【正文】 的一點(diǎn)是，只有一個(gè)對(duì)數(shù)矩條件是必需的，沒(méi)有其他時(shí)刻的條件也可以實(shí)現(xiàn)。R 相同的策略，一般的 δ GARCH（ 1,1）模型可以寫(xiě)為： 11,t t tpqt i t j j t iijXX?????? ? ? ? ??????? ? ??? (6) 35 0 , 0 , 0 ,i j t? ? ? ?? ? ?獨(dú)立同分布，而在其他時(shí)刻的 t? 不存在額外的假設(shè)而作出調(diào)整。 由于 Bougerol and Picard (1992a)的定理假設(shè)并不要求創(chuàng)新，但對(duì)其 對(duì)數(shù)有要求，所以它很自然地?cái)U(kuò)展了這個(gè)定理，一個(gè)具有 ? 權(quán)的 Garch 消除了 MPamp。見(jiàn) Bellini and Bottolo (2020)極大似然估計(jì)的 SS 域形狀影響的討論的第 4 節(jié)。嚴(yán)平穩(wěn)通常意味著弱平穩(wěn)，這與傳統(tǒng)（輕尾）時(shí)間序列模型的情況正好相反。 關(guān)鍵詞 ：權(quán) GARCH 模型 ； 嚴(yán)平穩(wěn)和弱平穩(wěn) ； α穩(wěn)定分布 ； 重尾分布 1． 權(quán) GARCH 模 型 用方程來(lái)描述， δ 權(quán) GARCH（ 1,1）模型是一種普通 GARCH（ 1,1）模型的自然延伸。 21 致 謝 在我即將完成了我的畢業(yè)論文時(shí)，內(nèi)心激動(dòng)不已，這是我四年大學(xué)生涯學(xué)習(xí) 的一個(gè)總結(jié)，四年來(lái)，承蒙導(dǎo)師、老師、師長(zhǎng)們的教誨與提攜，我終于能較順利的完成我本科階段的任務(wù)，今后的路，無(wú)論怎么走，我終將記住這四年的學(xué)習(xí)生涯。 最終模型口徑為： ? ?12,211 , 0 , 1 .629241 .6285 4 .53E 23 ~ttt t t ti i dt t t tt t tx t uu u uh a a Nhh???????? ? ??? ? ? ?????? ? ? ? ?? 最終輸出擬合效果圖如下圖所示： p543210123t0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 圖 32 上證指數(shù)收益率擬合效果圖 20 第 4 章 結(jié)論 本文主要研究 GARCH 模型在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量 VaR 中的應(yīng)用。 proc gplot data=out。 input p。 基于 GARCH 模型的分析方法的 VaR 的計(jì)算 我們知道對(duì)數(shù)回報(bào)存在異方差，而 GARCH 模型 能較 好地刻畫(huà)這一特征，因而我們用 GARCH 模型估計(jì)條件方差，并計(jì)算相應(yīng)的 VaR 的值。在資產(chǎn)定價(jià)模型中，某一資產(chǎn)的收益率與市場(chǎng)收益率之間的關(guān)系可以表示為： titiiti uMr , ??? ?? （ ） 其中， tir, 代表某一個(gè)單一資產(chǎn)或一個(gè)資產(chǎn)組合的收益率； tM 代表市場(chǎng)在 t 期的收益率； i? 為資產(chǎn)的系數(shù)。在建立模型之前的數(shù)據(jù)選擇階段，應(yīng)該注意：數(shù)據(jù)選擇的時(shí)期不能夠太長(zhǎng)，因?yàn)閿?shù)據(jù)越長(zhǎng)，含有非正常的數(shù)據(jù)的可能性越大，而這些非正常數(shù)據(jù)將會(huì)影響長(zhǎng)期波動(dòng)的預(yù)測(cè)。 ttt uxy ??? ? （ ） ttt vhu ? （ ） ? ?1,0~110 Nvuhh titpi iitqi it ???? ?? ??? ??? （ ） 13 令 ? ???? ??? , ， ? ?qp ?????? , 110 ??? ，可將 GARCH 模型的對(duì)數(shù)極大似然函數(shù)表示為： ? ? ? ? ? ? ? ? 11 211 21ln212ln2 ???? ??? ????? tTt tTt tTt t huhTlL ??? ， （ ） 求估計(jì)值的法與 ARCH 模型相似，求出關(guān)于 ???L 取最大值時(shí)的 ? 值，則可以求出 ?和 ? 的值，其中 ? 為回歸方程的估計(jì)系數(shù)， ? 為 GARCH 方程的系數(shù)估計(jì)值。 GARCH(p,q)過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程的充分必要條件是： ? ? ? ? 111 ???? （ ） 其中 ?? ???qi i11 ??， ?? ???pi i11 ??，而且有 ? ? 0?tuE ， ? ? ? ? ? ?? ? 10 111 ???? ???tuD ，? ? ? ?stCo v tt ?? 0,?? 。 GARCH 類(lèi)模型特別適合 于對(duì)金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)的波動(dòng)性進(jìn)行分析。 若 F ? ?1, ??qTqF ，接受 0H ，即 tu 不存在自回歸條件異方差。滿足約束條件如下： 0 0, 0,j????