【正文】 nn 故第一次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后 7 分鐘。 ② 設(shè) n 分鐘后第二次相遇，則： 舍去），解得 (281570352 )1(2????????nnnnnn 故第二次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后 15 分鐘 10 ． 已 知 數(shù) 列 ??na 中， ，31?a 前 n 和1)1)(1(21 ???? nn anS ① 求證：數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列 ② 求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式 ③ 設(shè)數(shù)列???????11nnaa的前 n 項(xiàng)和為 nT ，是否存在實(shí)數(shù) M ，使得 MTn? 對一切正整數(shù) n 都成立？若存在，求 M 的最小值，若不存在，試說明理由。 解： ① ∵ 1)1)(1(21 ???? nn anS ? ?nnnnnnnnnnnnnnnanannaanananannaananSSaanS)1()2()1(1)2()1(1)1()1)(1()1)(2(211)1)(2(2111212111111????????????????????????????????????????整理得， nnnnnn aaa aanan ??? ?????????21212 ))(1()1(2 ∴數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列。 ② 1)1(3 11 ???? ? nn annaa ， ? ?122)1(3)1(2251211212?????????????????nndnaaaaaaann 的公差為即等差數(shù)列 ③)32)(12( 11 1 ???? nnaa nn? 61)32131(21)32112171515131(2132112121??????????????????????????nnTNnnnnTnn時(shí)，又當(dāng)? 要使得 MTn? 對一切正整數(shù) n 恒成立，只要 M ≥高中數(shù)列知識大總結(jié) (絕對全 完整版 ) 8 61，所以存在實(shí)數(shù) M 使得 MTn? 對一切正整數(shù) n 都成立， M 的最小值為61。 等比數(shù)列 知識要點(diǎn) 1． 定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，記為)0?qq，（ 。 2． 遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式 mnmnnnnnqaaqaaqaa????????推廣：通項(xiàng)公式：遞推關(guān)系：111 3． 等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù) cba , 成等比數(shù)列，則稱 b為 ca與 的 等 比 中 項(xiàng) ， 且 為acbacb ??? 2，注： 是成等比數(shù)列的必要而不充分條件。 4． 前 n 項(xiàng)和公式 )1(11)1()1(111 ????????????? qqqaaqqaqnaS nnn 5． 等比數(shù)列的基本性質(zhì)， ),( ?? Nqpnm其中 ① qpnm aaaaqpnm ?????? ，則若 反之不真！ ② )(2 ???? ???? Nnaaaaaq mnmnnmnmn ， ③ ??na 為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng) 成 等比 數(shù)列。 ④ ?，，時(shí)， nnnnn SSSSSq 2321 ???? 仍成等比數(shù)列。 6． 等比數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化 ① ??na 是等差數(shù)列 ? ? ? )10( ?? ccc na ，是等比數(shù)列； ② ??na 是 正 項(xiàng) 等 比 數(shù) 列? ? ? )10(lo g ?? cca nc ，是等差數(shù)列； ③ ??na 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 ? ??na 是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列。 7． 等比數(shù)列的判定法 ① 定義法： ??? （常數(shù)）qaa nn 1 ??na為等比數(shù)列； ② 中項(xiàng)法： ???? ?? )0(221 nnnn aaaa ??na為等比數(shù)列； ③ 通 項(xiàng) 公 式 法 ：高中數(shù)列知識大總結(jié) (絕對全 完整版 ) 9 ??? 為常數(shù)）qkqka nn ,( ??na 為等比數(shù)列；④ 前 n 項(xiàng) 和 法 ：??? 為常數(shù)）（ qkqkS nn ,)1( ??na 為等比數(shù)列。 1． 1031074 22222)( ??????? nnf ?設(shè) )18(72)18(72)18(72)18(72)()(431?????????nnnnDCBADnfNn．．．．）（等于，則 2． 已知數(shù)列 ??na 是 等 比 數(shù) 列 ， 且??? mmm SSS 32 3010 ，則， 70 （問題引入） 猜想： ??nb 是等比數(shù)列，公比為 21 。 證明如下：∵ 4121412121 ???? ?? nnn aab nnnbaa21)41(2141)41(211212???????? 即：211 ??nnbb，∴ ??nb 是首項(xiàng)為 41?a ，公比為 21 的等比數(shù)列。 二、性質(zhì)運(yùn)用 例 2 ： ⑴ 在 等 比 數(shù) 列 ??na 中，14361 3233 ????? nn aaaaaa ， ① 求 na ， ② 若 nnn TaaaT 求,lglglg 21 ???? ? ⑵ 在等比數(shù)列 ??na 中，若 015?a ，則有 等式 nn aaaaaa ???????? 