【正文】 合肥師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 2 頁(yè) 共 20 頁(yè) 畢業(yè)設(shè)計(jì)任務(wù)書(shū) 班級(jí)： 09 級(jí)非師班 姓名： 邵運(yùn) 學(xué)號(hào)： 0907421002 專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 發(fā)題日期： 2020 年 11 月 19 日 完成日期： 2020 年 4月 22 日 題目：怎么使飲料罐制造用材最省 題目類(lèi)型：數(shù)學(xué)與實(shí)際應(yīng)用 /技術(shù)專(zhuān)題研究 /理論研究 /飲料罐產(chǎn)品開(kāi)發(fā) 一、設(shè)計(jì)任務(wù)及要求： 怎么設(shè)計(jì)飲料罐使的制造用材最省 二、應(yīng)完成的硬件或軟 件實(shí)驗(yàn)： 要求對(duì)飲料罐的形狀，飲料罐的用材情況，不同用材的飲料罐設(shè)計(jì)等展開(kāi)一些調(diào)查，通過(guò)建模解釋原因。對(duì)模型設(shè)計(jì)進(jìn)一步改進(jìn)(為期 2 周 ) 評(píng)閱及答辯（為期一周） 系主任審批建議： 指導(dǎo)老師：周永強(qiáng) 2020 年 4月 22日 合肥師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 4 頁(yè) 共 20 頁(yè) 如何使飲料罐制造用材最省 摘要 隨著經(jīng)濟(jì)與科技的發(fā)展，人類(lèi)生活水平大幅度的提高，越來(lái)越多的人喜歡喝灌裝飲料，如百事可樂(lè)，可口可樂(lè)，灌裝啤酒等。易拉罐飲料在市場(chǎng)上的銷(xiāo)量很大，易拉罐的需求也是難以估計(jì)的。為了方便放置，可將易拉罐設(shè)計(jì)成為長(zhǎng)方體喝圓柱體兩種類(lèi)型： （ 1）模型假設(shè)： 因?yàn)楣奚w（上底）厚度為罐底（下底）厚度的三倍，所以假設(shè)罐蓋（上底）為三片與罐底同厚度的材料重疊而成。 模型假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明 （ 1） 假設(shè)不同厚度的材料單位重量的價(jià)格均相等； （ 2）針對(duì)問(wèn)題將易拉罐形狀理 想化、簡(jiǎn)單化； 問(wèn)題二將易拉罐近似看成一個(gè)圓柱，分兩種情況：假設(shè)易拉罐的厚度不計(jì)；假設(shè)易拉罐的厚度要計(jì)，且易拉罐的上下底厚為 α b ,易拉罐的側(cè)面厚度為 b ； 問(wèn)題三將易拉罐近似看成由一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)構(gòu)成，同樣分兩種情況：假設(shè)易拉罐的厚度不計(jì)；假設(shè)易拉罐的厚度要計(jì)，且易拉罐的上下底厚為 α b ,易拉罐的側(cè)面厚度 為 b ； 問(wèn)題四中的模型厚度均要計(jì)，且易拉罐的上下底厚為 α b ,易拉罐的側(cè)面厚度為 b ； 符號(hào)說(shuō)明 圓柱半徑 R； 圓柱上的圓臺(tái)的半徑 r1； 圓柱底圓臺(tái)的半徑； r2 圓柱高度 H； 圓柱 上圓臺(tái)的高度 h1 ； 圓柱底圓臺(tái)的高度； h2 易拉罐側(cè)面材料的厚度 b； 易拉罐上下蓋厚度與側(cè)面厚度的比值α； 易拉罐上圓臺(tái)的傾斜角θ； 易拉罐上圓臺(tái)傾斜角的正切值 K1； 易拉罐下圓臺(tái)的傾斜角β； 易拉罐下圓臺(tái)傾斜角的正切值 K2； 圓截半球所成的角度φ； 易拉罐的容積 V； 易拉罐的表面積 S； 易拉罐所用材料的體積 Sv。而實(shí)際我們測(cè)量所得的數(shù)據(jù)表明頂蓋和底蓋的厚度是側(cè)面材料厚度的 3倍。模型的深入 假設(shè)罐側(cè)厚為 b ，頂蓋底蓋厚度為 α b ，θ注：除頂蓋和底蓋 外其它各個(gè)部分的 厚度為α 易拉罐圓柱側(cè)面所用材料的體積為 (π ( R + b) 2 ? π R 2 )( H + α b) = (2π Rb + π b 2 )( H + α b) = 2π RbH + π b 2 H + 2απ Rb 2 + απ b3 π R 2 ? r12） （ b 易拉罐圓臺(tái)側(cè)面所用材料 的體積為 sin θ 合肥師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 13 頁(yè) 共 20 頁(yè) 易拉罐頂蓋所用材料的體積為： π r12α b 易拉罐底部所用材料的體積為： π R 所以 ,α bS Vs 和 V 分別為： (π R 2 ? r1 2） （ V s ( R , H , r1 ) ≈ 2π RH b + b + π R 2 + r1 2） α b （ sin θ 1) V = π R H + π (R 3+ r1R ? r1 π R 3 ? r1 3 2 + R r1 ) = π R H + k 3 k 由前所得令 α = 2 ，為保證易拉罐薄的部分焊接牢固、耐壓，查資料得 k = tan θ = ， 建立模型： π R 2 ? r1 2） （ m in S ( R ,H,r ) = 2π RH b + b + π R 2 + r1 2） α b （ 1 sin θ R 0,H 0,r 0 s .t .π R H +π 3R3? r1 3 ? V = 0 （ R 0, H 0, r1 0 ） k 沒(méi)有任何其它約束條件，由 matlab 軟件計(jì)算可得 R R = H = r1 = = Vs = H 可見(jiàn)，這形狀罐口非常小，不符合實(shí)際情況，為了使易拉罐外形美觀，考慮飲料罐 胖的部分直徑和高的比為黃金分割比 ，故加約束條件 R = H ，由程序計(jì)算又得 R = H = r1 = h1 = Vs = 盡管材料節(jié)省了，但易拉罐的蓋半徑太小，圓臺(tái)太高，對(duì)工藝要求也高，故適當(dāng) 考慮將罐頂半徑限制在 — 3cm，利用 matlab 程序得結(jié)果。 合肥師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 17 頁(yè) 共 20 頁(yè) 第三章 實(shí)際生活現(xiàn)狀 數(shù)十年來(lái)，鋁易拉罐的制造技術(shù)在不斷改進(jìn)。不考慮其它因素，僅就易拉罐形狀和尺寸變化，考慮其基本用料最省的數(shù)學(xué)結(jié)論，這樣對(duì)實(shí)際易拉罐的設(shè)計(jì)有一定參考意義，所以我們的目的是在一定的體積條件下，運(yùn)用最優(yōu)化思想使我們所用的材料最省，即求表面積最小時(shí)易拉罐的各個(gè)參數(shù)大小。下冊(cè) ).高等教育出版社， 2020 年 . [5] 葉其孝 .初探大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的深入開(kāi)展 .北京理工大學(xué) . [6] 謝金星，薛毅 .優(yōu)化建模與 LINDO/LINGO 軟件 .清華大學(xué)出版社， 2020 年 .