且1 1qjj ?? ??。 ARCH 模型 ARCH 模型的定義 ARCH 模型很好的捕捉了金融時(shí)間序列中波動(dòng)的叢集現(xiàn)象 (即大的波動(dòng)往往跟隨著大的波動(dòng)，小的波動(dòng)之后往往跟隨著小的波動(dòng) )。例如， ttr ???? 其中 ? 為無(wú)條件均值，是一個(gè) 常數(shù)， ? 常常用樣本均值來(lái)估計(jì)。 計(jì)算的主要方法 及分類(lèi) [6] 綜上所述，可以從市場(chǎng)因子的波動(dòng)性模型和證券組合的估值模型兩個(gè)角度對(duì) VaR 模型分類(lèi)，如表 1 所示。 證券組合的估值模型 根據(jù)市場(chǎng)因子的波動(dòng)性估計(jì)證券組合價(jià)值變化和分布的方法主要有兩類(lèi)，即模擬方法 (即全值模型 )和分析方法 (局部估值模型 )。它不需要假定資產(chǎn)回報(bào)服從的統(tǒng)計(jì)分布形式。 VaR 計(jì)算的基本模式 綜上所述，計(jì)算 VaR 的關(guān)鍵在于確定證券組合未來(lái)?yè)p益的統(tǒng)計(jì)分布或概率密度函數(shù)。 定義 若用只表示時(shí)間 t 的金融資產(chǎn)價(jià)格， t1P 表示時(shí)間 t 的前一期 t1 的金融資產(chǎn)價(jià)格，則金融資產(chǎn)在時(shí)間 t 的單期簡(jiǎn)單回報(bào)可以定義為 ttt1PR = 1P ? () 這里時(shí)間期限可以是一天、一周、一個(gè)月或其他任意一個(gè)特定的期限。這種方法是基于對(duì)參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)，而不是從經(jīng)驗(yàn)分布上確定分位數(shù)，因此稱這種方法為參數(shù)方法。 例如， 公司 1990 年年報(bào)披露， 1990 年該公司一天的 95%VaR 值為 1000萬(wàn)美元。②BHHH 方法是局部搜索的，易陷入局部最優(yōu)點(diǎn)，搜索空間維數(shù)小，效率低。 目前，市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)值 VaR 已經(jīng)成為進(jìn)行金融風(fēng)險(xiǎn)管理的新標(biāo)準(zhǔn)和新方法。然而進(jìn)入 70 年代以來(lái)，全球金融系統(tǒng)發(fā)生了巨大變化，主要表現(xiàn)為 ： (1)全球金融市場(chǎng)的變革導(dǎo)致金融市場(chǎng)的波動(dòng)性日趨加劇 :以布雷頓森林體系崩潰為標(biāo)志的固定價(jià)格體系演變?yōu)槭袌?chǎng)價(jià)格體系而導(dǎo)致的各類(lèi)市場(chǎng) (外匯市場(chǎng)、貨幣市場(chǎng)、資本市場(chǎng)、商品市場(chǎng) )價(jià)格的波動(dòng)性加劇、金融市場(chǎng)交易速度的加快與交易量的空前增加而導(dǎo)致的 金融市場(chǎng)的復(fù)雜性和波動(dòng)性加劇、金融市場(chǎng)一體化趨勢(shì)而導(dǎo)致的金融市場(chǎng)波動(dòng)性的互動(dòng)、放大與傳染效應(yīng)。這三股力量及其交互作用使金融市場(chǎng) 呈現(xiàn)出前所未有的波動(dòng)性和脆弱性，市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)成為今日金融風(fēng)險(xiǎn)的最主要形式。還可以在進(jìn)行投資決策時(shí)，對(duì)預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)和收益進(jìn)行權(quán)衡。然后將參數(shù)估計(jì)結(jié)果運(yùn)用到 VaR計(jì)算的不同方法中去 ,從而預(yù)測(cè)金融市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)大小。假定回報(bào)率 R 的 期望回報(bào)和波動(dòng)性分別為 ? 和 ? 。一般而言， *R 是負(fù)的，也可以表示為 *||R? 進(jìn)一步，把 *R 和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的偏離 ??? 聯(lián) 系起 來(lái)，即 *|| ()R? ???? ? ? ? ?? () 這等價(jià)于 *||1 ( ) ( )Rc f R dR d? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??? () 因此， VaR 的計(jì)算問(wèn)題就等價(jià)于尋找一個(gè)偏離 ? 使得上式成立。大多數(shù)情況下，直接估算證券組合的未來(lái)?yè)p益分布是困難的，這是由于金融機(jī)構(gòu)的證券組合往往包含種類(lèi)繁多的金融工具，且無(wú)法保留估計(jì)過(guò)程中所需要的所有相關(guān)金融工具的歷史數(shù)據(jù)。 VaR 計(jì)算的主要方法 在 VaR 計(jì)算的三個(gè)模塊中，波動(dòng)性模型 和估值模型是其核心和難點(diǎn)。壓力實(shí)驗(yàn)是最為常用的情景分析方法。 利用靈敏度來(lái)近似估計(jì)證券組合價(jià)值變化的分析方法，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算。 