【正文】 0(,)0( VVssvvdtdVvcvcdtds （ 3） 此即問題的數(shù)學(xué)模型。 ? ?1)1 0 021(21 0 0 5 ?? mmm =60000? ?1)10021( 5 ?? mm （元） =60000? ?1)5011( 5 ?? mm 令 m ?? ,即得連續(xù)存款和利息時(shí)， 5 年后的養(yǎng)老金為： 5 Z=lim??m60000 ???? 1)10021( 5mm =60000(e101 1)元≈ 元 觀察這三種不同情況下復(fù)利的計(jì)算問題，可以看出，將 1 年份為 m等份，得出的計(jì)算公式⑴具有一般性。 ①按月存款和利息時(shí)，每月的利息為 121 1002 =6001 記 xk 為第 k月末時(shí)的養(yǎng)老金數(shù)，則由題意得 x1 =100 x2 =100+100 3m l2 2 1 初等數(shù)學(xué)建模方法 在數(shù)學(xué)建模競賽中，常會(huì)涉及到初等數(shù)學(xué)建模方法。特此鄭重聲明。題目有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造能力。本章主要列舉了走路問題與銀行復(fù)利問題，問題中涉及到了一些方法，通過這些知識(shí)方法的巧 妙應(yīng)用，可以開拓思路，提高分析解決實(shí)際問題的能力。Mgml34。（ 1+6001 ） 2 ? ? ? xn 100+100 由于存款和計(jì)息的間隔越小 時(shí)，收益越大，且不需要一次到銀行存較多的現(xiàn)金而是分批逐漸存入，對(duì)投資者的資金周轉(zhuǎn)有利，所以在銀行按復(fù)利計(jì)算時(shí)，建議存款者盡量采用小間隔的策略。 通過對(duì)上述例子的了解，下面介紹幾種常用微分方程建模方法。 （ 3）近似模擬法。 Malthus 人口模型 1798 年．英國人口學(xué)家和政治經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯以兩個(gè)假設(shè)為前提：第一，食物為人類生存所必須；第二，人的性本能幾乎無法限制，提出了聞名于世的人口指數(shù)增長模型，即 Malthus 人口模型： 人口總數(shù)為 )(tp ,人口的出生率為 b，死亡率為 d。 又稱方程 0...110 ???? ??? nkknkn xaxaxa （ 2） 為方程（ 1）對(duì)應(yīng)的齊次方程。 拉格朗日插值法 數(shù)據(jù)建模有兩大方法：一類是插值方法，另一類是擬合函數(shù)一般的說，插值法比較適合數(shù)據(jù)準(zhǔn)確或數(shù)據(jù)量小的情形。 兩關(guān)系式可統(tǒng)一寫成 )(ii xl =??? ??ji ji01 。顯然 Nm 時(shí)，參數(shù)不能確定。若為正態(tài)分布的情況，則最大似然法與最小二乘法是一致的。1? （ 005） 把參數(shù)估計(jì) ? ?mcccc ?,...,?,?? 21? 代入上式并比較式（ 003），便得到最小的 x2 值 ? ?? ??? ??Ni iii cxfyx 1222m i n ?。若只有（ 1）式就是無約束優(yōu)化。 決策變量的非負(fù)要求可以根據(jù)問題的實(shí)際意義加以確定。 考慮：還有沒有其他標(biāo)準(zhǔn)？可以使切割后剩余的總余料最少。這里面都直接或是間接用到圖論方面的知識(shí)。 3．頂點(diǎn) v 的度 (或“次” )是指與 v 相關(guān)聯(lián)的邊的個(gè)數(shù)。G 連通的充要條件是 G 有生成樹。 這一問題可用迪克斯特拉 (Dijkstra)算法解決。 實(shí)例： CMCM94A－公路選址問題。 (1) 先把 G 中所有的邊按權(quán)值大小由小到大重新排列，并取權(quán)最小的一條邊為樹 T 中的邊。 