【正文】 1． ????????ni inn aaaaaS 1321 ? 2．??? ????? 2111 nSS nSannn 課前熱身 3．?dāng)?shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 nnan 283 2 ?? ,則數(shù)列各項(xiàng)中最小項(xiàng)是 ( B ) A．第４項(xiàng) B．第５項(xiàng) C．第６項(xiàng) D．第７項(xiàng) 數(shù)列與正整數(shù)集關(guān)系 等差數(shù)列 等比數(shù)列 特殊數(shù)列求和方法 公式法 倒序相加法 錯(cuò)位相減法 裂項(xiàng)相消法 n定 義通 項(xiàng) 公 式中 項(xiàng)前 項(xiàng) 的 和 遞推公式 通項(xiàng)公式 數(shù)列 高中數(shù)列知識(shí)大總結(jié) (絕對(duì)全 完整版 ) 2 4．已知數(shù)列 ??na 是遞增數(shù)列，其通項(xiàng)公式為 nnan ??? 2 ,則實(shí)數(shù) ? 的取值范圍是 ),3( ??? 5．?dāng)?shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 142 ??? nnSn ,，則??? ?? ??? 252 12 nn na n 題型一 歸納、猜想法求數(shù)列通項(xiàng) 【例 1】根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)，分別寫(xiě)出它們的一個(gè)通項(xiàng)公式 ⑴ 7， 77， 777， 7777，? ⑶ 1， 3， 3， 5， 5， 7， 7， 9， 9? 解析： ⑴ 將數(shù)列變形為 ),110(97 ?? ),110(97 2 ? )110(97 3 ? ， ,? )110(97 ?n ⑶ 將已知數(shù)列變?yōu)?1+0， 2+1， 3+0， 4+1， 5+0， 6+1， 7+0， 8+1， 9+0，?。 課外練習(xí) 3設(shè) 12 12111 ??????? nnnan ?， ( ??Nn )，則 nn aa 與1? 的大小關(guān)系是 ( C ) A． nn aa ??1 B． nn aa ??1 C． nn aa ??1 D．不能確定 解：因?yàn)? 022 132 1113212211?????????????nnnnnaa nn 所以 nn aa ??1 ，選Ｃ． 二、填空題 高中數(shù)列知識(shí)大總結(jié) (絕對(duì)全 完整版 ) 4 5．已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 ，142 ??? nnSn 則??? ?? ??? )2(,52 )1(,2 nn na n 7．已知數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)9998??nn（ ??Nn ），則數(shù)列 ??na 的前 30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是910 aa， 解：構(gòu)造函數(shù)99989919998 ? ?????? xxxy 由函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在 )99( ，?? 上遞減，且 1?y 函數(shù)在 ），＋ ?99( 上遞增且 1?y 最小最大，），又91092130121110 1109(99aaaaaaaaa??????????????三、解答題 等差數(shù)列 知識(shí)要點(diǎn) 2．遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式 mnaadnaaddnaadmnaadnaadaamnnnmnnnn??????????????????1。 解： 0912129 ??? SSSS ，? 00 030111 11121110 ??? ?????? aa aaaa ，又 ， ∴ ??na 為遞減等差數(shù)列∴ 1110 SS ? 為最大。 2． 遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式 mnmnnnnnqaaqaaqaa????????推廣：通項(xiàng)公式：遞推關(guān)系：111 3． 等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù) cba , 成等比數(shù)列，則稱(chēng) b為 ca與 的 等 比 中 項(xiàng) ， 且 為acbacb ??? 2，注： 是成等比數(shù)列的必要而不充分條件。 解： ⑴ ① 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知： nnnaqqaaaaaaaaaaaa?? ????????????????6151661616143612)21(32213213211323332所以，即所以，解得，又 ② 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知， ? ?nalg 是等差數(shù)列，因?yàn)? 2lg2 )11(2 )lg( lg2lg5lg2lg)6(2lglg116nnnaaTanannnn???????? ?所以， ⑵ 由題設(shè)可知，如果 0?ma 在等差數(shù)列中有nmn aaaaaa ????????? 122121 ?? )12( ???? Nnmn ， 成立，我們知道，如果qpnm aaaaqpnm ?????? ，則若 ，而對(duì)于等 比 數(shù) 列 ??nb ， 則 有qpnm aaaaqpnm ?????? ，則若 所 以 可以得出結(jié)論，若 nmnm bbbbbbb ???? 1221211 ??，則有)12( ???? Nnmn ， 成立，在本題中 nn bbbbbb ?? 372121 ??則有高中數(shù)列知識(shí)大總結(jié) (絕對(duì)全 完整版 ) 10 )37( ??? Nnn ， 點(diǎn)撥：歷年高考對(duì)性質(zhì)考查較多，主要是利用“等積性”，題目“小而巧”且背景不斷更新，要熟練掌握。 解： ① 設(shè) 數(shù) 列 ??na 的 公 差 為 d ，由?， 211242 ???? nnnSS nn 1)1(22)(22)(124123112122121?????????????????nnnnnnananaanandaSSnnaadaaaa又即，所以得 所以 na =n ② 由 )0( ?? ppab nann ，有 nn npb ? 所以 nn nppppT ????? ?32 32 ① 2 )1(1 ??? nnTp n時(shí)，當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 1?p132 )1(2 ??????? nnn nppnpppT ?② ① － ② 得 ??????????????????????????????????)1(1)1()1()1(2)1(1)1()1(1)1()1(1212112ppnpppppnnTpnppppTnppppnppppTpnnnnnnnnnnn即：所以? 課外練習(xí) １． 數(shù)列 ??na 的 前 n 項(xiàng) 和 為 nS ，若5)1( 1 Snnan ，則??等于（ B ） 65)6151()3121()2111(111)1(1301616515??????????????SnnnnaDCBAn所以解：因?yàn)椋?