GARCH (generalized autoregressive conditional heteroseedastieity)的含義是一般自回歸條件異方差。 實(shí)際中，對(duì) t? 的分布假設(shè)最常用的是正態(tài)分布和學(xué)生 t 分布。 根據(jù) Engle 在 1982 年提出的定義，一個(gè) p 階自回歸 AR（ p）形式的隨機(jī)變量 tx ， 8 可以表示成如下的形式： 0 1 1t t p t p tx x x? ? ? ???? ? ? ? ? （ ） 其中， t? 為獨(dú)立同分布的白噪聲過(guò)程，他滿足： ? ? ? ? 20,ttED? ? ???。 根據(jù)式定義，的概率密度函數(shù)為 ? ? ? ? 21, , e x p22 ttt t t tt yxf y x hh ??? ??????? ????，其中? ? ? ? 220 1 1 1t t t q t q t qh y x y x? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?， ? ?0 1 1, , , k? ? ? ? ? ?? ， ? ?01, , , q? ? ? ? ?? 回歸方程的對(duì)數(shù)似然函數(shù)是： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1211l o g ,2 l o gl o g1 1 1l o g2 2 2TtttTTttttt tf y xyxhhL ????????????????， 求 ? 的極大似然估計(jì)量就是求 ?? 使 ? ?logL? 在 ? =?? 出獲得極大值。若序列有有限的四階距，則 ARCH（ 1）中的 21? 必須在區(qū)間 ?????? 31,0中，對(duì)于高階的 ARCH 模型約束會(huì)變得更加的復(fù)雜。由于 GARCH 模型是用來(lái)估計(jì)波動(dòng)性的，它更關(guān)注條件方差方程，所以將條件均值方程的形式取得很簡(jiǎn)單。 12 GARCH(1,1)是平穩(wěn)過(guò)程的充分必要條件是 1???? 。 同理原假設(shè) 0H 是 ARCH(q)時(shí)，備擇假設(shè) 1H 有兩個(gè)：一個(gè)是 ARCH(q＋ r)，另一個(gè)是 GARCH(r， q)，在實(shí)際的應(yīng)用中，對(duì)于 q 值很 大的 ARCH 模型一般使用 GARCH 模型。若 0?? 時(shí) ,則說(shuō)明杠桿效應(yīng)是顯著的，所以說(shuō) EGARCH模型可以很好的刻畫(huà)金融市場(chǎng)中的非對(duì)稱性。假設(shè)模型旨在解釋一項(xiàng)金融資產(chǎn)的回報(bào)率，那么增加 th 的原因是每個(gè)投資者都期望資產(chǎn)回報(bào)率是與風(fēng)險(xiǎn)度密切聯(lián)系的，而條件方差 th 代表了期望風(fēng)險(xiǎn)的大小。其中 z? 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下置信度對(duì)應(yīng)的分位數(shù)， ? 為回報(bào)率的均值。 17 model p=t/nlag=5 dwprob archtest。 symbol2 c=black i=join v=none l=2。在理想的情況下 (己知 GARCH 模型參數(shù)的準(zhǔn)確值和波動(dòng)性的準(zhǔn)確值 )，進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，將 GARCH 模型應(yīng)用到 VaR 計(jì)算方法中去，針對(duì) 上證 股票價(jià)格，對(duì)其未來(lái)?yè)p失做出預(yù)測(cè)。并且可以及時(shí)地得到補(bǔ)充和修正。模型 (1)的一般性已經(jīng)被?。?1993 年）、劉和 Brorsen（ 1995 年）等人考慮過(guò)了。 定理 如果 0?? ，如果 ? ?? ???? ?2logE 存在（可能無(wú)限）和 2? 是不退化，然后再是一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)的充分必要條件 (1)是 ： ? ?? ? 0log 2 ?? ???E (2) 注釋 1：對(duì)于 SS 域的特性，沒(méi)有必要假設(shè) ? ? ???2?E 。 定理：如果 ? 是一個(gè) ? 平穩(wěn)，且有 12S???和 S??? ，那么是嚴(yán)平穩(wěn)性 的充分必要條件是： ? ?lo g 0E ?? ? ??????? (4) 注釋 4。R 的路徑下，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，一般條件 ? ?lo g 0E ?? ? ???????嚴(yán)平穩(wěn)，積分存在是充分必要的，而如果 ? 時(shí)創(chuàng)新是 有限的，給出了 E ????????? 的一個(gè)充分條件是： , 10S S S? ? ??? ?? ? ?。 是在 MPamp。 定理 1：在 0?? 的 GARCH 1 1? ? （ ， ）模型中有 ? ?lo gE ?? ? ???? ? ????，一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)的充分必