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矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算畢業(yè)論文(更新版)

  

【正文】 或00!!mImIBAmI?????? 故 A B B A A Be e e e e? ??。 在本章開始我們將簡(jiǎn)單的介紹矩陣函數(shù)的性質(zhì),再對(duì)矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行描述與證明 . 矩陣函數(shù) 定理 假設(shè) ()p? 和 ()q? 是兩個(gè)互相不一樣的多項(xiàng)式,在這里 A 是一個(gè) n 階矩陣,那么 ( ) ( )p A q A? 他的充要條件就是在 A 的影譜上 ()p? 和 ()q? 的值對(duì)應(yīng)相等,即 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 11 ( ) ( )( ) ( ) , ( 1 , 2 , ..., 1 )kki i ip q i d??? ? ? 通過利用矩陣多項(xiàng)式,以下將寫出矩陣函數(shù)的定義. 定義 設(shè)在 n 階矩陣 A 的影譜上函數(shù) ()fx有定義 ,即 () ( ) , ( 1 , 2 , . . . , 。( ) ( ) 39。 實(shí)際上,相對(duì)所有正整數(shù) k,當(dāng) ct? ( c 為一個(gè)正常數(shù))時(shí),可以存在 ! ! !k k k kkk A t A cAtk k k??, 而數(shù)值級(jí)數(shù) ? ?0 !kkAck???是收斂的,所以( )是一致收斂的。這個(gè)級(jí)數(shù)對(duì)于所有的 A 都是收斂的,所以 Ae 是個(gè)確定的矩陣。x Ax? 的基解矩陣。 范德蒙矩陣 范德蒙矩陣是法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙 (Vandermonde,AlexandreTheophile, 1735~1796) 提出的一種各列為幾何級(jí)數(shù)的矩陣。狹義定義: M 是 n 階的實(shí)對(duì)稱矩陣 ,同時(shí) M 是正定的,在這里 當(dāng)且僅當(dāng) , M 對(duì)于所有的非零實(shí)系數(shù) 向量 z ,都存在 39。在雙線性代數(shù)的領(lǐng)域中,正定矩陣似復(fù)數(shù)中的正實(shí)數(shù)的性質(zhì)。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 4 矩陣級(jí)數(shù) 定義 : 設(shè) ? ?kA 是 mnc? 的矩陣序列,在這里 ()k k m nijA a C ???,矩陣集 ? ?kA 的無窮和 1 2 3 kA A A A? ? ? ???? ? ???稱為矩陣的級(jí)數(shù),記為1kk A???.這里相對(duì)正整數(shù) 1k?而言,可以記作1kkiiSA???。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 3 2 預(yù)備知識(shí) 為了課題討論中便于理解,引入研究此論文所需矩陣的相關(guān)知識(shí)概念: 在這里, nnF? 表示對(duì)數(shù)域 F 上 nn? 矩陣的全部線性空間, 因此 nnC? 表示 nn? 復(fù)矩陣集。在 1854 年,約丹首次發(fā)現(xiàn)了把一般矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的方法。實(shí)際上矩陣的概念與行列式的概念有本質(zhì)上的區(qū)別,其使用也有很大的 不同。威廉 矩陣的系統(tǒng)概念首先被英國(guó)的著名數(shù)學(xué)家 凱利 提出。 文章 以齊次線性微分方程組求解基解矩陣為出發(fā)點(diǎn)引出矩陣指數(shù)函數(shù)的概念,證明求解矩陣指數(shù)函數(shù)就是求解齊次線性微分方程組的基解矩陣,然后 得到矩陣指數(shù)函數(shù)的一些基本性質(zhì)。后兩種方法較特殊,雖然缺乏普適性,只能計(jì)算特殊矩陣的指數(shù)函數(shù),但卻避過了特征值計(jì)算,簡(jiǎn)化了運(yùn)算過程。書理用類似分離 系數(shù) 法的方法來表示 線性方程組 ,在其一行乘以一個(gè)非零 實(shí)數(shù) 、把其中一行中和另一行相減等運(yùn)算技巧,類似現(xiàn) 在矩陣變換里面的 初等變換 。 1750 年 , 加布里爾 在 1858 年,凱萊( Cayley)在他所寫的《矩陣論的研究報(bào)告》里面有體系地說明了矩陣的一些基本理論。到了這個(gè)時(shí)候,矩陣體系業(yè)已很完善了。 矩陣的化零多項(xiàng)式與它的最小多項(xiàng)式 定義 給定矩陣 , 如果多項(xiàng)式 11 1 0() mmmmp ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?