【正文】 nt 隨機變量 x的 Certainty equivalent C滿足 當 u(.)為凹函數(shù)時 ， C ≤ E[x]。 Daniel Bernoulli提出使用邊際效用遞減 （ 即效用函數(shù)的一階導數(shù) u′為單調減函數(shù) ， 效用函數(shù)為凹函數(shù) ） 來解決此悖論 。 若優(yōu)先序滿足以上兩條性質和兩條公理 ， 則存在 （ 仿射變化 ） 唯一的數(shù)值表示 ， u(.)稱為效用函數(shù) 。 11m in ( )22s . t. [ ] = , 1 ,pV a r rE r r r? ? ?????????? ?? ?1(1 , 1 , , 1 ) , pr??11( , ... , ) ,n? ? ? ??4 均值 方差模型回顧 Markowitz均值 方差模型（繼續(xù)） 也可以表示為 其中 為預先指定的投資組合的期望期末財富水平 ，W為投資者的初始財富水平 。 若 ?∞λ+∞， 我們將得到最小方差集合 (minimum variance set)； 若 ?∞ λ ≤ 0， 我們將得到有效前沿 (efficient frontier)。 單調性 （ monotone） 數(shù)值表示滿足單調性當且僅當 u為嚴格單調增函數(shù) 。 注意到 風險厭惡的投資者的效用函數(shù) u為凹函數(shù) 。22 期望效用理論 如何得到投資者的效用函數(shù) ？？ 1） 首先指定投資者效用函數(shù)的形狀 ， 如指數(shù)型 ， 對數(shù)型等 ， 然后對其中的參數(shù)進行估計 。投資者面臨的投資組合問題為 求解方程組， 1 2 1 2 212m a x 0 . 3 l n ( 3 1 . 2 ) 0 . 4 l n ( 1 . 2 ) 0 . 3 l n ( 1 . 2 )s . t . .W? ? ? ? ???? ? ? ???1 2 1 2 11 2 21 2 1 2 20. 9 0. 4,3 1. 2 1. 2 0. 08 9 ,0. 91 1 ,0. 36 0. 48 0. 36 1 / ., 3 1. 2 1. 2 1. 2WWWW?? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ?????? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ?????，29 期望效用最大化模型 Allais Paradox Lotteries: 你的選擇是什么？選擇結果是否違背期望效用理論？ 112 5 0 0 , 0 . 3 32 5 0 0 , 0 . 6 6 。P Global 100 全國指數(shù)： Samp。 被動投資（ passive investing） 投資者按照預先制定的投資策略進行投資 ， 不考慮任何涉及股票回報率的預測 。 42 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型 跟蹤誤差 Quadratic TE： Mean absolute deviations（ MAD） ： MinMax： m i n ( ) ( ) ,X Y X Y? ?? ???m i n ( ) ,XY? ?? ?1? ?m in m a x ,tttttXYX X tYt?? ?其 中 表 示 矩 陣 的 第 行 ，為 向 量 的 第 個 元 素 ；43 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型 跟蹤誤差（繼續(xù)） Mean absolute downside deviations（ MADD） ： downside MinMax（ DMinMax） ： m in ( ) , ,ttX Y X Y? ??? ??1 其 中? ?m i n m a x , ,t t t tt X Y X Y? ???? 其 中44 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型 線性規(guī)劃表示 MinMax Problem： Mean absolute deviations problem： m in . . , , 1.zt t t tzs t X z Y X z Y???? ? ? ?? ?11,m in ( ). . , 1 , 0 , 0 .ttTtttzzt t t tttzzs t X z z Yzz?????????????? ? ? ????145 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型 線性規(guī)劃表示（繼續(xù)） MADD Problem： 1,m i n . . , 1 , 0 ,ttTttzzt t ttzs t X z Yz??????????? ???146 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型 47 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型 48 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型 49 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型 50 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型 51 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型 控制投資股票數(shù)量 很多時候投資者會控制投資組合中股票的數(shù)量 。 59 考慮交易費用的指數(shù)跟蹤模型 市場沖擊成本最小化模型（繼續(xù)） m in ( ( ) ). . , ( , ) .NNN ad m isN B TEMCs t WT E U????????60 考慮交易費用的指數(shù)跟蹤模型