高等數(shù)學(xué)定積分可積性理論補(bǔ)敘(存儲版)
【正文】 p x x x p x???? ? ? ?因 為,0)( 0 ?? xp所以 矛盾 . 則次重根有一個又若 ,)( 0xkxp.2),()()( 10 ??? kxpxxxp k返回 后頁 前頁 設(shè)函數(shù) f (x) 滿足： 定理 (拉格朗日中值定理 ) (i) f(x) 在閉區(qū)間 [a, b] 上連續(xù) 。 T p設(shè) 為分割 添加 個新分點后所得到性質(zhì) 2 0, iT T T i?為方便起見 記 為添加 個新分點后證 返回 后頁 前頁 01( ) ( )S T S T?1Δ ( Δ Δ Δ )ni i i i k k k ki i kM x M x M x M x??? ? ?? ??? ? ? ???( Δ Δ )( Δ Δ )k k k k k k kM x x M x M x? ?? ? ? ?? ??? ? ? ?() Δ () Δ .k k k k k kM M x M M x? ? ?? ??? ? ? ?由于 ( ) ,k k km M M M M? ??? ? ?或故有010 ( ) ( ) ( ) Δ ( ) | | | | .kS T S T M m x M m T? ? ? ? ? ?返回 后頁 前頁 同理有10 ( ) ( ) ( ) | | | | .i i iS T S T M m T?? ? ? ?因此證得00 ( ) ( )pS T S T??110[ ( ) ( ) ]piiiS T S T??????10( ) || ||piiM m T???? ?( ) | | | | .M m p T??類 似 可 證( ) ( ) ( ) ( ) | | | | .s T s T s T M m p T?? ? ? ?返回 后頁 前頁 ,TT? ??表示把 與 的所有分點合并得到的分割 則( ) ( ) , ( ) ( ) ,S T S T s T s T???? ( ) ( ) ( ) ( ) .s T s T S T S T? ??? ? ?,T T T T T? ?? ? ????若 與 為任意兩個分割性質(zhì) 3 , ( ) ( ) .T T s T S T? ?? ? ???對于任意分割 與 總有性質(zhì) 4 ,T T T? ????令則證 由性質(zhì) 2 可直接得到 : ( ) ( ) , ( ) ( ) .S T S T s T s T?? ??返回 后頁 前頁 in f ( ) , su p ( )TTS S T s s T??( ) ( ) .m b a s S M b a? ? ? ? ?性質(zhì) 5 [ , ] , 4f a b設(shè) 是 上的有界函數(shù) 由性質(zhì) 知道定義 3 ,p 個分點所構(gòu)成 令都存在 ,分別稱為 f 在 [ a, b ]上的 上積分 與 下積分 . 0,2 ( ) 1M m p?? ????|| || 0 || || 0li m ( ) , li m ( ) .TTS T S s T s?? ??定理 (達(dá)布定理 ) 0 , ,T? ?? ? ? 分割 使得( ) 2 .S T S ?? ??證 T?設(shè)由返回 后頁 前頁 | | | | , ,T T T T p? ???則當(dāng) 時 至多比 多 個新分點( ) ( ) | | | | ( ) ( ) ,S T M m p T S T T S T??? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) | | | |S S T S T M m p T?? ? ? ?,22SS?? ?? ? ? ? ?因此由性質(zhì) 2 和性質(zhì) 3 , 得到 則 || || 0li m ( ) .T S T S? ?|| || 0li m ( ) .T s T s? ?類似可證:返回 后頁 前頁 [ , ] : [ , ]f a b f a b在 上可積的充要條件是 在 上的上,. Ss ?積分與下積分相等 即1( ) ,niiif x J? ? ?????二、可積的充要條件 定理 ( 可積的第一充要條件 ) [ , ] ,f a b設(shè) 在 上 可 積0 , 0 ,??? ? ? ?證 (必要性 ) | | | | ,T ??當(dāng) 時 有1( ) .niiiJ f x J? ? ? ??? ? ? ??即返回 后頁 前頁 ( ) ( ) ,J s T S T J??? ? ? ? ?由性質(zhì)1 , 得 即| ( ) | , | ( ) | .S T J s T J??? ? ? ?因此由達(dá)布定理, 得到.Ss?故證得|| || 0 || || 0l i m ( ) l i m ( ) .TTS T s T J?? ??0 , 0 , | | | | ,T? ? ?? ? ? ? ?從而 當(dāng) 時,S s J??設(shè) 則 由 達(dá) 布 定 理 ,(充分性 ) 00li m ( ) li m ( ) ,TTS S T J s s T J和??? ? ? ?返回 后頁 前頁 ],[ 1 iii xx ??? ?由于 ,)()()(1?????niii TSxfTs ?1( ) .niiif x J? ? ?????因此 [ , ] ,f a b即 在 上可積.)()( ?? ????? JTSTsJ定理 ( 可積的第二充要條件 ) [ , ] :f a b在 上 可 積 的 充 要 條 件 是0 , ,T?? ? ? 分 割( ) ( ) ,S T s T ???使即1 Δ .niiix?????( ) d .ba f x x J??且返回 后頁 前頁 由上和與下和的幾何意義知道幾何意義 , 上述充的一系列小矩形面積之和可以達(dá)到任意小, 只要[ , ]a b T對 的分割 足夠地細(xì).()y f x?要條件的幾何意義為: 下圖中包圍曲線O xa byΔiiT x????()y f x?返回 后頁 前頁 | | | | 0li m ( ) ( ) S T s T S s? ? ? ? ?, 0 , 0 , | | | | ,T? ? ?? ?
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