【正文】 bx＋ a 預(yù)報(bào)真實(shí)值 y 的隨機(jī)誤差，它是一個(gè)可觀測(cè)的量； ② 殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好； ③ 用 R2來(lái)刻畫(huà)回歸方程， R2越小，擬合的效果越好； ④ 在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水 平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，若帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸f(shuō)明擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高． 【解析】 對(duì)于 ① 隨機(jī)誤差 e 是一個(gè)不可觀測(cè)的量， ③ R2越趨于 1，擬合效果越好，故 ①③ 錯(cuò)誤．對(duì)于 ② 殘差平方和越小，擬合效果越好，同理當(dāng)殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域時(shí)，擬合效果越好，故 ②④ 正確． 【答案】 ②④ 4．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量 x(噸 )與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗 y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤 )的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 y 3 4 (1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散 點(diǎn)圖； (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程； (3)已知該廠技改前 100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為 90 噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù) (2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)技改后生產(chǎn) 100 噸甲產(chǎn)品比技改前少消耗多少?lài)崢?biāo)準(zhǔn)煤． (參考數(shù)值： 3 ＋ 4 3＋ 5 4＋ 6 ＝ ) 【解】 (1)如下圖． (2)?i＝ 14xiyi＝ 3 ＋ 4 3＋ 5 4＋ 6 ＝ ， x ＝ 3＋ 4＋ 5＋ 64 ＝ ， y ＝ ＋ 3＋ 4＋ ＝ ， ?i＝ 14x2i＝ 32＋ 42＋ 52＋ 62＝ 86. b^＝ － 4 － 4 ＝ － 6386－ 81 ＝ ， a^＝ y － b^ x ＝ － ＝ ， 因此，所求的線性回歸方程為 y^＝ ＋ . (3)根據(jù)回歸方程預(yù)測(cè)，現(xiàn)在生產(chǎn) 100 噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量為 100＋ ＝ ( 噸 ) ， 故 耗 能 減 少 了 90 － ＝ ( 噸標(biāo)準(zhǔn)煤 ). 一、選擇題 1．在畫(huà)兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，下面敘述正確的是 ( ) A．預(yù)報(bào)變量在 x 軸上，解釋變量在 y 軸上 B．解釋變量在 x 軸上，預(yù)報(bào)變量在 y 軸上 C．可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量在 x 軸上 D．可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量在 y 軸上 【解析】 結(jié)合線性回歸模型 y＝ bx＋ a＋ e 可知，解釋變量在 x 軸上，預(yù)報(bào)變量在 y 軸上，故選 B. 【答案】 B 2． (2020湖南高考 )設(shè)某大學(xué)的女生體重 y(單位： kg)與身高 x(單位： cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù) (xi， yi)(i＝ 1,2， ? ， n)，用最小二乘法建立的回歸方程為 y^＝ － ，則下列結(jié)論中 不正確 ． ． ． 的是 ( ) A． y 與 x 具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心 ( x ， y ) C．若該大學(xué)某女生身高增加 1 cm，則其體重約增加 kg D．若該大學(xué)某女生身高為 170 cm，則可 斷定其體重必為 kg 【解析】 由于線性回歸方程中 x 的系數(shù)為 ，因此 y 與 x 具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故 A 正確．又線性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn) ( x ， y )，因此 B 正確．由線性回歸方程中系數(shù)的意義知， x 每增加 1 cm，其體重約增加 kg，故 C 正確．當(dāng)某女生的身高為 170 cm時(shí)，其體重估計(jì)值是 kg，而不是具體值，因此 D 不正確． 【答案】 D 5．在判斷兩個(gè)變量 y 與 x 是否相關(guān)時(shí)，選擇了 4 個(gè)不同的模型，它們的相關(guān)指數(shù) R2分別為：模型 1 的相關(guān) 指數(shù) R2為 ，模型 2 的相關(guān)指數(shù) R2為 ，模型 3 的相關(guān)指數(shù) R2為 ，模型 4 的相關(guān)指數(shù) R2為 模型是 ( ) A．模型 1 B．模型 2 C．模型 3 D．模型 4 【解析】 相關(guān)指數(shù) R2能夠刻畫(huà)用回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果，相關(guān)指數(shù) R2的值越接近于 1，說(shuō)明回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果越好． 【答案】 A 二、填空題 6．在研究身高和體重的關(guān)系時(shí)，求得相關(guān)指數(shù) R2≈ ________，可以敘述為“ 身高解釋了 64%的體重變化，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的 36%” ，所以身高對(duì)體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤 差的效應(yīng)大得多． 【解析】 結(jié)合相關(guān)指數(shù)的計(jì)算公式 R2＝ 1－?i＝ 1n ?yi－ y^i?2?i＝ 1n ?yi－ y ?2可知，當(dāng) R2＝ 時(shí)，身高解釋了 64%的體重變化． 【答案】 7．調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入 x(單位：萬(wàn)元 )和年飲食支出 y(單位：萬(wàn)元 )，調(diào)查顯示年收入 x 與年飲食支出 y 具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到 y對(duì) x 的回歸直線方程： y^＝ ＋ ，家庭年收入每增加 1 萬(wàn)元，年飲食支出平均增加 ________萬(wàn)元． 【解析】 以 x＋ 1 代 x，得 y^＝ (x＋ 1)＋ ，與 y^＝ ＋ 相減可得，年飲食支出平均增加 萬(wàn)元． 【答案】 8．已知回歸直線的斜率的估計(jì)值為 ，樣本點(diǎn)的中心為 (4,5)，則回歸直線方程是 ________． 【解析】 由斜率的估計(jì)值為 ，且回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心 (4,5)，可 得 y^－ 5＝ (x－ 4)， 即 y^＝ ＋ . 【答案】 y^＝ ＋ 三、解答題 9．某省 2020 年的閱卷現(xiàn)場(chǎng)有一位質(zhì)檢老師隨機(jī)抽取 5 名學(xué)生的總成績(jī)和數(shù)學(xué)成績(jī) (單位：分 )如下表所示： 學(xué)生 A B C D E 總成績(jī) (x) 482 383 421 364 362 數(shù)學(xué)成績(jī) (y) 78 65 71 64 61 (1)作出散點(diǎn)圖； (2)對(duì) x 與 y 作回歸分析； (3)求數(shù)學(xué)成績(jī) y 對(duì)總成績(jī) x 的回歸直線方程； (4)如果一個(gè)學(xué)生的總成績(jī)?yōu)?500 分，試預(yù)測(cè)這個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)． 【解】 (1)散點(diǎn)圖如圖所示： (2) x ＝ 2 0125 ， y ＝ 3395 ， ∑5 i＝ 1x2i＝ 819 794， ∑5 i＝ 1y2i＝ 23 167， ∑5 i＝ 1xiyi＝ 137 760. ∴ r＝ 錯(cuò)誤 ! hn(m， n 是正的常數(shù) )．兩邊取常用對(duì)數(shù)， 則 lg Q＝ lg m＋ n183