４． )(xf 的定義域?yàn)?R ，且 )(xf 是以 2 為周期的周期函數(shù)，數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)為 )( ??Naa ，公差為 1 的 等 差 數(shù) 列 ， 那么)()()( 1021 afafaf ??? ?的值為（ C ） A．－ 1 B． 1 C． 0 D． 10a 解：因?yàn)楹瘮?shù) )(xf 的定義域?yàn)?R ，且 )(xf 是以 2 為周期的周期函數(shù)， 高中數(shù)列知識(shí)大總結(jié) (絕對(duì)全 完整版 ) 12 所以 )()2(00( xfxff ??? ，且） 又?jǐn)?shù)列 ??na 是首項(xiàng)為 a ，公差為 1 的等差數(shù)列 ? ?0)1()1()1()1()21()1()1(5)1()0(5)1(5)(5)()()()1()()(11021??????????????????????????fffffffffafafafafafnafnafafNanaann即所以又所以為偶數(shù)）（為奇數(shù)）（，又所以? 故原式 =0，選 C。 ２． 已知在正項(xiàng)數(shù)列 ??na 中， 1a =2，且 ）， 1( ?nnn aaA 在雙曲線 122 ??xy 上， 數(shù)列 ??nb 中， 點(diǎn)（ nb ， nT ）在直線 121 ??? xy 上，其中 nT 是數(shù)列 ??nb 的前 n 項(xiàng)和， ① 求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； ② 求證：數(shù)列 ??nb是等比數(shù)列。 （ 1）求 2nT 和 2nP ； （ 2）求證：對(duì)任意正整數(shù) n ≥ 2，有11nP n??. 【解析】 [必做題 ]本小題主要考查概率的基本知識(shí)和記數(shù)原理，考查探究能力。 2 2 4 1 。 B 組： ③ 數(shù)列 {}nS 是 B數(shù)列 , ④ 數(shù)列 {}nS 不是 B數(shù)列 . 請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題 . 判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論； (Ⅲ )若數(shù)列 {}na 是 B數(shù)列， 證明：數(shù)列 2{}na 也是 B數(shù)列。 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問(wèn)題的能力的能力，滿分 14 分。 事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列 {}nS 是 B數(shù)列，所以存在正數(shù) M，對(duì)任意的 *nN? ，有 1 1 2 1| | | | | |n n n nS S S S S S M??? ? ? ? ? ? ?, 即 12| | | | | |nnx x x M? ? ? ? ?.于是 1 1 2 1n n n nx x x x x x??? ? ? ? ? ? 選校網(wǎng) 高考頻道 專(zhuān)業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬(wàn)張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫(kù) 選校網(wǎng) 專(zhuān)業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬(wàn)張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫(kù) 25 1 1 2 1 12 2 2 2n n nx x x x x M x??? ? ? ? ? ? ? ?, 所以數(shù)列 {}nx 是 B數(shù)列。 （ I）求數(shù)列 ??na 與數(shù)列 ??nb 的通項(xiàng)公式； （ II）設(shè)數(shù)列 ??nb 的前 n 項(xiàng)和為 nR ，是否存在正整數(shù) k ，使得 4nRk? 成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù) k ；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （ III）記 *2 2 1 ()n n nc b b n N?? ? ?，設(shè)數(shù)列 ??nc 的前 n 項(xiàng)和為 nT ，求證：對(duì)任意正整數(shù) n 都有 32nT? ； 解（ I）當(dāng) 1?n 時(shí)， 1 1 1 15 1, 4? ? ? ? ?a S a 又 115 1 , 5 1??? ? ? ?n n n na S a S 111 15, 4即 ???? ? ? ? ?nn n nnaa a a a ∴數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)為 1 14??a ，公比為 14??q 的等比數(shù)列， ∴ 1()4??nna ，*14 ( )4 ()11 ( )4??????nn nb n N ????????????? 3 分 選校網(wǎng) 高考頻道 專(zhuān)業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬(wàn)張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫(kù) 選校網(wǎng) 專(zhuān)業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬(wàn)張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫(kù) 23 （ II）不存在正整數(shù) k ，使得 4nRk? 成立。 選校網(wǎng) 高考頻道 專(zhuān)業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬(wàn)張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫(kù) 選校網(wǎng) 專(zhuān)業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬(wàn)張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫(kù) 21 （Ⅰ）令 2nnnba? ，求證數(shù)列 ??nb 是等差數(shù)列，并求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； (Ⅱ）令 1nnncan?? ， 12 ........nnT c c c? ? ? ?試比較 nT 與 521nn? 的大小，并予以證明。所 以 ③nnnn nbaC 32)1( ????? nnnnnnnCCnnnCC????????????????11110)12(3232)1(32)2(所以所以 一、選擇題 1. （ 2020 廣東卷 理 ）已知等比數(shù)列 {}na 滿足 0, 1, 2,nan?? ，且 25 2 5 2 ( 3 )nna a n?? ? ?，則當(dāng) 1n? 時(shí)，2 1 2 3 2 2 1l o g l o g l o g na