19 模擬退火法原理 模擬退火法 (Simulated annealing, SA)是模擬熱力學(xué)中經(jīng)典粒子系統(tǒng)的降溫過程，來求解極值 問題 。 CMCM 98B 題 98 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 B 題 “水災(zāi)巡視問題 ”，是一個(gè)推銷員問題，本題有 53個(gè)點(diǎn)，所有可能性大約為 exp(53),目前沒有好 方法求出精確解，既然求不出精確解，我們使用模擬退火法求出一個(gè)較優(yōu)解 ， 將所有結(jié)點(diǎn)編號(hào)為 1 到 53， 1 到 53 的排列就是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) ， 結(jié)構(gòu)的變化規(guī)則是 ： 從 1 到 53 的排列中隨機(jī)選取一個(gè)子排列 ， 將其反轉(zhuǎn)或?qū)⑵湟浦亮硪惶?， 能量 E 自然是路徑總長度。大學(xué)四年， 雖然讀的是一所二流的大學(xué)，而且處在一個(gè)大學(xué)生泛濫的時(shí)代，我們的學(xué)歷顯得那么的微不足道，但是我依然踏踏實(shí)實(shí)的過完了這四年。感謝數(shù)學(xué)系 的所有授課老師， 以及實(shí)習(xí)學(xué)校的指導(dǎo)老師， 你們使我終身受益。 我在這里首先要感謝的是我的學(xué)位論文指導(dǎo) 老師 —— 閆峰 老師。附錄中的圖 、 表 、 公式 、 參考文獻(xiàn) 另編排序號(hào)，與正文分開 ， 一律用阿拉伯?dāng)?shù)字編碼，但在編碼前冠以附錄序碼，如：圖 A1；表B2；式 (B3)；文獻(xiàn) [A5]等 。 （ 3） 若 Δf≤0，則接受新點(diǎn)，作為下一次模擬的初始點(diǎn)； （ 4） 若 Δf0，則計(jì)算新點(diǎn)接受概率： ，產(chǎn)生 ［ 0， 1］區(qū)間上均勻分布的偽隨機(jī)數(shù) r,r∈ ［ 0,1］，如果 p(Δf)≥r，則接受新點(diǎn)作為下一次模擬的初始點(diǎn)；否則放棄新點(diǎn)，仍取原來的點(diǎn)作為下一次模擬的初始點(diǎn)。若 e1， e2，?， ei 已經(jīng)選好，則從 E－ {e1， e2，?，ei}中選取 ei＋ 1，使得 G[{e1， e2，?， ei， ei+1}]中無圈，且 w(ei+1)=min。顯然，權(quán)最小的連通生成子圖是一個(gè)生 成樹，即求取連通加權(quán)圖上的權(quán)最小的生成樹， 這就歸結(jié)為最小生成樹問題 。 (1) l(v0)=0， l(v) = ?， (v?v0)； S0={v0}， i=0。顯然 G*應(yīng)為 G 的一個(gè)生成樹。 v0 是起點(diǎn)， vk 是終點(diǎn)；各邊相異的道路叫做行跡，各頂點(diǎn)相異的道路叫做軌道；起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的道路為回路；起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的軌道為圈；包含圖中每條邊的回路稱為Euler 回路；含 Euler 回路的圖稱為 Euler 圖。 E 中每個(gè)元素 e 是連接頂點(diǎn)集 V中兩個(gè)頂點(diǎn) u 和 v 的邊 ，稱 e 與 u， v 關(guān)聯(lián) 。應(yīng)該說，我們對(duì)圖論中的經(jīng)典例子或多或少還是有一些了解的，比如，哥尼斯堡七橋問題、中國郵遞員問題、四色定理等等。 此外，描述問題的決策變量相互之間應(yīng)有一定的聯(lián)系，有可能建立 數(shù)學(xué)關(guān)系，即這些變量之間是內(nèi)部相關(guān)的，這一點(diǎn)自然是不言而喻的。決策變量選取得當(dāng)，不僅能順利地建立模型而且能方便地求解，否則很可能事倍功半。 