【正文】 q k l 。此命題為真命題。 （ 2）假設(shè) 1nk??時(shí) 12 2 2 2 ( 2 1 ) 4 2 2 ( 1 ) 1 ( 2 1 ) 2 ( 1 ) 1kk k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?g 所以當(dāng) 1nk??時(shí)猜想也成立 綜合（ 1）（ 2）可知 ，對(duì)一切 3n? 的正整數(shù)，都有 2 2 n?? 證法 2：當(dāng) 3n? 時(shí) 0 1 2 1 0 1 12 ( 1 1 ) 2 2 2 1n n n n n nn n n n n n n n nC C C C C C C C C n n??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?K 綜上所述，當(dāng) 1,2n? 時(shí) 521n nT n? ? ，當(dāng) 3n? 時(shí) 521n nT n? ? 31. （ 2020 四 川卷文） 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，對(duì)任意的 正整數(shù) n ，都有 51nnaS??成立，記*4 ()1 nnnab n Na????。na （ 2）證明：對(duì)任意 a ，存在與 a 有關(guān)的常數(shù) ? ，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù) n ，都有 1 .na ???? 解：（ 1）由 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )pqmnm n p qaaaaa a a a?? ?? ? ? ?得 1 2 11 2 1 .(1 ) (1 ) (1 ) (1 )nnnna a a aa a a a?????? ? ? ?將 1214,25aa??代入化簡(jiǎn)得 選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 20 11naa a ???? ? 所以 11111 ,1 3 1nnaa???????? 故數(shù)列1{}1 nnaa??為等比數(shù)列，從而 1 1 ,13n nnaa? ??即 nn na ?? ? 可驗(yàn)證， 3131nn na ?? ? 滿足題設(shè)條件 . (2) 由題設(shè) (1 )(1 )mnaa???的值僅與 mn? 有關(guān) ,記為 ,mnb? 則 11 1 .(1 ) (1 ) (1 ) (1 )nnn nna a a ab a a a a? ????? ? ? ? 考察函數(shù) ( ) ( 0 )(1 ) (1 )axf x x?????,則在定義域上有 1 ,111( ) ( ) , 12, 0 11aaf x g a aa aa? ?? ???? ? ???? ??? ?? 故對(duì) *nN? ， 1 ()nb g a? ? 恒成立 . 又 2 22 ()(1 )nnnab g aa???, 注意到 10 ( ) 2ga??,解上式得 1 ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 2 ( )() ,( ) ( )1 ( ) 1 2 ( ) ng a g a g a g aga ag a g ag a g a ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 取1 ( ) 1 2 ( )()g a g aga? ? ? ??,即有 1 .na ????. 30. (2020 湖北卷理 )已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 11( ) 22 nnnSa ?? ? ? ?（ n 為正整數(shù)）。 所以 1)1(1 ????? ndnaa n ② 因?yàn)辄c(diǎn)（ nb , nT ）在直 線 121 ??? xy 上， 選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 15 11111 121 121122nnnnn n n n nTbTbb T T b b????? ? ?? ? ?? ? ? ? ?所 以所 以兩 式 相 減 得 ： ? ?11 1 111312112323132 1 2()3 3 3nnn nbbn b b bbb???? ? ? ? ?? ? ?所 以 ，令 得 ， 所 以所 以 是 一 個(gè) 以 為 首 項(xiàng) ，以 為 公 比 的 等 比 數(shù) 列 。公差為是首項(xiàng)為，設(shè)，且：已知例24)()()()()10(lo g)(121?????Nnafafafaaxxfna? ① 設(shè) a 是常數(shù)，求證： ??na 成等差數(shù)列； ② 若 )( nnn afab ? ， ??nb 的前 n 項(xiàng)和是 nS ，當(dāng) 2?a 時(shí)，求 nS 解： ① 222)1(4)( ?????? nnaf n ， ? ?為等比數(shù)列。 31631621811812)281812281812m i n?????????????????????mnnNnNnnnm所以，（對(duì)恒成立。 6． 等比數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化 ① ??na 是等差數(shù)列 ? ? ? )10( ?? ccc na ，是等比數(shù)列； ② ??na 是 正 項(xiàng) 等 比 數(shù) 列? ? ? )10(lo g ?? cca nc ，是等差數(shù)列； ③ ??na 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 ? ??na 是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列。 6677137612000130)(6SaaaSaaS?????????? 課外練習(xí) 一、 選擇題 1． 已知 ??na 數(shù)列是等差數(shù)列， 1010?a ，其前 10項(xiàng)的和 7010?S ，則其公差 d 等于 ( D ) 32313132．．．．DCBA ?? 2． 已 知 等 差 數(shù) 列 ??na 中，12497 116 aaaa ，則， ???? 等于（ A ） A． 15 B． 30 C． 31 D． 64 1512 12497 ?? ???a aaaa?解： 二、填空題 3． 設(shè) nS 為 等 差 數(shù) 列 ??na 的前 n 項(xiàng)和，97104 3014 SSSS ，則， ??? =54 4． 