滿足( ) 0pA? ,則稱 ()p? 是 A 的化零多項(xiàng)式。 定義 :設(shè) nnAC?? ,矩陣級(jí)數(shù)形如 20 1 20kkk c A c I c A c A c A?? ? ? ? ? ? ??, 可以被稱為矩陣冪級(jí)數(shù)。廣義的定義:設(shè)一個(gè) n階方陣 M ,如果對(duì)任何 z (z 是非零向量 ),如果都存在 39。z 。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 7 3 矩陣指數(shù) 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 在 計(jì)算常系數(shù)線性微分方程的時(shí)候時(shí),主要考慮的是齊次線性微分方 程組39。x Ax? ( ) 這里 A 是 nn? 常數(shù)矩陣。 ( ) 39。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 9 矩陣指數(shù) Ae 的性質(zhì) A 和 B 是可交換的,即 BA AB? ,則 ()A B A Be e e? ? ( ) 事實(shí)上,由于矩陣級(jí)數(shù)( )是絕對(duì)收斂的 ,因而關(guān)于絕對(duì)收斂數(shù)值級(jí)數(shù)運(yùn)算的一些定理,其中包含級(jí)數(shù)的收斂性不受項(xiàng)的重新排列影響和級(jí)數(shù)的和以及乘法運(yùn)算的性質(zhì)等都能夠運(yùn)用到這里來,由二項(xiàng)式定理以及 BA AB? 可得到 ()0 0 0()! ! ( ) !k l k lABK k lA B A Be k l k l?? ? ??? ? ?????? ?????? ? ? ( ) 另一方面,由絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法定理得 0 0 0 0! ! ! ( ) !i j l k lABi j k lA B A Bee i j l k l?? ? ? ?? ? ? ????? ?????? ? ? ? ( ) 比較( )以及( ),推得( ) . A ,存在 1()Ae ? ,且 1( ) ( )AAee??? 實(shí)際上, A 和 A? 是可交換的,所以在( )中,令 BA?? ,本文推得 ( ( )) 0A A A Ae e e e E? ? ?? ? ?, 因此,可以推得 1( ) ( )AAee??? . 如果 T 是非奇異矩陣,則 1 1()T AT Ae T e T? ?? . () 事實(shí)上 ? ?1 1()111111!!!()kT ATkkkkkAT ATeEkT A TEkAE T TkT e T??????????????????? ???????? 這就是本文所需要證明的。 因 此 (1)? 是( )的基解矩陣。 定理 設(shè) nnAC?? ,在這里矩陣 A 的譜 ()fx半徑為 ? ,如果函數(shù) ()fx的冪級(jí)數(shù)的表示式是 0()kkkf x c x x ??????, 則當(dāng) ???? 時(shí) 0()kkkf A c A???? 根據(jù)定理 可以推出很多關(guān)于矩陣函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示式,列舉其中 3 個(gè) 2112 ! !Ane E A A An? ? ? ? ???? ? ???; 3 5 2 11 1 1sin ( 1 )3! 5 ! ( 2 1 ) !nnA A A A An ?? ? ? ??? ? ? ? ????。 接下來研究的問題 是:如果一個(gè)非正規(guī)的 矩陣 A 符合式 ()的條件,那么這個(gè)天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 15 矩陣 A 擁有什么樣的結(jié)構(gòu)呢 ?為了研究此問題,需要提前證明一個(gè)引理 引理 1 設(shè) nnAC?? , ()fz為一個(gè)復(fù)值函數(shù),定義域 fDC? .矩陣方程 ()f X A?能夠求解的充分必要的條件為:對(duì)任何 ()aA?? ,總存在 fzD? ,使得 ()f z a? 。 當(dāng) dD dt? 時(shí),矩陣指數(shù)函數(shù) Ate 的每個(gè)元素都滿足 n 階線性微分方程 ( ) 0c Dy? , 并且 () Atte??是 n 階矩陣線性微分方程 ( ) ( 1 )1 1 039。( ) , ... , ( ) , ( )A t A t n n A t n n A tt E e t A e t A e t A e??? ? ? ? ? ? ? ?, ( 1 )1 1 0110( ) ( ) 39。 