【正文】 ? nM gMghn ?lx82 lMgxv8 ②計算腿運動的動能 如果將行走視為腿（均為直徑）繞腰部的轉(zhuǎn)動，則單位時間的動能為 E動 =21 I 2? n 其中 I 為轉(zhuǎn)動慣量， I=?102r dm =?102r dr? =31 ? l3 =3m l2 3 ? 為角速度， ? =lv ， m≈ l? .所以 E動 =2n 本文將主要介紹一些常用的數(shù)學建模方法，包括初等數(shù)學建模方法、微分方程建模方法、差分和代數(shù)建模方法、數(shù)據(jù)差值與擬合方法、線性規(guī)劃建模方法、圖論建模方法等。如有剽竊、抄襲、造假等違反學術(shù)道德、學術(shù)規(guī)范和侵權(quán)的行為，本人愿意承擔由此產(chǎn)生的各種后果，直至法律責任，并愿意通過網(wǎng)絡(luò)接受公眾的監(jiān)督。參賽者應根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解、計算方法的設(shè)計和計算機實現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗、模型的改進等方面的論文。 走路問題 人在勻速行走時，步行多大最省勁？把人行走時做的功看作是人體重心的勢能和兩腳運動的動能之和。由 nx=v,得 n=Mgml34 若取 M:m=4:1,代入且 近似取 l=1(米 )，可得 n≈ 5,即每秒 5 步，顯然太快了， 模型修改：是腿重集中在腳上，人行走所需動能為腳的直線運動的動能，則有E 動能 =21 mv2 （ 1+6001 ） +? +100 2 微分方程建模方法 在大多賽題中，要直接找出某些量之間的關(guān)系往往比較困難，但有時考慮其微小增量或變化率與這些變量之間的關(guān)系確是容易的，這種情形下我們常常采用微分關(guān)系式去描述其關(guān)系 。 （ 1）按實驗定律或規(guī)律建立的微分方程模型。 在許多實際問題中，有些現(xiàn)象的規(guī)律性并非一目了然，或有所了解亦是復雜的，這類問題常用近似模擬方法來建立問題的數(shù)學模型。任取時段【 t ,t +dt 】，在此時段中的出生人數(shù)為 b )(tp dt ，死亡人數(shù)為 d )(tp dt 。 如 果（ 2）有形如 nnx ?? 的解，帶入方程中可得： 0... 1110 ????? ?? kkkk aaaa ??? （ 3） 稱方程（ 3）為方程（ 1）、（ 2）的特征方程。然而 Lagrange 插值有很多種， 1 階， 2 階 ,? n 階。 （ 3） ② n 階 Lagrange 插值公式 )(xLn ： 設(shè)已知 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx 及 iy =f( ix )(i=0,1,.....,n), )(xLn為不超過 n 次多項式且滿足 iin yxL ?)( （ i=0,1,...n） . 易知 )(xLn =0l （ x） 0y +....+ )(xln ny . 其中， )(xli 均為 n 次多項式且滿足式（ 3）（ i,j=0,1,...,n） ,再由 jx （ j? i）為 n 次多項式)(xli 的 n 個根知 )(xli =c????niijjxx0.最后，由 ???? ???1)()(0nijjjiji xxcxlc=????nijjji xx0)(1,i=0,1,...,n. 12 總之， )(xLn = ini i yxl??0 )( ， )(xli =.0??? ??nijj jijxx xx式為 n 階 Lagrange 插值公式，其中， )(xli（ i=0,1,...n）稱為 n 階 Lagrange 插值的基函數(shù)。 在 Nm的情況下，式（ 002）成為矛盾方程組，不能直接用解方程的方法求得 m個參數(shù)值，只能用曲線擬合的方法來處理。因權(quán)重因子 2/1 ii ?? ? ，故式 13 （ 003）表明，用最小二乘法來估計參數(shù)，要求各測量值 yi 的偏差的加權(quán)平方和為最小。1? （ 006） 可以證明， 2minx 服從自由度 v＝ Nm的 x2 分布，由此可對擬合結(jié)果作 x2 檢驗。 f（ x）稱為目標函數(shù)， gi （ x）≤ 0 稱為約束條件。 需要特別說明的是： 要使用線性規(guī)劃方法來處理一個實際問題，必須具備下面的條件： 問題的目標有極大化或極小化的要求 ,而且能用決策變量的線性函數(shù)來表示。此時，相應的模型應為什么？ 這類問題的一般提法是：設(shè)某種原材料截取零件為 nAAA , 21 ? 的毛坯，由以往的經(jīng)驗，在一件原材料上可以有 nBBB ?, 21 種不同的下料方式，每種下料方式可截得各 種毛坯的個數(shù)以及每種零件的需要量已經(jīng)給出。要說明的是，這里圖論只是解決問題的一種方法，而不是唯一的方法。圖 G 的度數(shù)之和為邊數(shù)的兩倍。生成樹一般而言數(shù)量很大。 