【正文】 ncc ?)...( 121 ???? ??? ③ 若（ 3）有一對(duì)單復(fù)根 ??? i?? ，令： ??? ie?? ， ?????? a r c t a n,22 ??? ，則（ 2）的通解中有構(gòu)成項(xiàng)： nc nn ???? s inc o s 21 ?? ? ④ 若有 m 重復(fù)根： ??? i?? ， ??? ie?? ，則（ 2 ）的通項(xiàng)中有成 10 項(xiàng)： nncncc nmmmmnmm ???? s i n)...(c o s)...( 1221121 ??? ????? ??????? 綜上所述，由于方程（ 3）恰有 k 個(gè)根，從而構(gòu)成方程 （ 9）的通解中必有 k 個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)。在時(shí)段【 t ,t +dt 】中，人口增加量為 )( dttp ? )(tp ≈d )(tp ，它應(yīng)等于此時(shí)段中的出生人數(shù)與死亡人數(shù)之差，即 d )(tp =b )(tp dt － d )(tp dt =a )(tp dt , 其中 a =b－ d 稱為人口的凈增長(zhǎng)率。近似模擬法建模思路是建立能夠近似刻畫(huà)或反映實(shí)際現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型， 因此在建模過(guò)程中經(jīng)常做一些較合理的模型假設(shè)使問(wèn)題簡(jiǎn)化，然后通過(guò)簡(jiǎn)化建立近似反映實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 7 人才分配問(wèn)題模型 每年大學(xué)畢業(yè)生中都要有一定比例的人員留在學(xué)校充實(shí)教師隊(duì)伍 , 其余人員將分配到國(guó)民經(jīng)濟(jì)其他部門從事經(jīng)濟(jì)和管理工作 . 設(shè) t 年教師人數(shù)為 ),(1tx 科學(xué)技術(shù)和管理人員數(shù)目 為 ),(2tx 又設(shè) 1 外教員每年平均培養(yǎng) ? 個(gè)畢業(yè)生 , 每年人教育、科技和經(jīng)濟(jì)管理崗位退休、死亡或調(diào)出人員的比率為 ??? ),10( ?? 表示每年大學(xué)生畢業(yè)生中從事教師職業(yè)所占比率 ),10( ??? 于是有方程 111 xxdtdx ??? ?? (1) 212 )1( xxdtdx ??? ??? (2) 方程 (1)有通解 teCx )(11 ????? (3) 若設(shè) ,)0( 101 xx ? 則 ,101 xC? 于是得特解 texx )(101 ????? (4) 將 (4)代入 (2)方程變?yōu)? texxdtdx )(1022 )1( ?????? ???? (5) 求解方程 (5)得通解 tt exeCx )(1022 )1( ???? ?? ?? ??? (6) 若設(shè) ,)0( 202 xx ? 則 ,1 10202 xxC ???????? ??? ??于是得特解 tt exexxx )(1010202 11 ???? ? ?? ? ?? ???????? ???????? ???????? ??? (7) (4)式和 (7)式分別表示在初始人數(shù)分別為 )0(),0( 21 xx 情況 , 對(duì)應(yīng)于 ? 的取值 , 在 t 年教師隊(duì)伍的人數(shù)和科技經(jīng)濟(jì)管理人員人數(shù) . 從結(jié)果看出 , 如果取 ,1?? 即畢業(yè)生全部留在教 8 育界 , 則當(dāng) ??t 時(shí) , 由于 ,??? 必有 ???)(1 tx 而 ,0)(2 ?tx 說(shuō)明教師隊(duì)伍將迅速增加 . 而科技和經(jīng)濟(jì)管理隊(duì)伍不斷萎縮 , 勢(shì)必要影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展 , 反過(guò)來(lái)也會(huì)影響教育的發(fā)展 . 如果將 ? 接近于零 . 