高中數(shù)學北師大版選修2-1第三章反證法(更新版)
【正文】 下表： 原結(jié)論詞 至少有一個 至多有一個 至少有n個 至多有 n個 反設詞 一個也沒有(不存在 ) 至少有兩個 至多有n－ 1個 至少有 n＋ 1個 5 ．已知 x ， y 0 ，且 x ＋ y 2. 求證：1 ＋ xy，1 ＋ yx中至少有一個小于 2. 證明： 假設1 ＋ xy，1 ＋ yx都不小于 2. 即1 ＋ xy≥ 2 ，1 ＋ yx≥ 2. ∵ x 0 ， y 0 ， ∴ 1 ＋ x ≥ 2 y, 1 ＋ y ≥ 2 x . ∴ 2 ＋ x ＋ y ≥ 2( x ＋ y ) ， 即 x ＋ y ≤ 2 ，這與已知 x ＋ y 2 矛盾． ∴1 ＋ xy，1 ＋ yx中至少有一個小于 2. 6．用反證法證明：若函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a， b]上是增函數(shù)， 則方程 f(x)＝ 0在區(qū)間 [a， b]上至多有一個實根． 證明： 假設方程 f(x)＝ 0在區(qū)間 [a， b]上至少有兩個實根，不妨設 α， β為其兩個實根，且 α＜ β，則 f(α)＝ f(β)＝ 0. 因為函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a， b]上是增函數(shù)，又 α＜ β， 所以 f(α)＜ f(β)，這與假設 f(α)＝ f(β)＝ 0相矛盾． 所以方程 f(x)＝ 0在區(qū)間 [a， b]上至多有一個實根． 用反證法證題要把握三點： (1)必須先否定結(jié)論，對于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不完全的． (2)反證法必須從否定結(jié)論進行推理，且必須根據(jù)這一條件進行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行論證，就不是反證法． (3)推導出來的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與定理、公理相矛盾，但推導出的矛盾必須是明顯的．
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