【正文】 命題 2：若數(shù)列 {}nS 是 B數(shù)列，則數(shù)列 {}nx 不是 B數(shù)列。 29.（ 2020 江西卷理）各項均為正數(shù)的數(shù)列 {}na ， 12,a a a b??，且對滿足 m n p q? ? ? 的正 整數(shù) , , ,mnpq 都有.( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )pqmnm n p qaaaaa a a a?? ?? ? ? ? （ 1）當(dāng) 14,25ab??時，求通項 。（ ?? Nn ） 選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分數(shù)線 上萬張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分數(shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 13 典例精析 一、 函數(shù)與數(shù)列的綜合問題 的等差數(shù)列。 ④ ?，時， nnnnn SSSSSq 2321 ???? 仍成等比數(shù)列。 ３．等差中項： 若 cba , 成等差數(shù)列，則 b 稱 ca與 的等差中項，且 2cab ?? ； cba , 成等差數(shù)列是 cab ??2的充要條件。 ４．前 n 項和公式 2 )( 1 naaS nn ?? ； 2 )1(1 dnnnaS n ??? ),()(,)2(22212為常數(shù)即特征：BABnAnSBnAnnfSndandSnnn???????? 是數(shù)列 ??na 成等差數(shù)列的充 要條件。 6． 等比數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化 ① ??na 是等差數(shù)列 ? ? ? )10( ?? ccc na ，是等比數(shù)列； ② ??na 是 正 項 等 比 數(shù) 列? ? ? )10(lo g ?? cca nc ，是等差數(shù)列； ③ ??na 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 ? ??na 是各項不為零的常數(shù)列。公差為是首項為，設(shè)，且：已知例24)()()()()10(lo g)(121?????Nnafafafaaxxfna? ① 設(shè) a 是常數(shù)，求證： ??na 成等差數(shù)列； ② 若 )( nnn afab ? ， ??nb 的前 n 項和是 nS ，當(dāng) 2?a 時，求 nS 解： ① 222)1(4)( ?????? nnaf n ， ? ?為等比數(shù)列。na （ 2）證明：對任意 a ，存在與 a 有關(guān)的常數(shù) ? ，使得對于每個正整數(shù) n ，都有 1 .na ???? 解：（ 1）由 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )pqmnm n p qaaaaa a a a?? ?? ? ? ?得 1 2 11 2 1 .(1 ) (1 ) (1 ) (1 )nnnna a a aa a a a?????? ? ? ?將 1214,25aa??代入化簡得 選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分數(shù)線 上萬張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分數(shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 20 11naa a ???? ? 所以 11111 ,1 3 1nnaa???????? 故數(shù)列1{}1 nnaa??為等比數(shù)列，從而 1 1 ,13n nnaa? ??即 nn na ?? ? 可驗證， 3131nn na ?? ? 滿足題設(shè)條件 . (2) 由題設(shè) (1 )(1 )mnaa???的值僅與 mn? 有關(guān) ,記為 ,mnb? 則 11 1 .(1 ) (1 ) (1 ) (1 )nnn nna a a ab a a a a? ????? ? ? ? 考察函數(shù) ( ) ( 0 )(1 ) (1 )axf x x?????,則在定義域上有 1 ,111( ) ( ) , 12, 0 11aaf x g a aa aa? ?? ???? ? ???? ??? ?? 故對 *nN? ， 1 ()nb g a? ? 恒成立 . 又 2 22 ()(1 )nnnab g aa???, 注意到 10 ( ) 2ga??,解上式得 1 ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 2 ( )() ,( ) ( )1 ( ) 1 2 ( ) ng a g a g a g aga ag a g ag a g a ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 取1 ( ) 1 2 ( )()g a g aga? ? ? ??,即有 1 .na ????. 30. (2020 湖北卷理 )已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和 11( ) 22 nnnSa ?? ? ? ?（ n 為正整數(shù)）。此命題為真命題。 解 : （Ⅰ）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為 {}na ,則 11()2 nna ??? .于是 1 2 21 1 1 3 1( ) ( ) ( ) , 2 .2 2 2 2n n nnna a n? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 1| | | | | |n n n na a a a a a??? ? ? ? ? ? = 2n3 1 1 112 2 2 2??? ? ? ? ?????1（ ） （ ）= n13 1 ??? ? ?????（ ） 所以首項為 1，公比為 12? 的等比數(shù)列是 B數(shù)列 . （ Ⅱ ）命題 1：若數(shù)列 {}nx 是 B數(shù)列，則數(shù)列 {}nS 是 B數(shù)列 .此命題為假命題 . 事實上設(shè) nx =1， *nN? ，易知數(shù)列 {}nx 是 B數(shù)列，但 nS =n， 1 1 2 1| | | | | |n n n nS S S S S S n??? ? ? ? ? ? ?. 由 n 的任意性知，數(shù)列 {}nS 不是 B數(shù)列。滿分 10 分。 二、填空題 ５．