【正文】 ?????? nnn nppnpppT ?② ① － ② 得 ??????????????????????????????????)1(1)1()1()1(2)1(1)1()1(1)1()1(1212112ppnpppppnnTpnppppTnppppnppppTpnnnnnnnnnnn即：所以? 課外練習(xí) １． 數(shù)列 ??na 的 前 n 項 和 為 nS ，若5)1( 1 Snnan ，則??等于（ B ） 65)6151()3121()2111(111)1(1301616515??????????????SnnnnaDCBAn所以解：因為．．．． ４． )(xf 的定義域為 R ，且 )(xf 是以 2 為周期的周期函數(shù)，數(shù)列 ??na 是首項為 )( ??Naa ，公差為 1 的 等 差 數(shù) 列 ， 那么)()()( 1021 afafaf ??? ?的值為（ C ） A．－ 1 B． 1 C． 0 D． 10a 解：因為函數(shù) )(xf 的定義域為 R ，且 )(xf 是以 2 為周期的周期函數(shù)， 高中數(shù)列知識大總結(jié) (絕對全 完整版 ) 12 所以 )()2(00( xfxff ??? ，且） 又?jǐn)?shù)列 ??na 是首項為 a ，公差為 1 的等差數(shù)列 ? ?0)1()1()1()1()21()1()1(5)1()0(5)1(5)(5)()()()1()()(11021??????????????????????????fffffffffafafafafafnafnafafNanaann即所以又所以為偶數(shù)）（為奇數(shù)）（，又所以? 故原式 =0，選 C。 2． 遞推關(guān)系與通項公式 mnmnnnnnqaaqaaqaa????????推廣：通項公式：遞推關(guān)系：111 3． 等比中項：若三個數(shù) cba , 成等比數(shù)列，則稱 b為 ca與 的 等 比 中 項 ， 且 為acbacb ??? 2，注： 是成等比數(shù)列的必要而不充分條件。 課外練習(xí) 3設(shè) 12 12111 ??????? nnnan ?， ( ??Nn )，則 nn aa 與1? 的大小關(guān)系是 ( C ) A． nn aa ??1 B． nn aa ??1 C． nn aa ??1 D．不能確定 解：因為 022 132 1113212211?????????????nnnnnaa nn 所以 nn aa ??1 ，選Ｃ． 二、填空題 高中數(shù)列知識大總結(jié) (絕對全 完整版 ) 4 5．已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和 ，142 ??? nnSn 則??? ?? ??? )2(,52 )1(,2 nn na n 7．已知數(shù)列 ??na 的通項9998??nn（ ??Nn ），則數(shù)列 ??na 的前 30項中最大項和最小項分別是910 aa， 解：構(gòu)造函數(shù)99989919998 ? ?????? xxxy 由函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在 )99( ，?? 上遞減，且 1?y 函數(shù)在 ），＋ ?99( 上遞增且 1?y 最小最大，），又91092130121110 1109(99aaaaaaaaa??????????????三、解答題 等差數(shù)列 知識要點 2．遞推關(guān)系與通項公式 mnaadnaaddnaadmnaadnaadaamnnnmnnnn??????????????????1。 ⑵ dmnaa mn )( ??? ⑶ mnmnn aaa ?? ??2 ⑷ nnnnn SSSSS 232 , ?? 仍成等差數(shù)列。 1． 1031074 22222)( ??????? nnf ?設(shè) )18(72)18(72)18(72)18(72)()(431?????????nnnnDCBADnfNn．．．．）（等于，則 2． 已知數(shù)列 ??na 是 等 比 數(shù) 列 ， 且??? mmm SSS 32 3010 ，則， 70 （問題引入） 猜想： ??nb 是等比數(shù)列，公比為 21 。 １． 已知正項數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ， 2)1(41 ?nn aS 與是的等比中項， ① 求證：數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列； ② 若nnn ab 2?，數(shù)列 ??nb 的前 n 項和為 nT ，求 nT ③ 在 ② 的條件下，是否存在常數(shù) ? ，使得數(shù)列?????? ??2nnaT ? 為等比數(shù)列？若存在，試求出 ? ；若不存在，說明理由。 解（ I）在 11( ) 22 nnnSa ?? ? ? ?中，令 n=1，可得 1112nS a a? ? ? ? ?，即 1 12a? 當(dāng) 2n? 時， 211 1 1 111( ) 2 ( )22nnn n n n n n nS a a S S a a??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 11n 1 112a ( ) , 2 12 nnn n na a a????? ? ? ? ?n即 2. 112 , 1 , n 2 1nn n n n nb a b b b??? ? ? ? ? ? ?n即 當(dāng) 時 ， b. 又 112 1,ba? ? ? 數(shù)列 ??nb 是首項和公差均為 1 的等差數(shù)列 . 于是 1 ( 1 ) 1 2 , 2nn n n nnb n n a a? ? ? ? ? ? ? ?. (II)由（ I）得 11( 1 ) ( )2 nnnnc a nn?? ? ?，所以 231 1 1 12 3 ( ) 4 ( ) ( 1 ) ( )2 2 2 2 nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ?K 2 3 4 11 1 1 1 12 ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( 1 ) ( )2 2 2 2 2 nn ?? ? ? ? ? ? ? ? ?K 由① ②得 2 3 11 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )2 2 2 2 2nnnTn ?? ? ? ? ? ? ?K 11111[ 1 ( ) ]1 3 3421 ( 1 ) ( )1 2 2 212332nnnn nnnnT???? ?? ? ? ? ? ???? ? ? 