【正文】 )( ?? xf)(xf 是一個(gè)常值函數(shù) . 證 對(duì)于區(qū)間 I上的任何兩點(diǎn) 與 , , 1x 2x 21 xx ? )(xf在 [x1, x2]上滿足拉格朗日定理的條件 , 則有 ).,(,0))(()()( 211212 xxxxfxfxf ?????? ??這就是說(shuō) , 在區(qū)間 I上的任何兩個(gè)值都相等 , 所 )(xf以為常值函數(shù) . 2 ,f g I若 函 數(shù) 和 均 在 區(qū) 間 上推 可 導(dǎo)論 且返回 后頁(yè) 前頁(yè) ( ) ( )I f x g x則 在 區(qū) 間 上 與 只 差 某 一 常 數(shù) , 即( ) ( ) , ,f x g x x I????( ) ( )f x g x c c?? ( 為 某 一 常 數(shù) ).0)3 ( fx設(shè) 函 數(shù) 在 點(diǎn)導(dǎo)推 論 數(shù) 極 限 定 理 的 某 鄰 域00( ) l i m ( )xxf x f x????證 分別按左右極限來(lái)證明 . ? ?000( ) ( ) li m ( )xxU x U x f x內(nèi)連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 且極限0fx存在, 則 在點(diǎn) 可導(dǎo), 且返回 后頁(yè) 前頁(yè) ? 0( , ) ,xx?定 理 條 件 , 則 存 在 使 得00( ) ( ) ( ) .f x f x fxx ?? ???0 0 0, , ,x x x x x?? ??? ? ? ?由 于 因 此 當(dāng) 時(shí) 隨 之 有對(duì)上式兩邊求極限，便得 00000( ) ( )l i m l i m ( ) ( 0 ) .x x x xf x f x f f xxx ?????? ??? ? ??00( 1 ) ( ) , ( ) [ , ]x U x f x x x??任 取 在 上 滿 足 拉 格 朗 日返回 后頁(yè) 前頁(yè) 00( 2 ) ( ) ( 0 ) .f x f x??? ??同 理 可 得0 00li m ( ) , ( 0 ) ( 0 ) ,xx f x k f x f x k??? ? ? ?? ? ? ? ?因 為 所 以0 0 0( ) ( ) , ( ) .f x f x k f x k??? ? ?? ? ?從 而 即返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 2 設(shè) f(x)在區(qū)間 I 上可微 , 且 , 則函數(shù) Kxf ?? |)(|f(x)在區(qū)間 I上一致連續(xù) . 證 對(duì)于任意正數(shù) ? , 取 , 對(duì)任意的 1?? K ??, 21 Ixx ? ,21 xx ? 只要 , 便有 ??? || 21 xx|||)(||)()(| 1212 xxfxfxf ???? ?,1 21 xxK K ????? ???故 在 I上一致連續(xù) . )(xf返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 3 求證 : ).(,ar c t anar c t an baabab ????證 設(shè) 顯然 在區(qū)間 上 .ar c t an)( xxf ? )(xf ],[ ba滿足拉格朗日定理的條件，故有 .,)(1 1a r c t a na r c t a n 2 baababab ???????? ??注 例 3中的不等號(hào)可以成為嚴(yán)格的 . 事實(shí)上 , 當(dāng) 式 成立 . 當(dāng) 時(shí)， ba ?? 0ba ??0 和 時(shí) , 顯然不為零 , 嚴(yán)格不等 0?? ba ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) ab ar c t an0ar c t an0ar c t anar c t an ????ab ar c t anar c t an ?.)(1 11 1 2221abab ??????? ??使得存在 ),0,(),0( 21 ab ?? ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 4 設(shè) 在區(qū)間 上可微 , 且 )(xf ),[ ??a ,0)( ??? cxf求證 : .)(lim ?????? xfx證 任取 , 由中值定理 , ax ?),())(()()( axcaxfafxf ?????? ?從而 ).()()( axcafxf ???因?yàn)? , 所以 ???????? ))()((lim axcafx.)(lim ?????? xfx返回 后頁(yè) 前頁(yè) 1. 一般來(lái)說(shuō) ,中值點(diǎn) ,僅指 ,而不是 ? ),( ba?? .2 ba ???).)(()()( axfafxf ???? ?中值點(diǎn)的討論 . 顯然 , 與 x 有關(guān) , 當(dāng) 時(shí) , 卻未必也趨 ???x ?? 在 上可微 , 上連續(xù) , 則對(duì)任 )(xf ),( ??a ),[ ??a( , ) ,的 xa? ? ?意 ?向于 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ),0)(()0()( ???? xffxf ?( ) e , [ 0 , )xf x x x?? ? ? ?因 例 5 設(shè) 由拉格朗日中值定理 ( ) ( 1 ) e ,xf x x ?? ??),0)(( ?? xf ? 變?yōu)? e ( 1 ) e .xxx ???????? )0()( fxf1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xyO當(dāng) x 趨于 時(shí) , 不趨于 , 而是趨于 1. ?? ???返回 后頁(yè) 前頁(yè) f(x) 在 (a, b) 上可微 , [a, b] 上連續(xù) , 則對(duì)于任意 ],( bax ? , 存在 , 使 ),( xa??),)(()()( axfafxf ???? ?)()()( ?fax afxf ????容易猜測(cè) . )()(lim afxfax ?????這實(shí)際上是不成立的 . 請(qǐng)看下面的例題 . 當(dāng) 時(shí) , 必有 . 從等式 ax ? a