設(shè)等比數(shù)列 ??na 的公比與前 n 項和分別為 q 和nS ，且 q ≠ 1， 818 102020 ??? qSS ，則 81)1(8)1(1()1(1821)1(10102010101010102020111020102011020101??????????????????????SqSqSSqSaaaSSqqqaqSqa所以方法二、）方法一、? 6．?dāng)?shù)列 ??na 滿足 121 2 1n na n n n? ? ? ?? ? ? ， 12nnnb aa??又，則數(shù)列 ??nb 的前 n 項和為18?nn 1 (1 2 )12n nann? ? ? ? ??解 ： 128( 1)n nnb a a n n??? ?= 118( 1nn? ? ） 121 1 1 1 1 18 ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1188111nb b bnnnnn? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ?????? ? ???????所 以７．?dāng)?shù)列 ?，， 4141414131313121211 的前 100項的和為14913。 4． 前 n 項和公式 )1(11)1()1(111 ????????????? qqqaaqqaqnaS nnn 5． 等比數(shù)列的基本性質(zhì)， ),( ?? Nqpnm其中 ① qpnm aaaaqpnm ?????? ，則若 反之不真！ ② )(2 ???? ???? Nnaaaaaq mnmnnmnmn ， ③ ??na 為等比數(shù)列，則下標成等差數(shù)列的對應(yīng)項 成 等比 數(shù)列。)1()()1(1111變式：推廣：通項公式：遞推關(guān)系： 為常數(shù)）即：特征： mkmknnfa dadnan n ,(,)( ),( 1??? ??? ), 為常數(shù)，（ mkmkna n ?? 是數(shù)列 ??na 成等差數(shù)列的充要條件。 5．等差數(shù)列 ??na 的基本性質(zhì)),( ?? Nqpnm其中 高中數(shù)列知識大總結(jié) (絕對全 完整版 ) 5 ⑴ qpnm aaaaqpnm ?????? ，則若 反之，不成立。 7． 等比數(shù)列的判定法 ① 定義法： ??? （常數(shù)）qaa nn 1 ??na為等比數(shù)列； ② 中項法： ???? ?? )0(221 nnnn aaaa ??na為等比數(shù)列； ③ 通 項 公 式 法 ：高中數(shù)列知識大總結(jié) (絕對全 完整版 ) 9 ??? 為常數(shù)）qkqka nn ,( ??na 為等比數(shù)列；④ 前 n 項 和 法 ：??? 為常數(shù)）（ qkqkS nn ,)1( ??na 為等比數(shù)列。所以為定值所以，所以即nnnnnnnnaanaaaaaaana)2(22lo g2222122????????? ② )( nnn afab ? 3314325433254254322222222222)1(21)21(2162)1(222222)1(2232222)1(2423222)1()2()22(2)22(log??????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnnnnannSnnSnnSnSnnbaanaa所以兩式相減得時，當(dāng)???點撥：本例是數(shù)列與函數(shù)綜合的基本題型之一，特 征是以函數(shù)為載體構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，通過由函數(shù)的解析式獲知數(shù)列的通項公式，從而問題得到求解。 選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分數(shù)線 上萬張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分數(shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 21 （Ⅰ）令 2nnnba? ，求證數(shù)列 ??nb 是等差數(shù)列，并求數(shù)列 ??na 的通項公式； (Ⅱ）令 1nnncan?? ， 12 ........nnT c c c? ? ? ?試比較 nT 與 521nn? 的大小，并予以證明。 事實上，因為數(shù)列 {}nS 是 B數(shù)列，所以存在正數(shù) M，對任意的 *nN? ，有 1 1 2 1| | | | | |n n n nS S S S S S M??? ? ? ? ? ? ?, 即 12| | | | | |nnx x x M? ? ? ? ?.于是 1 1 2 1n n n nx x x x x x??? ? ? ? ? ? 選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分數(shù)線 上萬張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分數(shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 25 1 1 2 1 12 2 2 2n n nx x x x x M x??? ? ? ? ? ? ? ?, 所以數(shù)列 {}nx 是 B數(shù)列。 B 組： ③ 數(shù)列 {}nS 是 B數(shù)列 , ④ 數(shù)列 {}nS 不是 B數(shù)列 . 請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題 . 判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論； (Ⅲ )若數(shù)列 {}na 是 B數(shù)列， 證明：數(shù)列 2{}na 也是 B數(shù)列。 （ 1）求 2nT 和 2nP ； （ 2）求證：對任意正整數(shù) n ≥ 2，有11nP n??. 【解析】 [必做題 ]本小題主要考查概率的基本知識和記數(shù)原理，考查探究能力。 解： ① 設(shè) 數(shù) 列 ??na 的 公 差 為 d ，由?， 211242 ???? nnnSS nn 1)1(22)(22)(124123112122121?????????????????nnnnnnananaanandaSSnnaadaaaa又即，所以得 所以 na =n ② 由 )0( ?? ppab nann ，有 nn npb ? 所以 nn nppppT ????? ?32 32 ① 2 )1(1 ??? nnTp n時，當(dāng) 時，當(dāng) 1?p132 )1(2 ?