高二數(shù)學(xué)拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程(參考版)
2024-11-16 16:43本頁(yè)面
【正文】 ( － 4) ， 即 2 p ＝163， 2 p1＝94. ∴ 所求拋物線的方程為 y2＝163x 或 x2＝－94y . ( 2 ) 令 x ＝ 0 ，得 y ＝－ 5 ；令 y ＝ 0 ，得 x ＝－ 15. ∴ 拋物線的焦點(diǎn)為 (0 ，－ 5) 或 ( － 1 5 , 0 ) ． ∴ 所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2＝－ 20 y 或 y2＝－ 60 x . ( 3 ) 由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為52，可知 p ＝52. ∴ 所求拋物線方程為 y2＝ 5 x 或 y2＝－ 5 x 或 x2 ＝ 5 y 或 x2＝－ 5 y . 拋物線的定義及其應(yīng)用 對(duì)于拋物線中的最值問題 ， 其求解方法為把到焦點(diǎn)的距離化為到準(zhǔn)線的距離 ， 到準(zhǔn)線的距離化為到焦點(diǎn)的距離 ． 例 3 【 思路點(diǎn)撥 】 先根據(jù)拋物線的定義求出拋物線方程 ． 再利用平面幾何的有關(guān)性質(zhì)求出最小值 ． 【 解 】 (1)點(diǎn) M到點(diǎn) F(0,1)的距離比它到 x軸的距離大 1， 即 “ 點(diǎn) M到點(diǎn) F(0,1)的距離等于它到直線y＝－ 1的距離 ” ， 所以點(diǎn) M的軌跡是以 F為焦點(diǎn) ，直線 y＝－ 1為準(zhǔn)線的拋物線 ， 此時(shí) ， p＝ 2， 故所求拋物線方程 G為 x2＝ 4y. (2020年青州高二檢測(cè) )已知點(diǎn) A(12,6)， 點(diǎn)M到 F(0,1)的距離比它到 x軸的距離大 1. (1)求點(diǎn) M的軌跡方程 G； (2)在 G上是否存在一點(diǎn) P， 使點(diǎn) P到點(diǎn) A的距離與點(diǎn) P到 x軸的距離之和取得最小值 ？ 若存在 ，求此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在 ， 請(qǐng)說明理由 ． ( 2 ) 如圖，易判斷知點(diǎn) A 在拋物線外側(cè)， 設(shè) P ( x ， y ) ， 則 P 到 x 軸的距離即 y 值， 設(shè) P 到準(zhǔn)線 y ＝－ 1 的距離為 d ，則 y ＝ d － 1. 故 | PA |＋ y ＝ | PA |＋ d － 1 ， 由拋物線定義知 | PF |＝ d . 于是 | PA |＋ d － 1 ＝ | PA |＋ | PF |－ 1. 由圖可知，當(dāng) A 、 P 、 F 三點(diǎn)共線時(shí)， | PA |＋ | PF |取最小值，為 1 3 . 此時(shí)直線 AF 的方程為 y ＝512x ＋1 ， 由????? x2＝ 4 yy ＝512x ＋ 1，得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 (3 ，94) ． ∴ 在拋物線 G 上存在點(diǎn) P (3 ，94) ，使得所求距離之
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