5 線性規(guī)劃建模方法 線性規(guī)劃建模方法 主要用于解決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題，它是一種重要的數(shù)學(xué)模型。1 ?1 2 ????? ??? ? （ 004） 解方程組（ 004），即得 m 個(gè)參數(shù)的估計(jì)值 mccc ?,...,?,? 21 ，從而得到擬合的曲線方程? ?mcccxf ?,...,?,?。為簡便起見，下面用 C 代表（ c1， c2，?? cm）。對(duì)于每組觀測(cè)數(shù)據(jù)（ xi，yi） i＝ 1， 2，??， N。 已知函數(shù) y=f(x)在若干點(diǎn) ix 的函數(shù)值 iy = ??ixf （ i=0,1, ?? ,n）一個(gè)差值問題就是求一“簡單”的函數(shù) p(x)： p( ix )= iy ,i=0,1, ?? ,n, (1) 11 則 p(x)為 f(x)的插值函數(shù)，而 f(x)為被插值函數(shù)會(huì)插值原函數(shù)， 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx 為插值節(jié)點(diǎn)，式（ 1）為插值條件，如果對(duì)固定點(diǎn) ?x 求 f( ?x )數(shù)值解，我們稱 ?x 為一個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，f( ?x )? p(?x )稱為 ?x 點(diǎn)的插值，當(dāng) ?x ? [min( 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx )， max( 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx )]時(shí)，稱為內(nèi)插 ，否則稱為外插式外推，特別地，當(dāng) p(x)為不超過 n 次多項(xiàng)式時(shí)稱為 n 階 Lagrange插值。通解可記為： ?nx 如果能得到方程（ 1）的一個(gè)特解： *nx ，則（ 1）必有通解： ?nx ?nx + *nx （ 11） （ 1） 的特解可通過待定系數(shù)法來確定。于是 )(tp 滿足微分方程 dttdp)( =a )(tp . (1) 若已知初始時(shí)刻 t =t 0 時(shí)的人口總數(shù)為 p0，那么 )(tp 還滿足初始條件 9 t =t 0 時(shí)， )(tp =p0. (2) 可以求得微分方程 (1)滿足初始條件 (2)的解為（設(shè) a 是常數(shù)） )(tp =p0e )0( tta ? , (3) 即人口總數(shù)按指數(shù)增長。例如，銀行 中的定期存款是按設(shè)定的時(shí)間等間隔計(jì)息，外貿(mào)出口額按月統(tǒng)計(jì)，國民收入按年統(tǒng)計(jì)，產(chǎn)品的產(chǎn)量按月統(tǒng)計(jì)，等等。 （ 2）分析微元變化規(guī)律建立微分方程模型。 注意到 溶液濃度 =溶液體積溶質(zhì)質(zhì)量 因此，容器中溶液濃度會(huì)隨溶質(zhì)質(zhì)量和溶液體積變化而發(fā)生變化。mmm5)10021(1)10021(1???? =m1200試問此人 5 年后共積累了多少養(yǎng)老金？如果存款和復(fù)利按日計(jì)算，則他又有多少養(yǎng)老金？如果復(fù)利和存款連續(xù)計(jì)算呢？試建立數(shù)學(xué)模型并求解。 ①計(jì)算人體重心升高的勢(shì)能 將人的行走簡化，設(shè)重心升高為 h,則 lllh ???? ?c os ?2sin1? ll??2241 lx? 當(dāng) lx2 較小時(shí)，取泰勒公式展開式前兩項(xiàng)，得 ??? 1(llh 228lx ?) lx82 于是單位時(shí)間內(nèi)重心升高所需勢(shì)能為 E 勢(shì) ???