則 ,0)(1 ?tx 同時(shí)也導(dǎo)致 ,0)(2 ?tx 說(shuō)明如果不保證適當(dāng)比例的畢業(yè)生充實(shí)教師選擇好比率 ? , 將關(guān)系到兩支隊(duì)伍的建設(shè) , 以及整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)的大局 . 3 差分和代數(shù)建模方法 在一些問(wèn)題中，許多數(shù)據(jù)都是以等間隔時(shí)間周期統(tǒng)計(jì)的。此法建模要求建模者有寬廣的知識(shí)視野才能對(duì)耨寫(xiě)具體問(wèn)題采用某些熟知的實(shí)驗(yàn)定律?？催@樣一個(gè)問(wèn)題：有一容器裝有某種濃度的溶液，以流量 v1 注入該容器濃度為 c1 的同樣溶液，假定溶液立即被攪拌均勻，并以 v2 的流量流出混合后的溶液，試建立反映容器內(nèi)濃度變化的數(shù)學(xué)模型 。 (1+r)= 3651200+ yk (1+365002 ) 從第一天開(kāi)始遞推為 y1 =a y2 =a+a(1+r) y3 = a+a(1+r) +a(1+r)2 ? ? ? yn = a+a(1+r) +a(1+r)2 +? + a(1+r) 1?n =a nrr)1(1 )1(1 ?? ??=ra ? nr)1( ? 1? 在 5 年末時(shí)的養(yǎng)老金數(shù)為： （ 5 年 =5 365=1825） y1825 =ra ? 1825)1( r? 1? = 3651200 236500 ? 1825)3650021( ? 1? ≈ 元 ③當(dāng)存款和復(fù)利連續(xù)計(jì)算時(shí)，將 1 年分成 m 個(gè)相等的時(shí)間區(qū)間，則在每個(gè)時(shí)間區(qū)間中，存款為 m1200，每個(gè)區(qū)間的利息為 m1002 ,記第 k個(gè)區(qū)間養(yǎng)老金的數(shù)目為 zk ,類似與前面分析，5年后養(yǎng)老金為 zm5 = m1200 銀行復(fù)利問(wèn)題 一個(gè)人為了積累養(yǎng)老金，他每月按時(shí)到銀行存 100 元，銀行的年利率 2﹪，且可以任意分段按復(fù)利計(jì)算。 設(shè)人體重 M，腿重為 m ,腿長(zhǎng)為 l ,步長(zhǎng)為 x ，速度為 v ，單位時(shí)間內(nèi)步數(shù)為 n. 則 nxv? 由已知， 人行走時(shí)所作的功是抬高人體重心所需勢(shì)能與兩腿運(yùn)動(dòng)所需動(dòng)能之和。一般都有一個(gè)比較確切的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題 。 邯鄲學(xué)院本科畢業(yè)論文 題 目 全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用建模方法探討 鄭重聲明 本人的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）是在指導(dǎo)教師 閆峰 的指導(dǎo)下獨(dú)立撰寫(xiě)完成的。 賽題一般 涉及面寬 有社會(huì)，經(jīng)濟(jì)，管理，生活，環(huán)境，自然現(xiàn)象，工程技術(shù)，現(xiàn)代科學(xué)中出現(xiàn)的新問(wèn)題等。試在此基礎(chǔ)上，建立數(shù)學(xué)模型并對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià) 。 n= xv2m3 , 其中 P= lMgxv8 + xv2m3 , 同上解得 n=Mgml34≈ 。（ 1+6001 ） 1?n 五年末養(yǎng)老金為 x60 =10060)60011(1)60011(1???? =60000? 60)60011( ? 1? 元≈ 元 ②當(dāng)復(fù)利和存款按日計(jì)算時(shí)，記 yk 為第 k天的養(yǎng)老金數(shù)，則每天的存款額為 a= 3651200 ,每天的利率為 r=365002 .