推論 0A A A Ae e e e e I??? ? ?， 1()AAee??? ， ()A m mAee? (m 是整數(shù) )。 性質(zhì) 10：設(shè) A 是反對稱矩陣，函數(shù) ??fz在 ? ?A? 上有定義，且為奇函數(shù)，則 ? ?fA是反對稱矩陣。 然后引入天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 5 線性無關(guān)的概念。假如 ? ?A? 表示 A 的譜半徑，即 ? ? ? ?m a xAA? ? ?? ?? 是 的 特 征 值。 它是研 究線性泛函的一個重要目標。z 是 z 的轉(zhuǎn)置，稱為 M 正定矩陣。研究函數(shù)經(jīng)常會用到級數(shù)，它不管在理論上還是實際中都有很多用途，原因主要有一下兩個方面：一、許多經(jīng)常用到的非 初等函數(shù) 可以用 級數(shù)表示，級數(shù)還可以表示 微分方程 的解；二、函數(shù)可以用來表示級數(shù)，也能用級數(shù)去探討函數(shù)的性質(zhì)。對 V 里的元素定義代數(shù)類運算，叫作加法；就是給出一種規(guī)則，使 V 中任意兩個元素 x 和 y ，都能在 V 中找到唯一的一個 z 和它匹配，其中天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 3 z 是 x 與 y 的和，記為 z x y?? 。文章的第二部分，總結(jié)了矩陣函數(shù)的概念、性質(zhì)、推論，介紹了若干重要的矩陣函數(shù)。 另 外 一個 在實際操作中很有意義的作用 是 代表 線性變換，即是 像 f(x)、 4x之類的 關(guān)于 線性函數(shù)的 推論 。除此之外，英國數(shù)學家凱萊（ Cayley） 也 給出了方陣的特征根（特征值） ，還有其他許多結(jié)論。這些我們現(xiàn)在能看到的關(guān)于矩陣的一切都是由無數(shù)數(shù)學家的摸索得來的。但是當時我們能知道的矩陣知識非常的少，雖然過去的標準和現(xiàn)在的矩陣在表示上已經(jīng)非常的類似了，但這兩者都是以線性方程為基本標準。 在計算的過程中經(jīng)常使用矩陣的初等變換進行 消元，具體說就是通過一些計算技巧將前面給出的增廣矩陣化為行最簡型。 矩陣都有自身的行和列，水平的稱之為行，豎直的稱之為列。 本文定義了矩陣相等、矩陣的算法、矩陣的轉(zhuǎn)置和基本概念，如矩陣的逆矩陣的加法，給出了系列，互換性和約束力。 矩陣最大的用途就 是在實踐中 解 用常規(guī)方法難以求解的 方程 。在文章的第一部分，總結(jié)了矩陣函數(shù)所必須的基礎(chǔ)知識，主要包括代數(shù)學多項式理論、行列式與矩陣等方面的一些結(jié)論以及數(shù)學分析中冪級數(shù)的若干法則。如果 V 是非空的集合， P 是數(shù)域。如果當 n?? 時， 數(shù)列 極限 nS 有 S ，級數(shù)就是收斂的，否則就是發(fā)散的。 0zMz? ， 39。 線性算子 線性算子， 有數(shù)學運算各領(lǐng)域的 線性性質(zhì)（如線性變換，線性代數(shù)理論的微分方程，積分方程理論，微分，積分，積分變換）的抽象概括。下面通過數(shù)學式子將其表示出來。對角線上的元素可以 是 0或 任何 其他值。 證 由 ??fz為實函數(shù)， A是實對稱矩陣，根據(jù)性質(zhì) 8知， ? ?fA是實對稱矩陣，又因為? ?fA的特征值為 ? ? ? ?0 1, 2 , ,if i n? ?? …，其中 ? ?1, 2, ,i in? ? … 是 A 的特征值，所以 ? ?fA是正定矩陣。 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 8 矩陣指數(shù)函數(shù) Ae 的基本性質(zhì)： (1)若 AB BA? ，則 A B B A A Be e e e e ???。