292121 ??)29( ??? Nnn ， 成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)的在 等 比 數(shù) 列 ??nb 中 ， 若 119?b 則 有 等 式 成立。 解： ⑴ ① 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知： nnnaqqaaaaaaaaaaaa?? ????????????????6151661616143612)21(32213213211323332所以，即所以，解得，又 ② 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知， ? ?nalg 是等差數(shù)列，因?yàn)? 2lg2 )11(2 )lg( lg2lg5lg2lg)6(2lglg116nnnaaTanannnn???????? ?所以， ⑵ 由題設(shè)可知，如果 0?ma 在等差數(shù)列中有nmn aaaaaa ????????? 122121 ?? )12( ???? Nnmn ， 成立，我們知道，如果qpnm aaaaqpnm ?????? ，則若 ，而對于等 比 數(shù) 列 ??nb ， 則 有qpnm aaaaqpnm ?????? ，則若 所 以 可以得出結(jié)論，若 nmnm bbbbbbb ???? 1221211 ??，則有)12( ???? Nnmn ， 成立，在本題中 nn bbbbbb ?? 372121 ??則有高中數(shù)列知識大總結(jié) (絕對全 完整版 ) 10 )37( ??? Nnn ， 點(diǎn)撥：歷年高考對性質(zhì)考查較多，主要是利用“等積性”，題目“小而巧”且背景不斷更新，要熟練掌握。 典例精析 一、 錯(cuò)位相減法求和 例 1：求和：nn anaaaS ????? ?32 321 解： ⑴ 2 )1(3211 ??????? nnnSa n ?時(shí)， ⑵ 01 ?? aa 時(shí)，因?yàn)? nn anaaaS ????? ?32 321 ① 132 1211 ??????? nnn a nanaaSa ? ② 由 ① － ② 得： ????????????????????????????????)1)1()1()1()1(2)1()1()1()1(11)11(1111)11(22112aaaanaaannSaaanaaSanaaaanaaaSannnnnnnnnnn綜上所述，所以? 點(diǎn)撥： ① 若數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列， ??nb 是等比數(shù)列，則求數(shù)列 ? ?nn ba? 的前 n 項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法； ② 當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為字母時(shí)，應(yīng)對字母是否為 1 進(jìn)行討論； ③ 當(dāng)將 nS 與 q nS 相減合并同類項(xiàng)時(shí)，注意錯(cuò)位及未合并項(xiàng)的正負(fù)號。 二、 裂項(xiàng)相消法求和 例 2 ：數(shù)列 ??na 滿足 1a =8 ，022 124 ???? ?? nnn aaaa ，且 （ ??Nn ） ① 求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； 則 214 14 ????? aad 所以， na =8＋（ n － 1）（－ 2）＝― 10－2n ②32)2(41)1(4183)2111211(41)211()4121()3111(41)211(41)2(21)14(121mnnnnnnbbbTnnnnanbnnnn???????????????????????????????????????所以 對 一切 ??Nn 恒成立。 31631621811812)281812281812m i n?????????????????????mnnNnNnnnm所以，（對恒成立。對一切故m 的最大整數(shù)值為 5。 點(diǎn)撥： ① 若 數(shù) 列 ??na 的 通 項(xiàng) 能 轉(zhuǎn) 化 為高中數(shù)列知識大總結(jié) (絕對全 完整版 ) 11 )()1( nfnf ?? 的形式，常采用裂項(xiàng)相消法求和。 ② 使用裂項(xiàng)消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)。 三、 奇偶分析法求和 例 3 ： 設(shè) 二 次 函 數(shù)? ?1)( 2 ???? nnxxxxf ，當(dāng) 1． 在等差數(shù)列 ??na 中， 1a =1，前 n 項(xiàng)和 nS 滿足?，， 211242 ???? nnnSS nn ① 求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式 ② 記 )0( ?? ppab nann ，求數(shù)列 ??nb 的前 n項(xiàng)和 nT 。 解： ① 設(shè) 數(shù) 列 ??na 的 公 差 為 d ，由?，， 211242 ???? nnnSS nn 1)1(22)(22)(124123112122121?????????????????nnnnnnananaanandaSSnnaadaaaa又即，所以得 所以 na =n ② 由 )0( ?? ppab nann ，有 nn npb ? 所以 nn nppppT ????? ?32 32 ① 2 )1(1 ??? nnTp n時(shí)，當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 1?p132 )1(2 ??????? nnn nppnpppT ?② ① － ② 得 ??????????????????????????????????)1(1)1()1()1(2)1(1)1()1(1)1()1(1212112ppnpppppnnTpnppppTnppppnppppTpnnnnnnnnnnn即：所以? 課外練習(xí) １． 數(shù)列 ??na 的 前 n 項(xiàng) 和 為 nS ，若5)1(