5 3 5 ( 3 ) ( 2 2 1 )32 1 2 2 1 2 ( 2 1 )nn nnn n n n nT n n n? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 于是確定 521n nT n?與 的大小關(guān)系等價于比較 2 2 1n n?與 的大小 由 2 3 4 52 2 1 1 。 （注：按題中要求組成其它命題解答時，仿上述解法） (Ⅲ )若數(shù)列 ??na 是 B數(shù)列，則存在正數(shù) M，對任意的 ,nN?? 有 1 1 2 1n n n na a a a a a M??? ? ? ? ? ? ?. 因為 1 1 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a???? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 1 1 1n n n na a a a a a a M a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 記 1K M a??，則有 221 1 1( ) ( )n n n n n na a a a a a? ? ?? ? ? ? 1 1 1( ) 2n n n n n na a a a K a a? ? ?? ? ? ? ?. 因此 2 2 2 2 2 21 1 2 1... 2n n n na a a a a a KM??? ? ? ? ? ? ?. 故數(shù)列 ??2na 是 B數(shù)列 . 33. (2020 陜西卷理 ) 已知數(shù)列 ?}nx 滿足， *1111 ,21nnx x n Nx ??＋’＝ ＝ . ??? 猜想數(shù)列 {}nx 的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論； （Ⅱ )證明： 11 12| ( )65 nnnxx ?? |≤ 。 （Ⅱ）設(shè) nS 是數(shù)列 {}nx 的前 n 項和 .給出下列兩組判斷： A 組： ① 數(shù)列 {}nx 是 B數(shù)列 , ② 數(shù)列 {}nx 不是 B數(shù)列 。 （ 2）若 1am? 為奇數(shù)，則 213 1 3 1a a m? ? ? ?為偶數(shù)，故 3 312ma ?? 必為偶數(shù) 6 3116ma ??????? ? ，所以 3116m? =1 可得 m=5 16.（ 2020 陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 ns ,若 6312as?? ,則 na? . 解析 :由 6312as?? 可得 ??na 的公差 d=2,首項 1a =2,故易得 na? 2n. 答案 :2n 17.(2020 陜西卷理 )設(shè)等差數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ,若 6312aS??,則 2lim nn Sn?? ? . 6 1 1 223112 5 1 2 2 11( 1 ) l i m l i m 11 2 1 2 2 nnnnna ad a SSnnS n ns a d d n n n n? ? ? ?? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ????解 析 ： 答案： 1 選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 17 22.（ 2020 全國卷Ⅰ理）在數(shù)列 {}na 中， 11 111 , (1 ) 2nn nna a an? ?? ? ? ? （ I）設(shè) nn ab n? ，求數(shù)列 {}nb 的通項公式 （ II）求數(shù)列 {}na 的前 n 項和 nS 分析：（ I）由已知有 1 112nnnaa? ??? 1 12nnnbb?? ? ? 利用累差迭加即可求出數(shù)列 {}nb 的通項公式 : 112 2n nb ??? ( *nN? ) （ II）由（ I）知 12 2n nnan??? , ? nS = 11 (2 )2nkk kk ?? ?? 111(2 ) 2nnkkkkk ??????? 而 1 (2 ) ( 1)nk k n n? ??? ,又 112nkk k??? 是一個典型的錯位相減法模型， 易得 1112422n knk ??????? ? nS = ( 1)nn? 12 42nn ???? 23.（ 2020 北京理）已知數(shù)集 ? ? ? ?1 2 1 2, , 1 , 2nnA a a a a a a n? ? ? ? ?具有性質(zhì) P ；對任意的 ? ?,1i j i j n? ? ? ， ijaa 與 jiaa 兩數(shù)中至少有一個屬于 A . （Ⅰ）分別判斷數(shù)集 ? ?1,3,4 與 ? ?1,2,3,6 是否具有性質(zhì) P ，并說明理由； （Ⅱ）證明： 1 1a? ，且 121 1 112 n nna a a aa a a? ? ?? ? ? ?? ? ?； （Ⅲ）證明：當(dāng) 5n? 時， 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 成等比數(shù)列 . 【解析】本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考 查運算能力、推理論證能力、分 分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題 . （Ⅰ）由于 34? 與 43 均不屬于數(shù)集 ? ?1,3,4 ，∴該數(shù)集不具有性質(zhì) P. 選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 18 由于 6 6 1 2 3 61 2 , 1 3 , 1 6 , 2 3 , , , , , ,2 3 1 2 3 6? ? ? ?都屬于數(shù)集 ? ?1,2,3,6 ， ∴該數(shù)集具有性質(zhì) P. （Ⅱ）∵ ? ?12, nA a a a? 具有性質(zhì) P，∴ nnaa 與 nnaa中至少有一個屬 于 A， 由于 121 na a a? ?