第 k+1 天的養(yǎng)老金數(shù)量與第 k天的養(yǎng)老金數(shù)量的關(guān)系為 y 1?k = 3651200+ yk 微分方程建模原理和方法 一般來(lái)說(shuō)，任何事變問(wèn)題中隨時(shí)間變化發(fā)生變化的量與其它一些量之間的關(guān)系經(jīng)常以微分方程的形式來(lái)表現(xiàn)。 刺激按摩充分依賴于各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中有關(guān)實(shí)驗(yàn)定律或規(guī)律以及某些重要的已知定理。一般通過(guò)一定的模型假設(shè)近似模擬實(shí)際現(xiàn)象，將問(wèn)題做某些規(guī)范化處理后建立微分方程模型，然后分析，求解再與實(shí)際問(wèn)題作比較，觀察模型能否近似刻畫(huà)實(shí)際現(xiàn)象。假設(shè)出生數(shù)及死亡數(shù)與 )(tp 及 dt 均成正比，而且以矩形取代了曲邊梯形的面積。 顯然，如果能求出（ 3）的根，則可以得到（ 2）的解。我們可以利用拉格朗日插值求方程，根據(jù)它的程序求原方程的圖像。 最小二乘法 在兩個(gè)觀測(cè)量中，往往總有一個(gè)量精度比另一個(gè)高得多，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)把精度較高的觀測(cè)量看作沒(méi)有誤差，并把這個(gè)觀測(cè)量選作 x，而把所有的誤差只認(rèn)為是 y 的誤差。設(shè)測(cè)量中不存 在著系統(tǒng)誤差，或者說(shuō)已經(jīng)修正，則 y 的觀測(cè)值 yi 圍繞著期望值 f（ x； c1， c2，?? cm） 擺動(dòng)，其分布為正態(tài)分布，則yi 的概率密度為 ? ? ? ?? ? ?????????? ??? 2 2212 , . . . . . . ,。 根據(jù)式（ 003）的要求，應(yīng)有 ? ?? ? ? ?mkCxfyc ccNi iiik , . . . ,2,10。 由 x2 分布得知，隨機(jī)變量 2minx 的期望值為 Nm。 在優(yōu)化模型中，如果目標(biāo) 函數(shù) f（ x）和約束條件 gi （ x）都是線性函數(shù)，則該模型稱為線性規(guī)劃。 2 選擇條件 有多種可供選擇的可行方案，以便從中選取最優(yōu)方案。問(wèn)應(yīng)如何下料，才能既滿足需要又使原材料消耗最少？ 另外，還有“合理配料問(wèn)題”、“食譜問(wèn)題”等也可歸結(jié)為類似形式。 圖論的基本概念和簡(jiǎn)單的圖論模型 首先給出圖論中的一些基本概念。 4． 若圖 G 中任意兩個(gè)頂點(diǎn) u、 v 之間都存在連接它們的路，稱 G 為連通圖。 8． 設(shè)對(duì)圖 G=（ V， E）的每一條邊 e 賦予一個(gè)實(shí)數(shù) W（ e），稱為 e 的權(quán)， G 稱為賦權(quán)圖(加權(quán)圖 )。實(shí)際上每一步都通過(guò)把至少一個(gè)具有 T 標(biāo)號(hào)的點(diǎn)變成 P 標(biāo)號(hào) (即把一個(gè)不是最短距離標(biāo)號(hào)的頂點(diǎn)變成是最短距離標(biāo)號(hào)的頂點(diǎn) )，這樣最多經(jīng)過(guò) |V(G)|1 步就可完成。設(shè)計(jì)一個(gè)線路圖，使總造價(jià)最低。 (2) 從剩下的邊中按 (1)中的排列取下一條邊。 其步驟如下 (也 稱為 Metropolis 過(guò)程 )： （ 1） 給定初始溫度 T0，及初始點(diǎn)，計(jì)算該點(diǎn)的函數(shù)值 f(x)。 步 2：步 3 8 循環(huán) K 次 20 步 3：步 47 循環(huán) M 次 步 4：隨機(jī)選擇路線的一段 步 5：隨機(jī)確定將選定的路線反轉(zhuǎn)或移動(dòng)，即兩種調(diào)整方式：反轉(zhuǎn)、移動(dòng)。我無(wú)愧于這四年的大學(xué)生活，在即將給它畫(huà)上句號(hào)的時(shí)候，我還是會(huì)帶著微笑去回憶，這四年我成長(zhǎng)了許多，從那么的稚嫩、懵懂變得成熟穩(wěn)重。