同時(shí) 26231 4 5 61 0 2 7A??????????, 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 21 最后算出 22222 4 2 2 2 22 2 2 2t t t t t tA t t t t t t t tt t t t t te te e te e ee e te e e te e ee te e te e e??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 微分方程系數(shù)求解法 這一節(jié)闡述的是計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù) Ate 的第二種方法,和上節(jié)的方法部分相似,使用了微分方程,不過此方法開始求得 Ate 的一個(gè)表達(dá)式,接著經(jīng)過求解一些常系數(shù)的微分方程來計(jì)算 Ate 表達(dá)式的系數(shù),最后算出 Ate . 定理 設(shè) n 階方陣 A 的特征多項(xiàng)式是 11 1 0( ) d e t ( ) nnnc E A c c c? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ?, 則 112( ) ( ) ( )A t nne x t E x t A x t A ?? ? ? ????, 其中 ( ),1kx t k n??,是 n 階常系數(shù)線性微分方程 ( ) ( 1 )1 1 039。1 1 0( ) ( 1 )1 1 1 1 1 0 1( ) ( 1 )2 1 2 1 2 0 2( ) ( 1 ) 11 1 01( ) ( ) ( ) ( )( 39。( 0 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )nnnnn n n n n nnx E x A x A Ex E x A x A Ax E x A x A A??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ??? ? ? 所以 112( ) ( ) ( ) ( ) nnt x t E x t A x t A ?? ? ? ? ???? 是 ( ) ( 1 )1 1 0( ) 0nnnc t c c??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ( 1 ) 1( 0) , 39。(0 ) 0x x x? ? ?時(shí), 21( ) 2 ttx t te e?? ?。 同時(shí) 2 1 16 3 24 1 3A? ? ???????? 26231 4 5 61 0 2 7A??????????, 所以 2 2 2 2( 2 ) ( 3 2 2 ) ( )A t t t t t t t t te te e E te e e A te e e A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 最后算出 22222 4 2 2 2 22 2 2 2t t t t t tA t t t t t t t tt t t t t te te e te e ee e te e e te e ee te e te e e??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? Jordon 塊求解法 在這一節(jié)中闡述的計(jì)算比之前的計(jì)算方法計(jì)算較為麻煩 ,原理和過程同樣不一樣,這個(gè)計(jì)算方法用到了矩陣函數(shù)的 Jordon 表示式的知識(shí),此方法利用 Ate 的Jordon 表示式的計(jì)算間接的求得 Ate . 已知 nnAC?? 和變量 ? 的多項(xiàng)式 11 1 0() mmmmp ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ?, 則稱 11 1 0() mmmmp A A A A E? ? ? ???? ? ? ???? ? 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 24 是 A 的矩陣多項(xiàng)式. ()pA和 A 同為 n 階方陣 若 iJ 為 id 階 Jordon 塊矩陣 111iiiiii ddJ??? ?????????? 則 111111iiiid k dkki k i k ikki k ikiki ddCCCJ? ? ????? ? ????????????? 關(guān)于 id 階矩陣 ()iJ? 的矩陣多項(xiàng)式 1110() mmi m i m i i ip J J J J E? ? ? ???? ? ? ???? ? 由 (1)式可引入多項(xiàng)式 ()p? 的各階導(dǎo)數(shù),然后 ()ipJ 能夠表達(dá)為 ( 1 ) ()( ) 39。( 1 ) ( 2 ) 39。雖然第三種方法的過程多,計(jì)算復(fù)雜,但是這三種方法都可以對(duì)一般的矩陣指數(shù)函數(shù)進(jìn)行求解
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