矩陣 函數(shù)的計算方法雖然多種多樣，但是想通過定義求解矩陣函數(shù)的過程很困難。 根據(jù)線性代數(shù)的知識體系，任何一個方陣的伴隨矩陣其實是一個和矩陣 逆矩陣 相似的概念。對于非空集合 R，如果定義了兩種代數(shù) 運算 +和 *（不一定就是代數(shù)中加法與乘法的含義），并且滿足下面的條件： 1）集合 R 在運算 +下能組成 阿貝爾群 （ Abel）。為了告訴概念清晰的對角化矩陣，首先簡要說明相似矩陣的概念。如果 T 是能將 nR映射到 mR 的一個線性變換， 并且 x 是 有 n 個元素的 列向量 ，那么我們就可以將 m n 的矩天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 14 陣 A ，叫作 T 的變換矩陣。則 ? ?? ?? ?? ?1122mmmmssfAAfAAf A AfAA????????? ? ????? ?? (2矩陣函數(shù)為矩陣多項式 ? ? 20 1 2 + nnf A a I a A a A a A? ? ? ? … 因為 ? ?fA是幾個矩陣指數(shù)函數(shù)的線性組合，它仍然可以作為（ 1）中的計算方法。初等因子，不變因子的概念見引用文獻 [10]中的定義 3，定義 4，這里不再介紹。三個方面的初等變換大同小異。第一，第三和第四種方法中使用的數(shù)學原理和方法比較多，明顯地比第二種方法計算量少，它們的計 算過程相對簡單，但要明白為什么要這么做，還需要清楚地理解里面運用的一些定理和方法。因此，現(xiàn)代控制理論中的矩陣理論和矩陣函數(shù)的知識具有重要作用。 在 20世紀 60年代左右，關(guān)于線性系統(tǒng)的理論經(jīng)歷了從最開始的古典階段到現(xiàn)代階段的重要時期，其中最具代表性的事是卡爾曼第一次完整地在系統(tǒng)和控制的理論中引進了狀態(tài)空間的方 法。就在此時，由于計算機技術(shù)的飛速發(fā)展和完善，對于線性系統(tǒng)中的研究和整合中出現(xiàn)的的計算難題，以及使用計算機對線性的體 系進行輔助性的剖析和輔助性的設(shè)計，也都得到了廣泛和充分的研究。 (2)如果在 [0t ， 1t ]內(nèi)，能找到控制 ()ut 使系統(tǒng)從狀態(tài)空間原點推向預(yù)先指定的狀態(tài)1()xt ，則稱為狀態(tài)能達性；因為任何連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移形成的都是非奇異的矩陣，所以能說某種程度上系統(tǒng)能達性就是系統(tǒng)的能控 性。那么線性定常系統(tǒng)就變?yōu)? 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 23 （ 4）若系統(tǒng)存在確定性干擾信號 )(tf ，即 )(tfBuAxx ???? Cxy ? 因為 )0(x 與 )(tu 、 )(tf 獨立， 因此在系統(tǒng)的可觀測性研究是不考慮 )(tf 的影響。可控性矩陣 Qk=[B AB A2B … An 1B]滿秩。 利用傳遞函數(shù)來判斷。系統(tǒng)的律的微分方程是對應(yīng)的。在 許多情況下，一個實變量函數(shù)在實數(shù)域中運算難度很大，但是對于一個拉普拉斯實變函數(shù)的變換，它能在復(fù)數(shù)領(lǐng)域內(nèi)進行各種各樣的數(shù)學操作，最后對前面求得的計算結(jié)果作一次拉氏反變換，就能最終求出它在實數(shù)領(lǐng)域的結(jié)果，這種方法在運算上和直接求解相比，方便很多。 對于復(fù)參數(shù) s ， 函數(shù)()( )* stf t e? 于 （ ∞ ， +∞ ） 的積分，稱為函數(shù) ()ft 的（雙邊） 拉普拉斯變換 ，簡稱拉氏變換。????????????????1::ngCACACQ 滿秩。當方陣 A 是能對角化的矩陣時，這時約當陣就是對角化矩陣。頻域是坐標系的一種，它是表示 信號