已知等差數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，若????? 1185212 21 aaaaS ，則 5． 設(shè) F 是橢圓 167 22 ?? yx 的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有 21 個(gè)不同點(diǎn) ?? ,),2,1( 321 FPFPFP iPi ， 使? 組成公差為 d 的等差數(shù)列，則 d 的取值范圍為?????????????? 10100101 ， 解：橢圓的焦點(diǎn) F到橢圓上的點(diǎn)最大、最 小距離分別為 ）和（ 17)17( ?? ，由題意得： 1010010101012011217)117???????????????????ddddnnddn或，又（）（? 三、解答題 6． 等差數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和記為 nS ，已知5030 2020 ?? aa ， ① 求通項(xiàng) na ； ② 若 nS =242，求 n 解： dnaan )1(1 ??? 高中數(shù)列知識(shí)大總結(jié) (絕對(duì)全 完整版 ) 7 102212501930950301112020??????????????????nadadadaaan解方程組， 由2 )1(1 dnnnaS n ???， nS =242 舍去）或解得 (22112 4 222 )1(12????????nnnnn 7． 甲、乙兩物體分別從相距 70m 的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲第一分鐘走 2m ，以后每分鐘比前一分鐘多走 1m ，乙每分鐘走 5m ， ① 甲、乙開始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇？ ② 如果甲乙到對(duì)方起點(diǎn)后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前一分鐘多走 1m ，乙繼續(xù)每分鐘走 5m ，那么，開始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇？ 解： ① 設(shè) n 分鐘后第一次相遇，依題意有： 舍去），解得 (2077052 )1(2???????nnnnnn 故第一次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后 7 分鐘。 ４．前 n 項(xiàng)和公式 2 )( 1 naaS nn ?? ； 2 )1(1 dnnnaS n ??? ),()(,)2(22212為常數(shù)即特征：BABnAnSBnAnnfSndandSnnn???????? 是數(shù)列 ??na 成等差數(shù)列的充 要條件。高中數(shù)列知識(shí)大總結(jié) (絕對(duì)全 完整版 ) 1 高中數(shù)列知識(shí)大總結(jié) (絕對(duì)全完整版 ) 第六章 數(shù)列 二、重難點(diǎn)擊 本章重點(diǎn)：數(shù)列的概念，等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和公式及運(yùn)用，等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)。 ３．等差中項(xiàng)： 若 cba , 成等差數(shù)列，則 b 稱 ca與 的等差中項(xiàng)，且 2cab ?? ； cba , 成等差數(shù)列是 cab ??2的充要條件。 解 高中數(shù)列知識(shí)大總結(jié) (絕對(duì)全 完整版 ) 6 d )(nfan ? n na nS ??na 2 ?n 解： ① )(6)(6 10312112 aaaaS ???? 3724308240)82(213)(2132)(1372407240)72(63113131133??????????????????????????ddddaaaaaSddda從而又 ② 最大。 ④ ?，時(shí)， nnnnn SSSSSq 2321 ???? 仍成等比數(shù)列。 二、 裂項(xiàng)相消法求和 例 2 ：數(shù)列 ??na 滿足 1a =8 ，022 124 ???? ?? nnn aaaa ，且 （ ??Nn ） ① 求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； 則 214 14 ????? aad 所以， na =8＋（ n － 1）（－ 2）＝― 10－2n ②32)2(41)1(4183)2111211(41)211()4121()3111(41)211(41)2(21)14(121mnnnnnnbbbTnnnnanbnnnn???????????????????????????????????????所以 對(duì) 一切 ??Nn 恒成立。（ ?? Nn ） 選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 13 典例精析 一、 函數(shù)與數(shù)列的綜合問題 的等差數(shù)列。 解： ① 由已知帶點(diǎn) ）， 1( ?nnn aaA 在 122 ??xy 上知， 1?na － na ＝１，所以數(shù)列 ??na 是以 2 為首項(xiàng)，以 1 為公差的等差數(shù)列。 29.（ 2020 江西卷理）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 {}na ， 12,a a a b??，且對(duì)滿足 m n p q? ? ? 的正 整數(shù) , , ,mnpq 都有.( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )pqmnm n p qaaaaa a a a?? ?? ? ? ? （ 1）當(dāng) 14,25ab??時(shí)，求通項(xiàng) 。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K 選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 22 可猜想當(dāng) 3 2 2 ? ? ?時(shí) ， 證明如下： 證法 1：（ 1）當(dāng) n=3 時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立。 命題 2：若數(shù)列 {}nS 是 B數(shù)列，則數(shù)列 {}nx 不是 B