基本思想：從起點 v0 開始，逐步尋找到達各點的最短路，在每一步都對頂點記錄一個數(shù)，稱之為該點的標號，它表示 v0 到該點的最短距離的上界，或就是 v0 到該點的最短距離。 求最小生成樹 背景：筑路選線問題 欲修筑連接 n 個城市的鐵路，已知 i 城與 j 城之間的鐵路造價為 Cij。即選 e1?E，使得 w(e1)＝ min。當孤立粒子系統(tǒng)的溫度以足夠慢的速度下降時，系統(tǒng)近似處于熱力學平衡狀態(tài)，最后系統(tǒng)將達到本身的最低能量狀態(tài)，即基態(tài)，這相當于能量函數(shù)的全局極小點。具體算法描述如下： 步 1： 設(shè)定初始溫度 T，給定一個初始的巡視路線。從開始的新奇，到后來的迷茫，再到后來的堅定和努力。感謝所有關(guān)心、鼓勵、支持我的家人、親戚和朋友。我會始終帶著感恩去銘記這里，去銘記我的恩師們，你們辛苦了。 步 6：計算代價 D，即調(diào)整前后的總路程的長度之差 步 7：按照如下 規(guī)則確定是否做調(diào)整： 如果 D0， 則調(diào)整 如果 D0， 則按照 EXP(D/T)的概率進行調(diào)整 步 8： T*T， 降溫 參考文獻 [1] 姜啟源等編著 .數(shù)學模型［ M］ .北京：高等教育出版社， 2020 [2] 徐全智 ， 楊晉浩編 著 .數(shù)學建模入門 ［ M］ .四川： 成都電子科大出版社， 1996 [3] 劉來福，曾文藝編著 .問題解決的數(shù)學模型方法 ［ M］ .北京： 北京師范大學出版社，1999 [4] 朱道元等編著 .數(shù)學建模案例精選 [M].北京：科學出版社， 2020 [5] 齊歡編著 .數(shù)學模型方法 ［ M］ .武 漢： 華中理工大學出版社， 1996 [6] 汪國強 編著 .數(shù)學建模優(yōu)秀案例選編 [M].廣州： 華南理工大學出版社， 1998 21 [7] 華羅庚，王 元編著． 數(shù)學模型選談 ［ M］ ．湖南： 湖南教育出版社 ， 1991 [8] Saaty TL. The Analytic Hierarchy Process ［ M］ .Mcgraw 2 Hill,1980 [9] 楊學楨 .數(shù)學建模方法 [M].保定：河北大學出版社， 2020 [10]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松 .常微分方程 [M].北京：高等教育出版社， 1983 [11]王興宇，樊愷 .數(shù)學模型方法 [M].武漢：華中理工大學出版社， 1996 22 附 錄 論文的附錄依序編排為附錄 A，附錄 B… 。 （ 2） 隨機產(chǎn)生擾動 Δx，得到新點 x′=x+Δx，計算新點函數(shù)值 f(x′),及函數(shù)值差Δf=f(x′)f(x)。若該邊與前面已取進 T 中的邊構(gòu)成一個回路，則舍棄該邊，否則也把它取進 T 中。 分析：選線問題的數(shù)學模型是在連通加權(quán)圖上求權(quán)最小的連通生成子圖。 步驟：記 l(v)為 v0 到 v 的距離。 假設(shè) G 是連通的賦權(quán)圖，要找 G 的連通子圖 G *=（ V， E*），使得 W（ G*） =??Ee eW )(為最小。 5． W=v0e1v1e2…… ekvk，其中 ei?E， vj?V， ei 與 vi1， vi 關(guān)聯(lián)，稱 W 是圖 G 的一條道路。 1． 一個圖 G 由一個頂點集 V和一個邊的集 E 組成。 6 圖論建模方法 圖論作為離散數(shù)學的一個重要分支，在工程技術(shù)、自然科學和經(jīng)濟管理中的許多方面都能提供有力的數(shù)學模型來解決實際問題，所以吸引了很多研究人員去研究圖論中的方法和算法。 3 限制條件 達到目標的條件是有一定限制的（比如，資源的供應量有限度等），而且這些限制可以用決策變量的線性等式或線性不等式表示出來。 實際問題的線性規(guī)劃模型的步驟： 第一步：設(shè)置要求解的決策變量。如果由式（ 006）計算出 2minx 接近Nm（例如 mNx ??2min ），則認為擬合結(jié)果是可接受的；如果 22m in ??? mNx ，則認為擬合結(jié)果與觀測值有顯著 的矛盾。1 ?1 22 ???? ? ??? ? 從而得到方程組 ? ?? ?? ? ? ?mkC CxfCxfy ccNi kiii , . . . ,2,10。e x p2 1imiiiicccxfyyp??? , 式中 i? 是分布的標準誤差。設(shè) x 和y 的函數(shù)關(guān)系由理論公式 y＝ f（ x； c1， c2，?? cm） （ 001） 給出，其中 c1， c2，?? cm是 m個要通過實驗確定的參數(shù)。下面我具體介紹分析一下拉格朗日插值的算法設(shè)計及應用。 基本結(jié)果如下： ① 若（ 3）有 k 個不同的實根，則（ 2）有通解： nkknnn cccx ??? ???? . . .2211 ， ② 若（ 3）有 m重根 ? ，則通解中有構(gòu)成項： nmm