高二數(shù)學(xué)拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程(更新版)
【正文】 2＝－ 8 y . 【 名師點(diǎn)評(píng) 】 (1)確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ， 從形式上看 ， 只需求一個(gè)參數(shù) p， 但由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類型 ， 因此 ， 還應(yīng)確定開口方向 ， 當(dāng)開口方向不確定時(shí) ， 應(yīng)進(jìn)行分類討論 ． 有時(shí)也可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式 ， 避免討論 ， 如焦點(diǎn)在 x軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為 y2＝ 2mx(m≠ 0)，焦點(diǎn)在 y軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為 x2＝2my(m≠ 0)． (2)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法： 特別注意在設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí) ， 若焦點(diǎn)位置不確定 ， 要分類討論 ． 自我挑戰(zhàn) 2 分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． ( 1 ) 過(guò)點(diǎn) (3 ，－ 4) ； ( 2 ) 焦點(diǎn)在直線 x ＋ 3 y ＋ 15 ＝ 0 上； ( 3 ) 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為52. 解： ( 1 ) ∵ 點(diǎn) (3 ，－ 4) 在第四象限， ∴ 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2＝ 2 px ( p 0 ) 或 x2＝－ 2 p 1 y ( p 1 0 ) ． 把點(diǎn) (3 ，－ 4) 的坐標(biāo)分別代入 y2＝ 2 px 和 x2＝－2 p 1 y ， 得 ( － 4)2＝ 2 p 2 3 . ∵ 2 3 2 ， ∴ 點(diǎn) A 在拋物線內(nèi)部． 設(shè)拋物線上點(diǎn) P 到準(zhǔn)線 l ： x ＝－ 1 的距離為 d ， 由定義知 | PA |＋ | PF |＝ | PA |＋ d ，由圖可知， 當(dāng) PA ⊥ l 時(shí)， | PA |＋ d 最小，最小值為 4 ， 即 | PA |＋ | PF |的最小值為 4 ， 此時(shí) P 點(diǎn)縱坐標(biāo)為 2 ，代入 y2＝ 4 x ，得 x ＝ 1. ∴ 點(diǎn) P 坐標(biāo)為 ( 1 , 2 ) ． 方法感悟 1． (1)“p”是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 ， 所以 p的值永遠(yuǎn)大于 ， 當(dāng)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí) ， 不要出現(xiàn)錯(cuò)誤 ． (2)只有頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) ， 焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的拋物線方程才有標(biāo)準(zhǔn)形式 ． (3)拋物線的開口方向取決于一次項(xiàng)變量 (x或 y)的取值范圍 ． 如拋物線 x2＝－ 2y， 一次項(xiàng)變量 y≤ 0，所以拋物線開口向下 ． 2． 標(biāo)準(zhǔn)方程中只有一個(gè)參數(shù) p， 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ， 只需求出 p的值即可 ， 常用待定系數(shù)法 ． (1)用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí) ， 一定先確定焦點(diǎn)位置與開口方向 ， 如果開口方向不確定時(shí) ， 可設(shè)所求拋物線方程為 y2＝ ax(a≠ 0)， 或者 x2＝ ay(a≠ 0)； (2)當(dāng)拋物線不在標(biāo)準(zhǔn)位置時(shí) ， 用定義來(lái)求 ．
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